OpenGL 图形库使用(六) —— 变换

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V1.0 2017.07.26

前言

OpenGL 图形库项目中一直也没用过,最近也想学着使用这个图形库,感觉还是很有意思,也就自然想着好好的总结一下,希望对大家能有所帮助。
1. OpenGL 图形库使用(一) —— 概念基础
2. OpenGL 图形库使用(二) —— 渲染模式、对象、扩展和状态机
3. OpenGL 图形库使用(三) —— 着色器、数据类型与输入输出
4. OpenGL 图形库使用(四) —— Uniform及更多属性
5. OpenGL 图形库使用(五) —— 纹理

变换

  前面我们知道了如何创建一个物体、着色以及加入纹理,但是他们都是静态的物体,如果想要物体发生运动,需要另外一个方案,那就是使用多个矩阵Matrix对象可以更好的变换Transform一个物体。下面我们继续深入的了解下向量。


向量

  向量最基本的定义就是一个方向。或者更正式的说,向量有一个方向(Direction)大小(Magnitude,也叫做强度或长度)

1. 向量与标量运算

标量(Scalar)只是一个数字(或者说是仅有一个分量的向量)。当把一个向量加/减/乘/除一个标量,我们可以简单的把向量的每个分量分别进行该运算

2. 向量取反

对一个向量取反(Negate)会将其方向逆转。一个指向东北的向量取反后就指向西南方向了。我们在一个向量的每个分量前加负号就可以实现取反了(或者说用-1数乘该向量)。

3. 向量加减

向量的加法可以被定义为是分量的(Component-wise)相加,即将一个向量中的每一个分量加上另一个向量的对应分量。

4. 长度

我们使用勾股定理(Pythagoras Theorem)来获取向量的长度(Length)/大小(Magnitude)。还有一个特殊类型的向量叫做单位向量(Unit Vector)`,单位向量有一个特别的性质——它的长度是1。

5. 向量相乘

两个向量相乘是一种很奇怪的情况。普通的乘法在向量上是没有定义的,因为它在视觉上是没有意义的。但是在相乘的时候我们有两种特定情况可以选择:一个是点乘(Dot Product),记作v¯⋅ k¯,另一个是叉乘(Cross Product),记作v¯× k¯

1. 点乘

两个向量的点乘等于它们的数乘结果乘以两个向量之间夹角的余弦值。

2. 叉乘

叉乘只在3D空间中有定义,它需要两个不平行向量作为输入,生成一个正交于两个输入向量的第三个向量。如果输入的两个向量也是正交的,那么叉乘之后将会产生3个互相正交的向量。接下来的教程中这会非常有用。下面的图片展示了3D空间中叉乘的样子。下面看一个图。

叉乘

下面你会看到两个正交向量AB叉积。

叉乘公式

矩阵

简单来说矩阵就是一个矩形的数字、符号或表达式数组。矩阵中每一项叫做矩阵的元素(Element)

1. 矩阵加减

矩阵与矩阵之间的加减就是两个矩阵对应元素的加减运算,所以总体的规则和与标量运算是差不多的,只不过在相同索引下的元素才能进行运算。这也就是说加法和减法只对同维度的矩阵才是有定义的。

2. 矩阵的数乘

和矩阵与标量的加减一样,矩阵与标量之间的乘法也是矩阵的每一个元素分别乘以该标量。

3. 矩阵相乘

矩阵之间的乘法不见得有多复杂,但的确很难让人适应。矩阵乘法基本上意味着遵照规定好的法则进行相乘。当然,相乘还有一些限制:

  • 只有当左侧矩阵的列数与右侧矩阵的行数相等,两个矩阵才能相乘。
  • 矩阵相乘不遵守交换律(Commutative),也就是说A⋅B ≠ B⋅A

矩阵与向量相乘

让我们更深入了解一下向量,它其实就是一个N×1矩阵,N表示向量分量的个数(也叫N维(N-dimensional)向量)。但是为什么我们会关心矩阵能否乘以一个向量?好吧,正巧,很多有趣的2D/3D变换都可以放在一个矩阵中,用这个矩阵乘以我们的向量将变换(Transform)这个向量。

1. 单位矩阵

OpenGL中,由于某些原因我们通常使用4×4的变换矩阵,而其中最重要的原因就是大部分的向量都是4分量的。我们能想到的最简单的变换矩阵就是单位矩阵(Identity Matrix)。单位矩阵是一个除了对角线以外都是0的N×N矩阵。

2. 缩放

对一个向量进行缩放(Scaling)就是对向量的长度进行缩放,而保持它的方向不变。由于我们进行的是2维或3维操作,我们可以分别定义一个有2或3个缩放变量的向量,每个变量缩放一个轴(x、y或z)。

OpenGL通常是在3D空间进行操作的,对于2D的情况我们可以把z轴缩放1倍,这样z轴的值就不变了。我们刚刚的缩放操作是不均匀(Non-uniform)缩放,因为每个轴的缩放因子(Scaling Factor)都不一样。如果每个轴的缩放因子都一样那么就叫均匀缩放(Uniform Scale)。下面就是缩放的例子。

缩放

3. 位移

位移(Translation)是在原始向量的基础上加上另一个向量从而获得一个在不同位置的新向量的过程,从而在位移向量基础上移动了原始向量。我们已经讨论了向量加法,所以这应该不会太陌生。和缩放矩阵一样,在4×4矩阵上有几个特别的位置用来执行特定的操作,对于位移来说它们是第四列最上面的3个值。

位移

齐次坐标(Homogeneous Coordinates)
向量的w分量也叫齐次坐标。想要从齐次向量得到3D向量,我们可以把x、y和z坐标分别除以w坐标。我们通常不会注意这个问题,因为w分量通常是1.0。使用齐次坐标有几点好处:它允许我们在3D向量上进行位移(如果没有w分量我们是不能位移向量的),而且下一章我们会用w值创建3D视觉效果。
如果一个向量的齐次坐标是0,这个坐标就是方向向量(Direction Vector),因为w坐标是0,这个向量就不能位移

4. 旋转

如果你想知道旋转矩阵是如何构造出来的,我推荐你去看可汗学院线性代数的视频。

首先我们来定义一个向量的旋转到底是什么。2D或3D空间中的旋转用角(Angle)来表示。在3D空间中旋转需要定义一个角和一个旋转轴(Rotation Axis)。物体会沿着给定的旋转轴旋转特定角度。

旋转矩阵在3D空间中每个单位轴都有不同定义,旋转角度用θ表示:

旋转

利用旋转矩阵我们可以把我们的位置向量沿一个单位轴进行旋转。也可以把多个矩阵结合起来,比如先沿着x轴旋转再沿着y轴旋转。但是这会很快导致一个问题——万向节死锁(Gimbal Lock,可以看看这个视频(优酷)来了解)。

下面是绕任意轴旋转的公式,见下面这个公式,(Rx,Ry,Rz)代表任意旋转轴:

任意轴旋转

5. 矩阵组合

使用矩阵进行变换的真正力量在于,根据矩阵之间的乘法,我们可以把多个变换组合到一个矩阵中。让我们看看我们是否能生成一个变换矩阵,让它组合多个变换。建议您在组合矩阵时,先进行缩放操作,然后是旋转,最后才是位移。


实践

OpenGL没有自带任何的矩阵和向量知识,所以我们必须定义自己的数学类和函数。在教程中我们更希望抽象所有的数学细节,使用已经做好了的数学库。幸运的是,有个易于使用,专门为OpenGL量身定做的数学库,那就是GLM

1. GLM

GLMOpenGL Mathematics的缩写,它是一个只有头文件的库,也就是说我们只需包含对应的头文件就行了,不用链接和编译。GLM可以在它们的网站上下载。把头文件的根目录复制到你的includes文件夹,然后你就可以使用这个库了。

我们需要的GLM的大多数功能都可以从下面这3个头文件中找到:

#include <glm/glm.hpp>
#include <glm/gtc/matrix_transform.hpp>
#include <glm/gtc/type_ptr.hpp>

我们来看看是否可以利用我们刚学的变换知识把一个向量(1, 0, 0)位移(1, 1, 0)个单位(注意,我们把它定义为一个glm::vec4类型的值,齐次坐标设定为1.0)。

glm::vec4 vec(1.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f);
glm::mat4 trans;
trans = glm::translate(trans, glm::vec3(1.0f, 1.0f, 0.0f));
vec = trans * vec;
std::cout << vec.x << vec.y << vec.z << std::endl;

我们先用GLM内建的向量类定义一个叫做vec的向量。接下来定义一个mat4类型的trans,默认是一个4×4单位矩阵。下一步是创建一个变换矩阵,我们是把单位矩阵和一个位移向量传递给glm::translate函数来完成这个工作的(然后用给定的矩阵乘以位移矩阵就能获得最后需要的矩阵)。

我们来做些更有意思的事情,让我们来旋转和缩放之前教程中的那个箱子。首先我们把箱子逆时针旋转90度。然后缩放0.5倍,使它变成原来的一半大。我们先来创建变换矩阵:

glm::mat4 trans;
trans = glm::rotate(trans, glm::radians(90.0f), glm::vec3(0.0, 0.0, 1.0));
trans = glm::scale(trans, glm::vec3(0.5, 0.5, 0.5));
  • 首先,我们把箱子在每个轴都缩放到0.5倍,然后沿z轴旋转90度。GLM希望它的角度是弧度制的(Radian),所以我们使用glm::radians将角度转化为弧度。注意有纹理的那面矩形是在XY平面上的,所以我们需要把它绕着z轴旋转。因为我们把这个矩阵传递给了GLM的每个函数,GLM会自动将矩阵相乘,返回的结果是一个包括了多个变换的变换矩阵。

  • 下一个大问题是:如何把矩阵传递给着色器?我们在前面简单提到过GLSL里也有一个mat4类型。所以我们将修改顶点着色器让其接收一个mat4uniform变量,然后再用矩阵uniform乘以位置向量:

#version 330 core
layout (location = 0) in vec3 aPos;
layout (location = 1) in vec2 aTexCoord;

out vec2 TexCoord;

uniform mat4 transform;

void main()
{
    gl_Position = transform * vec4(aPos, 1.0f);
    TexCoord = vec2(aTexCoord.x, 1.0 - aTexCoord.y);
}

  • 在把位置向量传给gl_Position之前,我们先添加一个uniform,并且将其与变换矩阵相乘。我们的箱子现在应该是原来的二分之一大小并(向左)旋转了90度。当然,我们仍需要把变换矩阵传递给着色器。
unsigned int transformLoc = glGetUniformLocation(ourShader.ID, "transform");
glUniformMatrix4fv(transformLoc, 1, GL_FALSE, glm::value_ptr(trans));

我们首先查询uniform变量的地址,然后用有Matrix4fv后缀的glUniform函数把矩阵数据发送给着色器。第一个参数你现在应该很熟悉了,它是uniform的位置值。第二个参数告诉OpenGL我们将要发送多少个矩阵,这里是1。第三个参数询问我们我们是否希望对我们的矩阵进行置换(Transpose),也就是说交换我们矩阵的行和列。OpenGL开发者通常使用一种内部矩阵布局,叫做列主序(Column-major Ordering)布局。GLM的默认布局就是列主序,所以并不需要置换矩阵,我们填GL_FALSE。最后一个参数是真正的矩阵数据,但是GLM并不是把它们的矩阵储存为OpenGL所希望接受的那种,因此我们要先用GLM的自带的函数value_ptr来变换这些数据。

我们创建了一个变换矩阵,在顶点着色器中声明了一个uniform,并把矩阵发送给了着色器,着色器会变换我们的顶点坐标。

下面我们看一下效果图。

效果图

我们现在做些更有意思的,看看我们是否可以让箱子随着时间旋转,我们还会重新把箱子放在窗口的右下角。要让箱子随着时间推移旋转,我们必须在游戏循环中更新变换矩阵,因为它在每一次渲染迭代中都要更新。我们使用GLFW的时间函数来获取不同时间的角度。

glm::mat4 trans;
trans = glm::translate(trans, glm::vec3(0.5f, -0.5f, 0.0f));
trans = glm::rotate(trans, (float)glfwGetTime(), glm::vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f));

要记住的是前面的例子中我们可以在任何地方声明变换矩阵,但是现在我们必须在每一次迭代中创建它,从而保证我们能够不断更新旋转角度。这也就意味着我们不得不在每次游戏循环的迭代中重新创建变换矩阵。通常在渲染场景的时候,我们也会有多个需要在每次渲染迭代中都用新值重新创建的变换矩阵。

尽管在代码中我们先位移再旋转,实际的变换却是先应用旋转再是位移的。明白所有这些变换的组合,并且知道它们是如何应用到物体上是一件非常困难的事情。只有不断地尝试和实验这些变换你才能快速地掌握它们。

效果gif

后记

未完,待续~~

美啊

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