1. 树(Tree)
(1) 基础概念
1> 节点
- 节点、根节点、父节点、子节点、兄弟节点
2> 树、子树
- 一棵树可以没有任何节点，称为 空树
- 一棵树可以只有1个节点，也就是只有根节点
- 子树、左子树、右子树
3> 度(degree)
- 节点的度：子树的个数
- 树的度：所有节点度中的最大值
4> 叶子节点(leaf)
- 叶子节点：度为0的节点
- 非叶子节点：度不为0的节点
5> 层数(level)
- 层数：根节点在第1层，根节点的子节点在第2层，以此类推
6> 深度(depth)、高度(height)
- 节点的深度：从 根节点 到 当前节点 的唯一路径上的 节点总数
- 节点的高度：从 当前节点 到 最远叶子节点 的路径上的 节点总数
- 树的深度：所有节点深度中的 最大值
- 树的高度：所有节点高度中的 最大值
- 树的深度 等于 树的高度
二叉树
(2) 树的种类
- 有序树：树中任意节点的 子节点之间 有顺序关系
- 无序树(自由树)：树中任意节点的 子节点之间 没有顺序关系
- 森林：由m(m≥0)棵 互不相交 的树组成的集合
2. 二叉树(Binary Tree)
(1) 基础概念
1> 二叉树的特点
- 每个节点的度 最大为2 (最多拥有2棵子树)
- 左子树 和 右子树 是有顺序的
- 即使某节点只有一棵子树，也要区分左右子树
2> 二叉树的性质
- 非空二叉树的 第i层，最多有
个节点(i≥1)
- 在高度为h的二叉树上 最多有
- 1个节点(h≥1)
- 对于任何一棵非空二叉树，如果叶子节点个数为
，度为1的节点个数为
，度为2的节点个数为
- 则有:
- 二叉树的节点总数n =
- 二叉树的边数T =
(2) 真二叉树(Proper Binary Tree)
- 真二叉树：所有节点的 度 要么为0，要么为2
真二叉树、满二叉树
(3) 满二叉树(Full Binary Tree)
- 满二叉树：最后一层节点的度 都为0，其他节点的度 都为2
- 在同样高度的二叉树中，满二叉树的叶子节点 数量最多、总节点 数量最多
- 满二叉树 一定是 真二叉树，真二叉树 不一定是 满二叉树
- 假设满二叉树的高度为h(h≥1)，那么
- 第i层的节点数量：
- 1
- 叶子节点数量：
- 总节点数量n
- n=
+
+
+ ... +
%7D)
- h =
(4) 完全二叉树(Complete Binary Tree)
1> 概念
- 完全二叉树：对节点从上至下、左至右开始编号，其所有编号都能与相同高度的满二叉树中的编号对应
- 叶子节点 只会出现 最后2层，最后1层的 叶子结点 都靠左对齐
- 完全二叉树从 根结点 至 倒数第2层 是一棵 满二叉树
- 满二叉树 一定是 完全二叉树，完全二叉树 不一定是 满二叉树
完全二叉树
2> 性质
- 度为1的节点只有 左子树
- 度为1的节点要么 是1个，要么 是0个
- 同样节点数量的二叉树，完全二叉树的 高度最小
- 假设完全二叉树的 高度为h (h≥1)，那么
- 至少有
+ 1 )
- 最多有
- 总节点数量为n
- h - 1 ≤
< h
- h = floor(
- 【floor是向下取整，ceiling是向上取整】
- 一棵有 n个节点的完全二叉树(n>0)，从上到下、从左到右对节点从1开始进行编号，对任意第i个节点
- 如果 i = 1，它是根节点
- 如果 i > 1，它的父节点编号为 floor( i / 2 )
- 如果 2i ≤ n，它的左子节点编号为 2i
- 如果 2i > n，它无左子节点
- 如果 2i + 1 ≤ n，它的右子节点编号为 2i + 1
- 如果 2i + 1 > n，它无右子节点
3. 面试题
Q: 如果一棵完全二叉树有768个节点，求叶子节点的个数？
解题步骤一：
- 假设叶子节点个数为
- 总结点个数n =
- n = 2
解题步骤二：
- 完全二叉树的
-
- 叶子节点个数
-
- 叶子节点个数
解题步骤三：
- 叶子节点个数
- 非叶子节点个数
- floor((n + 1) / 2) 即 (n + 1) / 2 或 (n + 1) >> 1
得出答案：
- 因此叶子节点个数为 768 / 2 = 384
