RSA算法简单介绍:
RSA算法是非对称加密算法,在1977年被罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的,故取名为RSA非对称加密算法,而今在计算机数据加密领域以及电子商业中广泛使用.
致敬三位伟大的数学家
RSA数学原理:
提问:
设想我们如果有一个正整数n,有多少个数与n互为互质关系?
tag:什么叫互质关系?
互质关系(即两个数,除了1以外,没有其他的公约数,那么我们就称之为这两个数是互质关系.例如:3和8是互质关系,而2和8就不是.)
φ(n)与欧拉函数:
而求n的互质关系数的个数的方式(也就是上述的提问),我们就称为欧拉函数.通常我们用φ(n)来表示.
举例:
φ(8) = 4;(1,3,5,7与8互质)
φ(7) = 6;(1,2,3,4,5,6与7互质)
欧拉函数的特性:
1.如果n本身是一个质数(也就是说n本身除了1和自己不被任何数整除,例如7)
那么φ(n) = n - 1; 比如φ(7) = 7 - 1 = 6;
2.如果n能够分解成两个质数(a,b)的乘积(例如15 可以 分解成 3 * 5 ,而3和5是质数)
那么φ(n) = φ(a) * φ(b);
由于a是质数,b也是质数,所以φ(a) = a - 1,φ(b) = b - 1;(根据第一条)
那么我们可以推论得出 φ(n) = (a - 1) * (b - 1);
欧拉定理:
如果两个正整数m和n互质,那么m的φ(n)次方减去1,可以被n整除.
公式: m^φ(n) % n == 1;
即是m的φ(n)次方模以 n 恒等于1.
例如:3 和 5 互质,那么 3^φ(5) % 5 == 1.也就是说 3 ^ 4 % 5 == 1;
费马小定理:(我一直觉得这个定理是废话)
欧拉定理的特殊情况：如果两个正整数m和n互质，而且n为质数！那么φ(n)结果就是n-1。
就是说: m^φ(n) % n == 1,当n是质数的时候 m^φ(n) % n = m^(n - 1) % n == 1.
欧拉定理公式转换:
由于欧拉定理我们知道:
m^φ(n) % n == 1.
而1^k 还是等于 1. 那么 也就是说 m^φ(n) % n = (m^φ(n) % n)^k = m ^ (k * φ(n) ) % n == 1.
我们在这个等式基础上左右乘以m.也就是说 m ^ (k * φ(n) ) % n = m ^ (k * φ(n) + 1) % n == m.
最终转换结果我们且先记下,先看下模反元素.
模反元素:
如果两个正整数e和x互质,那么一定能够找到一个整数d,使得e * d - 1可以整除 x.那么也就可以说,d就是e相对于x的模反元素.
我们可以记为:e * d % x == 1.
变换: 既然 e * d % x == 1.那么 e * d == k * x + 1.(k为某个可计算出来的正整数).
举例:
如 3 和 5 互质 那么 3 * d = k * 5 + 1. d 可以为 4, k 为 16.
观察
e * d = k * x + 1. 等式右边 的 k * x + 1 跟 欧拉定理公式变化的最后一步 k * φ(n) + 1是一致的.
那么也就可以推论得出:
m ^ (k * φ(n) + 1) % n = m ^ (k * x + 1) % n = m ^( e * d ) % n == m.
即是:
m ^( e * d ) % n == m.
这个公式的满足条件:
首先这个公式里的k * x + 1 被替代成 k * φ(n) + 1.故而x 是这个公式里的φ(n).
所以这个公式:
1.d 要是e 相对于 φ(n) 的模反元素.(所以e也相对于φ(n)互质)
2.m要小于n.
迪菲赫尔曼密钥交换:
在上图中,客户端和服务器约定了一个数17得到它的源根3.分别各随机出一个值13和15.
1.客户端通过公式计算得到6发送给服务器.服务器通过公式计算得到值12发送给客户端.
2.第三方在网络中窃取到6和12.
3.客户端得到服务器的数据6.通过6套入公式中得到值10.服务器得到客户端发送的数据12,套入公式中同样得到值10.
4.此时信息发送完毕!
交换原理:
回到之前的上图 客户端在随机出13后,通过3 ^ 13 % 17 得到12,此时服务器 接收到12.通过12 ^ 15 % 17 = 10.而服务器 在随机出15后,通过3 ^ 15 % 17 得到6 发送给客户端,客户端拿到6后 通过 6 ^ 13 % 17 同样也得到10
我们可以看到
客户端这里计算了 (3 ^ 15 % 17) ^13 %17 = 3 ^ (15 * 13) % 17 = 10.
tag: (3 ^ 15 % 17) 是服务器给的
服务器这里计算了 (3 ^ 13 % 17) ^15 %17 = 3 ^ (13 * 15) % 17 = 10.
tag: (3 ^ 13 % 17) 是客户端给的
也就是说之前的客户端和服务器 将 m ^(e * d) % n 的公式成功拆分成了两部分:
m ^ e % n = C.(加密)
C ^ d % n = m.(解密)
Nice!! 到这里 我们就可以模拟出一个完整的RSA加解密流程了.
公式说明:
m ^ e % n = C.(加密)
C ^ d % n = m.(解密)
在上述公式中,e和n 是公钥. d 和 n 是私钥.C是密文,m是明文.
明文在通过公钥加密成密文C. 而C通过私钥解密成明文m.
知道原理后,那么请问我们如果要破解RSA应该怎么做?
如果我们要破解RSA,首先我们掌握的信息有密文C,公钥e和n.未知的则是私钥d和n以及明文m.因为n是公钥中携带的 所以我们要知道明文m,首先要知道私钥的d.已知d是公钥中的e相对于φ(n)的模反元素,所以要求得d需要知道φ(n).而n我们是已知的,如果要求φ(n),需要将n因式分解将n分解成两个质数p1,p2通过公式 φ(n) = (p1 - 1)*(p2 - 1).来求出φ(n).最终通过φ(n)找到模反元素私钥d.
但是事实是,这个n一般的值都特别大,对一个大整数n进行因式分解,计算量相当恐怖,目前人类已经分解的最大整数是232个十进制位，768个二进制位.
而当今我们为了确保信息的安全,采用RSA加密的通常是1024个二进制位或者2048个二进制位.所以相对而言,采用RSA加密的信息一般是安全的.
在MAC下使用终端来演示RSA:
在MacOS系统中一般使用内置OpenSSL(开源密码库)来进行终端运行.
命令演示:
openssl genrsa -out private.pem 1024.(生成一个1024个二进制位的私钥)
openssl rsa -in private.pem -pubout -out public.pem.(根据私钥导出公钥)
加密:
openssl rsautl -encrypt -in message.txt -inkey public.pem -pubin -out enc.txt
解密:
openssl rsautl -decrypt -in enc.txt -inkey private.pem -out dec.txt
RSA的特性:
由于RSA计算量比较大,所以效率比较低,但是因为公钥私钥分开,所以安全系数比较高.
通常我们用RSA加密一些数据量小的文件,如果数据量比较大,那么我们更多的会考虑对称加密算法比如DES,3DES,AES.
所以我们更多的用RSA加密对称加密的密钥或者用于数字签名.
