数学对个人的意义|笔记

by卓克

【同构】

在新的视角下,从前完全不是一个领域的对象,有可能出现在同一个结构中。比如线性代数跟初等几何这两个东西就属于同一种结构,简称同构。
比如下面的这张图,就是一张线性代数的典型运算和初等几何的典型运算,你可以对比一下,在没有布尔巴基学派出现之前,你很难发现其实这两个东西是同一种结构的。


图片发自简书App

左(线性代数)右(初等几何)

我刚才举的线性代数和初等几何的对比,是属于离大家数学知识比较近的两个领域。还有 N 多从前的数学分支,或者分支的分支,就已经是走得很深、很远、很偏的那些领域,竟然也发现了同构的情况。比如,微分拓扑,泛涵分析,代数群论,这些我们不太懂的细分领域,竟然也能形成一个整体。

  • 这样重新分类有什么好处吗?
    好处有两点:
  • 第一种是现实价值特别明确的,很多同构的数学领域,它们就可以拴成对儿了。从前 A 领域中纠结不清,困扰数学家们100多年的那些重大的问题,就可以因为出现同构的关系了,就可以把 A 领域的问题翻译成 B 领域的问题,而翻译过后,发现这个问题在 B 领域是有解的,所以就相当于这个问题通过同构这座桥梁解决了。

最明显的例子,就是老罗曾经在罗辑思维第85期说的费马大定理的证明过程,这个猜想最终的证明,就是通过把一个椭圆曲线领域的问题同构映射到了另外一个叫做模形式上的问题,最终才证明的。通过这样的方式证明的定理,还不止费马大定理,还有莫德尔猜想。还有其他很多领域都因为这样转化得到了突飞猛进的进展。

【布尔巴基学派】把数学领域扩展到一个太大的区域里,这也是人类智力活动的一次大规模的突破,它让我们在智力活动上达到了下一个巅峰,抽象到了极致。

【数学对个人的意义】

生活中几十年,甚至一辈子,我相信都不会用到二次方程的解法,也用不着证明几何定理。但学数学实际上是在训练大脑,让大脑可以随时切换到抽象思维状态。

咱们举一个例子:

大家都用过 Excel 那个制表的软件,抽象思维的状态就好像你已经会在 Excel 表格里头使用公式了,比如你需要什么平均数啊,求和呀,公式设好之后下拉一下就能直接得到答案。如果你从没有接受过抽象思维训练,你用起 Excel 表格,这里每一个空格数字都是你手算出来的,你的效率就远远不及对手了。

抽象思维完全不是很多人理解的那样,只有做数学才用的。我们对语言内容的提炼,对艺术作品的感受,甚至一首诗,一篇文章的理解,都会受益于大脑进入抽象化思维状态。而你对这些事物理解的深度,处理的效率,就取决于从前抽象化思维的训练强化。

所以,作为一个现代人,你要理解的陌生事物那么多,它们作用的原理跟相互之间的关系,很多也都不是表层的了,抽象化思维能力的强弱,将很大程度上决定我们在现代社会看得有多透,走得有多远。我想,这也是学习数学,接触那些看上去虚无缥缈的抽象化概念对单个人来说最直接的好处了。

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