《星际穿越》这部片子我到现在都还没有看，所以不能多说什么。
　　不过关于这部片子的相关消息倒是听说了不少，前两天还写了一篇《那些宇宙里的奇葩们》来闲扯一下相关的东西，不过似乎扯得和电影不是很挨边。。。只可惜我的刷电影计划是安排在下周六，所以短时间里也实在是写不了影评。。。

影评不能写，穿越指南还是可以写写的，所以这篇东西就针对穿越指南来略谈一点。

和电影相关的物理方面的东西，从各方传来的消息看来，主要集中在下面这些点上：
　　维度，引力，相对论效应。
　　后面两个在上次的《奇葩们》里已经提到过了，这里主要来说一下别的东西。

一，维度

维度是一个日常生活里大家不怎么接触到的名词。
　　当然，这个名词不怎么接触到，并不表示这个东西我们接触不到——恰恰相反，维度这个名词所对应的物理对象正好是我们所有日常生活必然会接触到的一个东西，这个坎我们还怎么都绕不过去。
　　就物理上来说，所谓维度，可以大致理解为物体可以自由活动的方向。
　　这个说法是非常粗糙的，要细致理解这个概念我们必须深入到物理本质中去，所以就需要使用一定的数学。
　　继续下去之前，我们先来看一下日常生活中我们可能会接触到的“维度”一词可能是什么样的。
　　比如说，我们在评论一本书的时候可能会说这本书的这个故事有几个维度可以来分析，一样产品可能有几个维度可以做优化，用户群体可以从几个维度来做区分，等等。
　　从这些直观的表述上，我们可以感觉到，“维度”这个词的含义和“层次”是很有点共通性的。
　　回到物理上，我们将这种共通性可以具体地定位在这么一种概念上——
　　对系统的行为有影响的，一组相互之间互不影响的，参数，被称为一组（广义的）维度。
　　比如说，日常空间中的一个点，它的运动可以用上下左右前后这三组量来表示，而且上下移动的时候，其左右和前后这两组参数可以是不变的，从而我们说“上下”是一组和“左右”以及“前后”独立的参数。以此类推，我们发现日常生活中我们只能区分出“上下”、“左右”和“前后”这三组参数，来描述一个点的运动，或者说一个点的运动只能在“上下”、“左右”、“前后”这三个独立的“维度”上进行。
　　那么，是否一定只有这三个“维度”呢？
　　在回答这个问题的时候请务必小心，因为按照我们当前的定义，物体的运动未必只能有这三个独立参数——所以在上面的定义中加了“广义的”这个辅助词。
　　比如说，我们现在看的不是一个点，而是一个半径有限的不能形变的球体，那么它的运动就有五个维度：上下、左右、前后、上下左右这个平面里的转动，前后左右这个平面里的转动。
　　有人可能会问那为什么没有上下前后这个平面里的转动呢？这是一个好问题，答案是：数学家欧拉告诉我们这个平面上的任意转动都可以用上下左右平面与前后左右平面里的转动的叠加来获得，从而不是独立的，于是按照定义就不能当作一个“维度”。
　　习惯上来说，我们常常用“自由度”来称呼这种广义上的维度，但从数学上说，自由度也是维度，两者并没有什么区分。
　　自由度也不是一个纯数学上的概念，物理上也是有体现的，比如在热力学的能量均分定理中，系统总能量就等于系统自由度的数量乘上一个能量系数。可见，点构成的气体和球构成的气体在这里就完全不同了。
　　那么，我们一般所说的维度，到底是什么呢？
　　其实，在日常生活中我们所提到的物理方面的维度，指的是“空间维度”，可以近似地理解为一个点的运动的维度，从而日常生活的维度就是3。
　　那么，为什么要扯什么广义的维度自由度呢？这是为了告诉大家一件事：维度本身是一个数学的概念，本身可以是非常抽象的，甚至和普遍的常识直观不同的。
　　也因此，当我们在后面说到四维五维六维的时候，虽然可以用一些形象的比喻来帮助理解，但千万不要把比喻当真了。
　　回到空间维度上，它的一个比较严格的定义，就是一个点粒子在一个给定空间中自由运动时，其独立的方向参数的数量，就反映了这个空间的维度。
　　这当然依然不是最严格的定义，最严格的定义是数学拓扑学上的问题，而且，事实上，定义的方式有很多，比如较常见的有豪斯道夫维度、盒子维度以及自相似维度，它们的差异在分形上才会体现出来。
　　从数学上来说，维度是一个拓扑概念，它和连通性以及紧致性密切相关——用人话说，就是对象的维度和对象的一个点在多少方向上可以被到达是相关的，这怎么看都是依据废话。
　　当我们说，相对论（无论是狭义还是广义）中的时空是四维的时候，这就表示了两个含义：
　　首先，时空中一个点需要四个独立参数才能完整地描述它的位置和运动。
　　也就是说，光知道xyz，我们还不足以描述一个点在时空中的完整的位置信息，我们还需要t。所以一个点的完整的坐标就应该是(t,x,y,z)。
　　当然，这其实本身和是否是相对论无关，就算是牛顿力学，我们一样可以说在整条时间长河中看来，粒子是处于四维时空中的，这句话一点问题都没有。
　　第二点，时空是四维的这句话就是说，原则上来说一个点的运动可以在txyz这四个方向上相互独立的运动。
　　日常生活中，一个点可以在xyz这三个方向上互不影响的运动已经是大家耳熟能详的事情了，但现在你说一个点可以在时间t方向上自由的运动，这就很违背常理了。
　　为了解释这个问题，我们就到了相对论的领域了。
　　所以，进入第二章——

二，距离

在《那些宇宙里的奇葩们》这篇文章中，我已经提到，相对论本质上来说是一个几何理论。
　　事实上，如果你的数学感觉略好的话，从上面的部分你应该已经感受到——我们这是在谈论几何嘛，什么点的位置什么的，这不就是解析几何么？
　　诚然，物理既然是用数学语言来描述的，那么谈到深处显数学，也就很自然了。
　　好了，不说废话。
　　上一章提到，维度本质上是一个数学上的拓扑概念，物理借用这个数学术语所要表示的，主要就是两点：需要四个独立坐标，以及可以在四个方向上运动。
　　这一章我们要说的是：拓扑上可以自由运动，并不表示实际上它就真的可以自由运动。
　　所以，虽然按照拓扑术语维度来说，粒子可以在时间t上自由运动，但实际上你不可能看到来自未来的星星啊不对来自未来的你——当然，我们暂且不考虑科幻电影《回到未来》。
　　为了解释清楚这个问题，我们就需要继续更加深入地聊一聊数学了——我知道，这会让我的读者数量以光速锐减。。。

所谓拓扑学，大致来说，就是研究一个几何体各组成点之间连接方式的学科。
　　因此，拓扑可以告诉你一个空间（数学概念上的空间，近似可以理解为一个集合）中两个点是否连通，或者一条曲线（也就是一个点集）是否连续，等等等等。
　　你可以认为拓扑研究的就是各种连通问题。
　　而维度恰好会影响是否连通的问题，于是维度是一个拓扑概念。
　　但，我们都知道，现实生活中，你光知道从家到公司是否连通是没用的，你还要知道到底有多远。
　　于是，在拓扑结构之上，数学家们引入了度量结构——度量，就如名字所暗示的，描述的就是两个点之间的距离等几何信息的。
　　现在我们穿越一下，在科幻题材经常看到的“虫洞”这个概念中，宇宙中的两点一个通过寻常时空相连，另一个通过虫洞相连，结果我们发现前者比后者长了很多很多很多。

虫洞示意图

度量可以这么来写：ds ^ 2 = g_{ij} dx ^ i dx ^ j。
　　用人话来说，从一个点p，到这个点旁边的点p + dx的距离ds，就是dx在各个方向i上的分量dx ^ i两份，与一个参数g_{ij}一份，i和j相等的那些系数乘在一起，在对所有的i和j的取值求和，的结果。
　　举个例子就都清楚了：

我们日常生活空间中就是：
ds ^ 2 = g_{00} dx dx + g_{11} dy dy + g_{22} dz dz
　　　　+ g_{01} dx dy + g_{10} dy dx
　　　　+ g_{02} dx dz + g_{20} dz dx
　　　　+ g_{12} dy dz + g_{21} dz dy
又由于平直时空中g_{00} = g_{11} = g_{22} = 1，其他的g_{01}这种两个参数不同的g都等于0，
所以上面的结果又可以写成：
ds ^ 2 = dx dx +dy dy + dz dz
这不就是我们平时所用的距离公式么？

在四维时空中，上面的i和j的取值范围是从0取到3，其中0表示的就是时间方向，而1到3表示的就是xyz这三个空间方向。
　　现在，让我们来看平直时空的那些系数g_{ij}，它们是：

g_{ij} = -1 0 0 0
          0 1 0 0
          0 0 1 0
          0 0 0 1

也就是说，在我们所处的时空中，距离是这样的：

ds ^ 2 = dx dx + dy dy + dz dz - dt dt

请注意，最后一个是减号！
　　这就引起了很好玩，同时也让数学家很抓狂的东西了——距离的平方可能是负数，从而距离本身可能是虚数……
　　更要命的是，让我们来看一个“静止”的物体——
　　静止的物体，就是说，它的xyz三个坐标分量是固定不变的，而时间分量t则是变化的。
　　那么，一个静止的物体在(t, x, y, z)这个位置，那么下一个时刻它就会跑到(t + dt, x, y, z)这个位置。
　　我们来算一下这两个时间点所对应的物体在时空中的时空点之间的距离，就会发现：ds ^ 2 = - dt ^ 2——这货居然是一个负数！这个距离的平方就是一个负数！静止物体在时空中两点之间的距离的平方居然是一个负数！
　　数学家们就抓狂了，因为数学上距离的定义必须是正实数！
　　物理学家对这个数学上反直觉的事情的处理方式就是——我不管，我就这么用。
<blockquote>
说一点，相对论的发展历史上，也有过截然相反的定义，那是这样的：<pre>ds ^ 2 = dt dt - dx dx - dy dy - dz dz</pre>这样静止的物体所度过的距离虽然是正常了，但是你会更加惊讶地发现日常空间中两点之间的距离的平方就成了负数……
</blockquote>

而，相对论，不管是狭义相对论还是广义相对论，有一个基本前设，就是任何物理过程不改变物体所对应的在时空中代表其运动的矢量的单位长度。
　　这个说法当然是尽可能简单直观的了，实际上的论述要复杂且麻烦很多。
　　总之，就是从物体自身的坐标系来看，如果本来长度是一的，那么无论物理作用怎么作用，它在时空中的长度永远保持为一。
　　也因此，一个长度平方为负一的东西，无论物理怎么作用，它的长度平方只能始终为负一，不能从负一变为正一再变回负一。
　　要注意的是，这里所说的都是在时空中的长度，就是上面所说的那个ds ^ 2，而不是空间中的长度。所以，代表物体在空间中表现出的速度的矢量v，它的长度可以从0到某个值随意变化。
　　另一个需要注意的，就是这个长度是从物体自身测量得到的，而不依赖于某个具体参照系。具体说来，我们可以认为就是物体运动在时空中所对应的“世界线”的“切线”的单位矢量，这个说法是不是特拗口？
　　而，从距离的上述表达形式，我们不难发现一件让人沮丧的事情，那就是如果一个物体的运动本来是从过去到未来，距离的平方为负一的（物理上的术语叫做“类时”），那么它要变到从未来到过去，距离的平方也为负一，就必须通过一段区域，其中距离的平方为正一（物理上的术语叫做“类空”），且这样的区域是无法避免的。
　　因此，这其实就对物体的运动提出了一个限制——那些从过去到未来运动的物体，无论发生什么，都只能从过去向未来的方向运动，而不可能因为某些原因倒过来走。
　　所以，我们不可能看到在时间上真正自由地走来走去的物理对象，因为时空的度量性质决定了，只能从过去走向未来。

上面的说法都是高度科普高度口水的，实际上的物理描述要麻烦复杂和严谨很多。
大家只要有一个大致的印象就足够了，那些艰深的物理讨论可以留给以后有兴趣继续读物理的人，普通人不用深究。

同时，另一方面，在考虑量子效应后，我们会发现世事无绝对……比如量子理论中的“反粒子”就是粒子在时间上逆向形式所造成的，而粒子和反粒子的各种转变在量子过程中也是允许的，只要满足一定的条件就可以——比如虚粒子海中它们就经常成对出现相爱相杀。

理论上，我们可以构造一种特定的时空结构，让其中粒子在始终保持类时运动的情况下，从未来回到过去。
　　这样的结构当然是在数学上允许的，我们称其为“类时闭曲线”，通俗地说就是“时间机器”。但数学上允许并不表示物理上允许——数学上通过方程m ^ 2 = 1可以得到m = 1和m = -1两个解，但我们知道质量不能为负一，所以m = -1其实只是数学上的解，而不是物理上的解——物理所作的很大一部分工作，就是对物理学家通过数学获得的结论做物理上的筛选，找出真正的物理，而去掉那些数学混进来的残渣。
　　要回答这个问题，我们就需要进入第三章——

三，引力

聊相对论的人总会聊到引力和时空弯曲这样的话题。
　　一个常见的科普模型就是一张橡皮膜，上面有一个大球，把橡皮膜弄弯曲，然后一个小球在弯曲的橡皮膜上滚动，由此来说明引力。
　　关于这个科普模型，在《那些宇宙里的奇葩们》中已经谈过了，这里不多啰嗦。
　　为了弄明白什么是引力，即便是在科普的层面上，我们也需要到数学里兜一圈。

前面，我们已经大致知道了什么是拓扑结构（描述两个点的连接情况）和什么是度量结构（描述两个点之间的距离），下面我们要说一下微分结构——一个很吓人的名词。
　　所谓微分结构，说白了就是告诉你（数学上的）空间中每个点上的坐标系是怎么样的。
　　狭义相对论就是认为每个点上的坐标系都长得一样的几何学也是物理学，而广义相对论则是认为每个点上的坐标系可以不同的几何学也是物理学。
　　现在，每个点上的度量结构可以都一样，但每个点上的坐标系却可以彼此不同，这样就导致整个空间可以非常灵活。
　　而，将两个不同点上的坐标系联系起来，告诉你如何从一个点的坐标系的坐标值变到另一个点的坐标系里去的，这种数学对象就被叫做“联络”。
　　这种数学上叫做联络的对象，在物理上也就大致对应为“引力”了。
　　而，我们平常所说的“引力就是时空弯曲”，这句话的典故则出自这么一条数学上的现象：
　　一旦我们知道了空间里的“联络”——在微分几何里更好的称呼是“流形”上的“联络”——那么我们就知道了这个流形的形状，可以通过联络计算出这个流形的弯曲情况（即Riemann张量、Ricci张量，等等）。
　　因此，联络与“弯曲方式”是相互对应的，从而“引力”就和“时空的弯曲”对应了起来。
　　这里的细节我们可以不管，部分八卦内容你也可以从《奇葩们》一文里找到。
　　爱因斯坦的广义相对论，就是将“引力就是时空弯曲”这个思想上，找到了时空中的物质与能量是如何影响到时空的弯曲的，这么一种互动关系——

著名的爱因斯坦场方程，不含宇宙学常数项

这里不得不唠叨一下。
T的构成形式与T的具体形式其实是两码事。
深入到数学中，我们会发现，要知道T的具体形式，我们必须首先知道g……也就是说，我们就算知道了物体如何运动，从而知道物体的能量与动量，但也需要有g才能通过这种运动知道真正的T……于是这就成了先有鸡还是先有蛋的问题了……
将T中和g无关的部分笼统地称呼为不精确的“构成形式”，而将包含g的T称呼为它的“具体形式”，以免混淆。

人们最有兴趣的黑洞啊白洞啊虫洞啊，就是上述方程的数学解。
　　事实上，对于这些数学解，我们目前的情况是，基本认为其中的黑洞解是真实的物理的，而白洞解和虫洞解则更多的是数学的猜测的，而非真实的物理的。
　　让我们来欣赏一组狂野的数学想象力：

数学上可以存在的很牛逼的八爪鱼一般的虫洞与黑洞联系想象图

　　原则上说，我们验证数学结果是否是物理结果的最好办法，就是做实验。
　　但，可惜的是黑洞和虫洞这样的神物，在人类科技能力范围内没法做实验，于是现在尴尬就尴尬在我们其实也不知道我们算出来的数学结果哪些真的是物理，哪些是数学混到物理中来的卧底……
　　比如我个人就很认为上头的八爪鱼是真实的物理，但估计主流不会这么想……
　　现在回到《星际穿越》里的科技顾问索恩，这家伙的最大贡献（之一）就是，他和霍金以及别的一些人证明了一系列关于黑洞虫洞和类时闭曲线（也就是时间机器）的定理，其中就包括了在经典情况下后两者几乎不可能稳定存在。。。
　　更牛的大概就要数数学大师丘成桐了，他证明了如果物理上的正能量条件是真实的物理的约束条件，那么就不可能有时间机器也不可能有那些奇妙的虫洞。
　　所以，我们大概只能在幻想的国度里YY一下穿越虫洞的美妙了吧……

当然，丘成桐在物理上更有名的大概要数超弦理论中十一维中的七个蜷缩维度所构成的卡拉比－丘成桐空间了。

四，结束语

似乎第三章相比前面的部分太草率了点。。。
　　所以，我就放一个预告吧——下回谈谈平行宇宙和穿越，小伙伴们一起搬好板凳听我扯淡哦～～～

PS：前提是还有下回的话……

重要的PS：推荐大家可以去看索恩自己很久以前写的科普书：《黑洞与时间弯曲》。也可以看一下卢昌海（物理学术神论坛繁星客栈的主人）的《从奇点到虫洞》。

如果你觉得这篇东西写得还行，愿意打赏我一口咖啡，请戳打赏页～～
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