【数与形的概念】数学发展的历史

文章摘要:

数学的发展是以数和形两个基本概念为主干的,整个数学就是围绕数与形两个概念的提炼、演变和发展而发展的.数学发展史中—直存在着数与形两条并行不悖的发展路线,一条以发展计算为中心的算术代数路线,一条以发展形为主的几何路线,前者有两个源头,一个源头是独立发展的中国数学,另一源头是古巴比伦数…

【编者按】

数学是一门古老的学科,它伴随着人类文明的产生而产生,至少有四、五千年的历史。数学的最初的概念和原理在远古时代就萌芽了,经过四千多年世界许多民族的共同努力,才发展到今天这样内容丰富、分支众多、应用广泛的庞大系统。了解数学的发展历史有助于培养学生对学习数学的兴趣,下面的内容希望对他们能有所帮助!

数学的发展是以数和形两个基本概念为主干的,整个数学就是围绕数与形两个概念的提炼、演变和发展而发展的。数学发展史中—直存在着数与形两条并行不悖的发展路线,一条以发展计算为中心的算术代数路线,一条以发展形为主的几何路线,前者有两个源头,一个源头是独立发展的中国数学,另一源头是古巴比伦数学。

这一路线在古希腊亚里山大里亚时期进一步得到发展,在中国、印度和阿拉伯国家发扬光大,到17世纪的欧洲才形成完整的初等代数学。

“形”的路线是以埃及数学为源头,在古希腊取得辉煌成就的初等几何学。这两种数学在17世纪在欧洲汇合,经过进一步发展,导致了解析几何的产生,产生了变量数学。随后由于微积分的产生,开始了数学的巨大变革,产生了数学分析这一厂“阔的领域,形成了代数、几何、分析三足鼎立的形势。

18、19世纪由于数学的不断分化,代数、几何、分析形成了各自不同的研究领域.数学研究的对象日益扩展,数与形的概念不断扩大,日趋抽象化,以至不再有任何原始计算与简单图形的踪影了。

几何不仅研究物质世界的空间形式,而且研究同空间形式和关系相似的其他形式和关系,产生了各种新“空间”:罗巴切夫斯基空间、射影空间、四维的黎曼空间、各种拓扑空间等都成为几何研究的对象。现代化数学所考察的对象是具有更普遍的“量”,如向量、矩阵、张量、旋量、超复数、群等,并且研究这些量的运算。

这些运算在某种程度上和算术中的四则运算类似,但复杂得多。矢量是简单的例子,矢量的加法是按照平行四边形法则相加的。在现代代数中进行的抽象达到这样的程度,以致“量”这个术语也失去本身的意义,而一般地变成讨论“对象”了。

对于这种“对象”可以进行同普通代数运算相似的运算.比如,两个相继进行的运动相当于一个总的运动,—公式的两种代数变换相当于一个总的变换等等。

和这相应,可研究运动或变换所特有的一类“加法”.其他类似的运算也是这样在广泛抽象形式上研究的。分析的对象也大大发展。不但“数”是变的,在泛函分析中,函数本身也被看作是变的。

某一给定函数的性质在这里不能单独地确定,而是在这个函数对另外一些函数的关系上确定的。因此考察的已经不是一些单个的函数,而是所有以这种或那种共同性质作为特征的函数的集合。函数的这种集合结合成“函数空间”。

比如,考察平面上所有曲线的集合或一定力学系统的所有可能运动的集合,在单个曲线或运动用其他曲线或运动的关系上来确定曲线或运动的性质.现代数学常用的方法,是把一个个函数看作一个个“点”,而某类函数的全体看作一个“空间”,函数间的相异程度看作“点”之间的“距离”,由此得到各种无穷维的函数空间。

比如一个微分积分方程组的求解,往往归结为相应函数空间中一个几何变换的不动点问题.数学对象的扩展使得数学应用的范围也大大扩展了。数学观念广泛引入物理学中,爱因斯坦把黎曼几何应用到广义相对论,冯·诺伊曼把希尔伯特空间应用到量子力学,杨振宁和米尔斯把纤维丛理论应用到规范场等等。

从19世纪下半叶开始,即从克莱因用“群”的观点统各种度量几何开始,到康托尔建立集合论和公理化运动后,数学走向综合的趋势越来越明显。现代数学的发展促使数和形的概念不断深化,形成了多种多样的边缘学科。这些学科不仅没有加深各学科间的分离,而且导致了各学科的互相联系和渗透,使以前基本分离的领域互相沟通了起来,并且填满了基本学科之间中断了的部分。

各门学科形成了一个牢固联系的有机整体。边缘学科不仅在相互邻接的领域产生。

而且在相距很远的领域之间也不断发生,基础学科相互渗透产生了许多综合性学科。综合性学科的出现和蓬勃发展,标志着现代数学的发展已由学科领先阶段过渡到课题领先的新阶段。各学科之间的相互渗透,是数学中数和形两大基本概念紧密联系在一起的辩证法的反映。

各门科学的数学化,使得数学和其他学科交叉结合,产生许多交叉学科,许多学科又派生出许多小的学科分支,这些分支学科不仅促进了各门学科的发展,而且也丰富和发展了数学学科本身。

然而,不管数学各个学科经历着怎样的分、合、变、革,也不管数学内部怎样此消彼长,数学王国的疆土虽然在不断扩张之中,但始终是由数与形两大基本概念所控制。(内容摘自共读一本书-《数学史海览胜》)

文章摘要:19世纪前期,考古学家在美索不达米亚挖掘出大约 50万块刻有楔形文字、跨跃巴比伦历史许多时期的泥书板,上面密密麻麻地刻有奇怪的符号,经研究其中有近400块被鉴定为载有数字表和一批数学问题的纯数学书板。…

【编者按】19世纪前期,考古学家在美索不达米亚挖掘出大约 50万块刻有楔形文字、跨跃巴比伦历史许多时期的泥书板,上面密密麻麻地刻有奇怪的符号,经研究其中有近400块被鉴定为载有数字表和一批数学问题的纯数学书板。

考古学家在十九世纪上半叶于美索不达米亚挖掘出大约50万块刻有楔形文字、跨跃巴比伦历史许多时期的泥书板。这些泥书板上有着密密麻麻的奇怪的符号,这些符号实际上就是巴比伦人所用的文字,人们称它为“楔形文字”。科学家经过研究发现,泥版上记载的,是巴比伦人已获得的知识,其中有近400块被鉴定为载有数字表和一批数学问题的纯数学书板,现在关于巴比伦的数学知识就源于分析这些原始文献。

算术

古代巴比伦人是具有高度计算技巧的计算家,其计算程序是借助乘法表、倒数表、平方表、立方表等数表来实现的。巴比伦人书写数字的方法,更值得我们注意。他们引入了以60为基底的位值制(60进制),希腊人、欧洲人直到16世纪亦将这系统运用于数学计算和天文学计算中,直至现在60进制仍被应用于角度、时间等记录上。比如,1米=10分米,1分钟=60秒等。

代数

古巴比伦人有丰富的代数知识,许多泥书板中载有一次和二次方程的问题,他们解二次方程的过程与今天的配方法、公式法一致。此外,他们还讨论了某些三次方程和含多个未知量的线性方程组问题。

在1900B.C.~1600B.C.年间的一块泥板上(普林顿322号),记录了一个数表,经研究发现其中有两组数分别是边长为整数的直角三角形斜边边长和一个直角边边长,由此推出另一个直角边边长,亦即得出不定方程x2 y2=z2的整数解。

几何

古巴比伦的几何学与实际测量是有密切的联系。他们已有相似三角形之对应边成比例的知识,会计算简单平面图形的面积和简单立体体积。我们现在把圆周分为360等分,也应归功于古代巴比伦人。巴比伦几何学的主要特征更在于它的代数性质。例如,涉及平行于直角三角形一条边的横截线问题引出了二次方程;讨论棱椎的平头截体的体积时出现了三次方程。

古巴比伦的数学成就在早期文明中达到了极高的水平,但积累的知识仅仅是观察和经验的结果,还缺乏理论上的依据。

文章摘要:算术和代数是数学中最基础而又最古老的分支学科,两者有着密切的联系。算术是代数的基础,代数由算术演进而来。从算术演进到代数,是数学在思想方法上发生的一次重大突破。

【编者按】数学的发展并不是一些新概念、新命题、新方法的简单积累,它包含着数学本身许多根本的变化,也即质的飞跃。历史上发生的数学思想方法的几次重大突破,就充分说明了这一点。

算术和代数是数学中最基础而又最古老的分支学科,两者有着密切的联系。算术是代数的基础,代数由算术演进而来。从算术演进到代数,是数学在思想方法上发生的一次重大突破。

一、代数学产生的历史必然性

代数学作为数学的一个研究领域,其最初而又最基础的分支是初等代数。初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解。从历史上看,初等代数是算术发展的继续和推广,算术自身运动的矛盾以及社会实践发展的需要,为初等代数的产生提供了前提和基础。

我们知道,算术的主要内容是自然数、分数和小数的性质与四则运算。算术的产生,表明人类在现实世界数量关系认识上迈出了具有决定性意义的第一步。算术是人类社会实践活动中不可缺少的数学工具,在人类社会各部门都有广泛而重要的应用,离开算术这一数学工具,科学技术的进步几乎难以相象。

在算术的发展过程中,由于算术理论和实践发展的要求,提出了许多新问题,其中一个重要问题就是算术解题法的局限性在很大程度上限制了数学的应用范围。

算术解题法的局限性,主要表现在它只限于对具体的、已知的数进行运算,不允许有抽象的、未知的数参加运算。也就是说,利用算术解应用题时,首先要围绕所求的数量,收集和整理各种已知的数据,并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式,然后通过加、减、乘、除四则运算求出算式的结果。

许多古老的数学应用问题,如行程问题、工程问题、流水问题、分配问题、盈亏问题等,都是借助这种方法求解的。算术解题法的关键是正确地列出算术,即通过加、减、乘、除符号把有关的已知数据连结起来,建立能够反映实际问题本质特征的数学模型。

对于那些只具有简单数量关系的实际问题,列出相应的算式并不难,但对于那些具有复杂数量关系的实际问题,在列出相应的算式,往往就不是一件容易的事了,有时需要很高的技巧才行。特别是对于那些含有几个未知数的实际问题,要想通过建立已知数的算式来求解,有时甚至是不可能的。

算术自身运算的局限性,不仅限制了数学的应用,而且也影响和束缚了数学自身的继续发展。随着数学自身和社会实践的深入发展,算术解题法的局限性日益暴露出来,于是一种新的解题法-代数解题法的产生也就成为历史的必然。

代数解题法的基本思想是,首先依据问题的条件组成包含已知数和未知数的代数式,并按等量关系列出方程,然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。初等代数的中心内容是解方程,因而通常把初等代数理解为解方程的科学。

初等代数与算术的根本区别,在于前者允许把未知数作为运算的对象,后者则把未知数排斥在运算之外。如果说在算术中也论及某个未知数的话,那么,这个未知数也只能起运算结果符号等价物的作用,只能单独地处在等式的左边,静等等式右边的算式完成对具体数字的演算。

也就是说,在算术中,未知数没有参加运算的权利。而在代数中,方程作为由已知数和未知数构成的条件等式,本身就意味着其中所包含的已知数和未知数有着同等的运算地位,即未知数也变成了运算的对象,和已知数一样,它们可以参与各种运算,并可以依照某种法则从乘式的一边移到另一边。

解方程的过程,实质上就是通过对已知数和未知数的重新组合,把未知数转化为已知数的过程,即把未知数置于等式的一边,已知数置于等式的另一边。从这种意义上看,算术运算不过是代数运算的特殊情况,代数运算是算术运算的发展和推广。

由于代数运算具有较大的普遍性和灵活性,因而代数的产生极大地扩展了数学的应用范围,许多算术无能为力的问题,在代数中却能轻而易举地得到解决。不仅如此,代数学的产生对整个数学的进程产生巨大而深远的影响,许多重大发现都与代数的思想方法有关。

例如,对二次方程的求解,导致虚数的发现;对五次以上方程的求解,导致群论的诞生;把代数应用于几何问题,导致解析几何的创立等等。正因为如此,我们把代数的产生作为数学思想方法发生第一次重大转折的标志。

二、代数学体系结构的形成

“代数”一词,原意是指“解方程的科学”。因此,最初的代数学也就是初等代数。初等代数,作为一门独立的数学分支学科,其形成经历了一个漫长的历史过程,我们很难以某一个具体的年代作为它问世的标志。从历史上看,它大体上经过了三个不同的阶段:文词代数,即用文字语言来表述运算对象和过程;简字代数,即用简化了的文词来表示运算内容和步骤;符号代数,即普遍使用抽象的字母符号。

从文词代数演进到符号代数的过程,也就是初等代数由不成熟到较为成熟的发育过程。在这个过程中,17世纪法国数学家笛卡尔做出了突出贡献。他是第一个提倡用x、y、z代表未知数的人,他提出和使用的许多符号,同现代的写法基本一致。

随着数学的发展和社会实践的深化,代数学的研究对象不断得到扩大,其思想方法不断得到创新,代数学也就由低级形态演进到高级形态,由初等代数发展到高等代数。高等代数有着丰富的内容和众多的分支学科,其中最基本的分支学科有如下几个。

线性代数:讨论线性方程(一次方程)的代数部分,其重要工具是行列式和矩阵。

多项式代数:主要借助多项式的性质来讨论代数方程的根的计算和分布,包括整除性理论、最大公因式、因式分解定理、重因式等内容。

群论:研究群的性质的代数学分支学科,属于抽象代数的一个领域。群是带有一种运算的抽象代数系统。群的概念是19世纪初由法国青年数学家伽罗华最先提出的,伽罗华由此成为群论的创立者。群论发展到现在,已经获得丰富的内容和广泛的应用。

环论:研究环的性质的代数学分支学科,是正在发展着的一个抽象代数领域。环是带有二种运算的抽象代数系统,有许多独特的性质。一种特殊的环称为域,如果域的元素是数,则称为数域。以域的概念为基础,形成了抽象代数学的另一个领域-域论。

布尔代数:也称二值代数、逻辑代数或开关代数,是带有三种运算的抽象代数系统。由英国数学家布尔于19世纪40年代创立。近几十年来,布尔代数在线路设计、自动化系统和电子计算机设计方面得到广泛应用。

此外,还有格论、李代数和同调代数等分支学科。

高等代数与初等代数在思想方法上有很大的差别。初等代数属于计算性的,并且只限于研究实数和复数等特定的数系,而高等代数是概念性、公理化的,它的对象是一般的抽象代数系统。因此,高等代数比初等代数具有更高的抽象性和更大的普遍性,这就使高等代数的应用范围更加广泛。向抽象性和普遍性方向发展,是现代代数学的一个重要特征。

程晓龙,第40届IMO(1999年,罗马尼亚布加勒斯特)金牌获得者。

熟悉了高中数学,就会觉得它所介绍的理论并不多,《代数》就是讲函数的观点和初等函数的性质、三角函数、复数、复向量的运算,数列和归纳原理、计数方法。《解析几何》介绍用数量化语言描述几何图形的方法和几种常用几何图形的数量性质。《立体几何》描述空间中点、线、面的位置、度量关系并着重介绍几种基本几何体。要学好高中数学,就应该对这些知识有整体的认识和把握,即理解他们所解决的问题在数学乃至实际中所起的作用。

学习数学绝不是死记定理、公式,不是空洞的解题训练,仅注重其形式化的表面,是无法把握数学的实质的。数学的存在和发展是基于某种实际需要的,了解这种需要,即数学各部分的作用,有助于对数学这个有机整体的认识,不假思索的接受,难以导致对数学的真正了解,因此亲身接触活生生的数学就显得尤为重要。

这就需要学习中对每个问题都能亲自思考、透彻理解。我通常习惯于在遇到新概念时,自己先分析、推导一下它的性质;碰到定理、公式时自己先试着证明一下,这样再学习书本上的内容时,与自己所思考的有种比较,对知识的体会就更多些,理解也能更深一点。

比如说,这样做后就会比较清楚某个定理为什么会有这样的限制条件,在那些情况下适用等。清楚了逻辑上的推理之后,还应回过头来从总体上考虑一下这些结论,考虑一下它们所描述的事实与其它数学知识间的依赖关系。这样做也有助于从宏观上把握知识,对其主要观念有更深刻的领悟,最好是在一个部分的知识学完后,能花点时间整理一下这部分理论,理顺其主要知识点间的联系。

这不是简单的复习,而是确定这些东西成为你自己的知识。它不是单纯的看书,而应该是了解之后的深入思考,甚至你可以撇开课本,仅仅靠思考和必要的演算来完成这一过程,尤其是在平时学习中,每次都是只对一小部分知识学习、做作业,比较零散,这种整体上的熟悉就显得很必要了。

必要的习题不仅能帮助熟悉所学的知识,有些甚至能帮助理解所学的概念、定理,发掘知识更深层次上的内涵。它的另一个作用,即练习本身的作用,就是锻炼思维,而做完题之后的思考无论是对上述那一个方面都是大有裨益的,这就是做题不要局限于解决问题本身,有时可以想想问题所反映的结论,体会一下用到的方法和技巧,重要的是要明白为什么要用这种方法,即能理解方法的实质。

做习题切不可因追求过多而忽略之后的反思,否则经常会出现一些无谓的反复,反而得不偿失。另外一点,就是要从不同的角度思考问题,不满足于已有的方法,即使已有的方法是最简的。从其它角度思考、解决问题能导致一些新的收获,这一点在做难度稍大的题时会更有用处。

有些人学数学只是记下所有的定理公式,各类题型和相应的解法,这样做在学的知识比较少的时候也许还能对付,但一旦内容多了,就很难理清头绪。而掌握基本的解题思想方法却相对容易的多。一道题目的解答或许很长,但最主要的解题思想可能就只有一两条,大部分篇幅都是推理或运算。

而且思想方法对数学的不同部分来说都是相通的,掌握它才是根本,才是应万变之策。解题方法绝不是毫无根据的灵感,必是解决问题过程中深思熟虑后应运而生的途径。因而,对解题方法,重要的是理解这种思维过程,即要透过现象看本质,思想方法源于解题的过程中,也只有通过解题过程中的独立思考、分析摸索才能掌握。

如果有朝一日,你发现自己对数学中的知识理论和思想方法都了然于胸,那么你已经能很好地驾驭所学的知识了,再加上一些过硬的基本功,已足以应付一般的考试,但对于一个要真正学好数学的人来说,这些却远远不够。众所周知,数学需要严密的逻辑推理,但逻辑上的推理却不足以代表数学的全部。

如本世纪的大数学家柯朗所说:“过分着重演绎一公式的数学特性可能失之偏颇,创造性发明以及起指导和推动作用的直觉的要素才是数学理论的核心。”数学很重要的几个因素就是就是逻辑与直觉、分析与创造、一般性与个别性,正是他们的综合交错作用才构成数学的丰富内涵。要学好数学,只有将自己置身于其中,亲自去体会、去发现。

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