编者按：根据教材，《一次函数》属于初二上册内容，为了帮助学生建构完整的函数观念，我们将其上调至初一下学期进行。究其原因，除了知识的连贯性外，根据皮亚杰儿童心理学，初中学生逐步进入到形式运算阶段，已经具备学习一次函数的认知基础。从学习结果来看，大部分学生都能够达到预期目标，甚至可以走得更远。学期末，昆仑班的锦同学将这一阶段的探索历程整理成一篇小论文，具体内容如何？让我们一睹为快吧。
一、什么是函数？
这个学期，我们学习了一个全新内容：一次函数。在刚开始学习时，我们面临的第一个问题——“函数”是什么呢？总的来说，“函数”不是数，是一个非常抽象的概念。
我们通过一个简单例子来说明，下图所表示的是一个研究小车下滑时间的问题。
在这个例子中，我们发现其中有的量是在变化的，就比如支撑物的高度和小车下滑的时间，这与我们之前所熟悉的有所不同（回忆上学期学过的方程，全部都是确定的数），我们将这一类会发生变化的量叫做变量。从表格给出的数据可以看出：小车下滑的时间随着支撑物的高度变化，并且随着支撑物高度的增加而减少。
在这个变化过程中，支撑物的高度是由客观条件影响而变化的量，我们把它叫做自变量。而随着自变量的变化而变化的量，就是因变量，在本题中就是小车下滑的时间。至于函数，简单来说，就是自变量、因变量以及它们之间的变化关系啦。在这个实际例子中，我们无法准确得知小车下滑时间与支撑物高度的变化关系，只能大致了解一下变化趋势。
简单总结一下“函数”概念，函数不是整数、分数之类的数，而是一种变化关系。我们应该都听过这样一句话，“这个世界上唯一不变的就是变化”，变化的量大量存在于我们的生活中，要想进一步了解这些变量与哪些因素有关？又会影响哪些方面？具体的变化规律又是如何？就要用到我们现在学习的函数思想了。
二、一次函数及其研究方法
在所有的函数关系中，一次函数是最简单的一种。那一次函数又是什么呢？简单说，就是在函数表达式中，自变量x的次数为1次。这么说还是有些抽象，我们再次通过举例子的方式来说明。
“某弹簧的自然长度为3cm。在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm。”
在这个实际问题中，所挂物体的质量为自变量，弹簧长度为因变量。我们可以通过列表的方式，观察这两个变量之间的关系，具体如下：
我们很容易得到这两个变量之间的具体关系式为y = 0.5x + 3，类似这样的函数关系我们就叫做一次函数。一次函数的一般表达式可以表示为y=kx +b，其中，x表示自变量，y表示因变量，而字母k、b不是变量，是常量，在弹簧这个实际例子中，k=0.5，b=3。
进一步观察我们会发现，在所挂物体质量有规律增长的情况下，弹簧长度每次增加的都是一样的。同样地，任何一个一次函数都有这样的规律。我们可以用如下表格的方式表示：
通过表格我们会发现，若自变量x有规律地变化，因变量y也会随之有规律地变化，如果x增加1，那么y对应的增加k倍。也就是说，一次函数关系中，因变量随自变量均匀变化。
除了从“数”的角度外，我们还可以从“形”的角度——在平面直角坐标系中画图的方式来研究一次函数。画图过程主要分为三步：列表，描点，连线。列表就是通过一次函数解析式，自己定好自变量的数值，算出对应因变量。描点就是在以自变量为横轴（x轴），因变量为纵轴（y轴）的平面直角坐标系中，标出对应点。而连线就是连接对应点。
我们以函数y =2x + 1为例，画出的函数图像如下所示：
由图可知，函数y =2x + 1图像是一条直线。那是不是任何一个一次函数的图像都是一条直线呢？是的，因为一次函数中，因变量y随着自变量x均匀变化嘛。知道了一次函数图像是一条直线，我们再画图时，就可以根据2点确定一条直线画图了，不过描点的时候最好选择3个以上，防止计算出错。
现在，我们可以做个小小总结：对于一次函数，从“数”的角度看，因变量y随着自变量x的变化而均匀变化；从“形”的角度看，一次函数的图像在平面直角坐标系中是一条直线。这种研究方法，我们叫做数形结合。
三、一次函数的性质
接下来，就让我们用数形结合的方法，继续探索一次函数的一般性质吧。在探索之前，我们首先要讨论清楚一个问题：对于一次函数y =kx +b，我们是研究x、y两个变量，还是研究k、b两个常量（也叫参数）？x、y是变量，我们无法研究，而k、b是常量，取不同的值就意味着不同的函数关系，所以我们要研究k、b对函数的影响。
那么k和b对函数图像有什么影响呢？我们分开研究，先来看三组一次函数：y= 3x + 2，y= 3x，y= 3x -2。这三组一次函数的k相同，不同的是b，具体的函数图像如下：
对比三组一次函数图像，我们能够发现：一次函数图像与y轴的交点坐标为（0，b），因此b会影响到函数图像与y轴交点的位置。当b＞0时，函数图像过y轴正半轴；当b= 0时，函数图像过坐标原点（0，0），这种特殊的情况也就是正比例函数；当b＜0时，函数图像过y轴负半轴。并且b的绝对值越大，与y轴的交点离坐标原点越远。
除此以外，我们还发现，无论b值是多少，只要一次函数的k值相同，函数图像是平行的。仔细思考后就会明白，一次函数y随x均匀变化，而k决定的就是变化倍数。
以相同的思路，我们继续研究k值对函数图像的影响。我们选择两组一次函数关系式：第一组y = -3x，k为负数，第2组y= 2x，k为正数，k = 0的情况我们不必考虑，因为如果k = 0，不论x为多少，y的值都不会变，恒等于b。具体的函数图像如下：
对比两组图像后，我们发现，当k＞0时，y的值随x值得增大而增大，对应函数图像的走向是斜向上。当k＜0时，y的值随x值的增大而减小，函数图像的走向是斜向下。总而言之，k的正负影响了函数图像的大体走向。
不仅如此，我们还发现，第一组的函数y = -3x的图像更陡，这是因为k的绝对值大小会影响函数变化的快慢。具体来说，当k > 0时，k越大，随着x值的增大，y值的增大幅度越大，对应的图像越陡；当k＜0时，k的绝对值越大（k越小），随着x值的增大，y值的减小幅度越大，图像也越陡。正因如此，k也被叫做斜率。
四、如何求一次函数解析式
在有关一次函数的实际运用中，有一类问题是很常见的，就是已知坐标点求一次函数的解析式。x和y是变量，不必多说，所以我们求一次函数解析式，实际上求的就是参数k、b。
正比例函数的解析式比较简单，因为正比例函数有一个特点就是b =0，在平面直角坐标系中一定过坐标原点（0，0）。所以只要再知道一个坐标点，带入y= kx就可以求出k。
一次函数的解析式要相对复杂一些。如果我们知道特殊点（0，b），即函数与y轴的交点坐标，我们可以直接得到b的值。此时，再知道另一个点的坐标带入，就可以求出k的值。
但还有一个更为复杂的情况，就是没有特殊点，任意给出两点坐标求一次函数的解析式。如果我们能够深刻理解一次函数的因变量y随自变量x的变化而均匀变化，这类问题就会非常简单。以上面提到的表格为例：
对比表格中的两个函数，我们可以看出，自变量x每增加一个数，因变量y对应变化k倍。因此我们可以根据一次函数y与x的对应变化关系，先求出k值，再任意选择其中一点坐标代入求出b值。
五、在实际情境中理解k、b含义
在不同的实际情境下，k与b的含义是不一样的。就比如说在最开始提到的弹簧问题，k表示物体每增重单位质量时弹簧增加的长度，而b代表的则是弹簧的初始长度。在路程问题中，k一般表示速度，也就是单位时间内行驶的路程，b则表示初始的位置。所以在实际问题中，k一般又可以理解为变化率，简单说就是单位变化量，b表示初始值。
如果能够深刻体会k、b在实际情境中的含义，并灵活应用，会帮助我们更好地解决实际问题。比如下面一个问题：
“一水池的容积是90m3，现蓄满水，用水管以5m3/h的速度向外排水，直到排完为止。请写出水池蓄水量V（m3）与注水时间t（h）之间的关系式。”
在这个题中，很显然5m3/h是变化率，也就是k值，不过要加上一个负号，因为这是在向外排水，而起始值是90m3，即b = 90。所以，我们可以快速得到函数解析式：V= -5t + 90。怎么样？是不是很简单呢？
六、二次函数初探索
除了我们现在学习的一次函数外，初三还要学习二次函数，我认为方法应该和学习一次函数的时候差不多：
首先，需要明确二次函数的一般形式，对比一次函数，二次函数应该就是自变量x的次数为2，一般形式应该就是y=ax2+b。
其次，通过画图的方式研究二次函数的一般规律，我们以y=x2-1为例，列表、描点、连线，得到下面的图像，需要注意的是，对于一个未知的函数关系，要尽可能多的描点，并且要考虑到特殊点（0，b），这样才能比较完整地发现规律。通过图像可知，二次函数的图像不再是一条直线，因为自变量x的次数为2次，变化不再均匀。但我们同时发现，二次函数的图像关于y轴对称，这是因为平方具有非负性，且互为相反数的两个数的平方相同。
接下来，就是通过数形结合的方法，研究参数a、b对二次函数图像的影响。第一，b在二次函数图像中的影响，与在一次函数图像中的影响是一样的，都是决定了函数图像与y轴交点的位置。第二，a＞0时，二次函数图像的开头向上；a＜0时，二次函数图像的开口向下。
当然，这里只是二次函数知识中的一小部分，相信还有很多神奇的秘密等待我们去探索。
以上就是我们这个学期对一次函数的完整探究过程，不光学会了一次函数的知识，更懂得了学习函数的一般方法。我的分享到此结束，谢谢大家。
