RSA介绍
RSA产生的原因：这要从密码学的发展史说起，相传在古罗的凯撒大帝为了防止敌方截获自己的信息，自己设计了一套密码传送情报的方法，他的做法很简单，就是对20几个罗马字母建立一张对应表，俗称密码本，这样，如果不知道这个对应表的人，也就是密码本，即使截获了一段信息也看不懂其中的意思。这就是密码学在战争中的应用。
那么RSA是如何产生的呢，因为在这个过程中，密码学的发展非常的缓慢，在1976年以前，所有的加密方法使用的同一种模式：加密、解密使用同一种算法。在交换数据的时候，彼此通信的双方就必须将规则告诉对方，否则没法解密。那么加密和解密的规则（简称密钥），它保护就显得尤其重要。传递密钥就成了最大的隐患。这种加密方式被称为对称加密算法。
这里进行一个小插曲，那么对称加密算法有哪些呢，这里列举一些：DES算法，3DES算法，TDEA算法，Blowfish算法，RC2算法，RC4算法，RC5算法，IDEA算法，还有至今也经常使用的AES算法。
到了1976年，为了解决对称加密算法的密钥在传输过程中被破解，两位美国的计算机学家迪菲（W.Diffie）、赫尔曼（M.Hellman）提出了，可以在不直接传递密钥的情况下，完成密钥交换。这被称为“迪菲赫尔曼密钥交换“算法。这样在使用的对称加密的时候就更加的安全了。让我们看一下流程图：
这里10就是对称加密算法的密钥
顺便我们来见一下两位大神的尊荣：
到了1977年，另一种加密算法诞生，设计这个算法的是麻省理工的三位数学家：罗纳德.李维斯特（Ron Rivest）、阿迪.萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德.阿德曼（Leonard Adleman）,这个就是著名的非对称加密算法，RSA算法。
RSA数学原理
通过上面的介绍，知道了RSA为非对称加密算法。那它为什么被称为非对称呢。接下来让我们通过底层原理，来剖析一下。
如果要想设计一套加密算法，符合加密容易，解密很难的算法，该如何解决呢，前人用了一种简单的数学运算，来作为一种的解决方案，取模运算，也称时钟运算，之所以叫时钟运算，我们接下来看一个图：
红色的圈看着像一个钟表，取一个绳子，从17的点，开始绕圈，不管绕几圈都能回到17这个点，那就说明可以正正好好绕几圈，没有多余，就代表整除，那如果绕几圈之后，有剩余，多出来的部分，就是余数了。像这种可以用一个钟表来表达的运算，因此称作钟表运算。
让我们回到正题，那么决定了解决方案之后，然后设计者就采用了数学中欧拉函数：
欧拉函数定义
概念：在数论中，对于正整数N,少于或等于N ([1,N]),且与N互质的正整数(包括1)的个数，记作φ(n)。这种计算方式叫做欧拉函数
什么叫质数：除了1和它本身以外不再有其他因数
互质关系：如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因数，我们就称这两个数是互质关系。
欧拉函数特点
1.当n时质数的时候，φ(n)=n-1 （这里注意，当n一定要质数的时候，因为算着算着，比较容易忘这个条件）
2.如果n可以分解成两个互质的整数之积（这里注意，分解的两个正整数，可以是质数，也可以不是，只要这两个数是互质关系就可以了），如 n=p1 * p2 则：
φ(p1 * p2) = φ(p1) * φ(p2)
3.根据上面的两个特点，可以得出以下结论
φ(N) = φ(p1 * p2) = φ(p1-1) * φ(p2-1)
以上就是欧拉函数的定义与性质。
欧拉定理
由欧拉函数引出，一个定理，叫做欧拉定理：
定义：如果两个正整数m和n互质，那么md的φ(n)次方减去1，可以被n整除，公式记作：m^φ(n) mod n = 1
这里引出一个欧拉定理的特殊情况，这种特殊情况，又被称作费马小定理：如果两个正整数m和n互质，而且n为质数！那么φ(n)结果就是n-1，公式记作：m^(n-1) mod n = 1
那说了这么多，要用这些东西干什么呢？
从欧拉定理到RSA需要结合迪菲赫尔曼密钥交换算法，首先这里，让我们对欧拉函数做些手脚，对公式进行转换:
m^φ(n) mod n = 1 因为需要我们让1变成1的k次方，因为1不管几次方，都是1，然后根据公式，可以记作：（m^φ(n) mod n)^k 然后我们再对这个算式进行变换，就会变成m^k* φ(n) mod n，有人会问，这样不会对结果造成影响吗，答案是不会的，因为一个正整数如果被另一个数整除，那么这个正整数作几次方的结果还是能被这个数整除，大家可以试一下，我这里给一个例子 3和2 互质 3^2 mod 2 = 1,那么 (32)n mod 2，n可以随便取正整数，结果还是1。
还这个地方明白之后，往后转换，1*m = m，然后根据上面有k次方的公式m^k * φ(n) mod n = 1,左右两边乘以m，就会变成m^k * φ(n) + 1 mod n = m（m的k * φ(n) + 1次方），好转换到这之后，我们先把这个公式放一放。
下面介绍一个新的东西：模反元素
模反元素
定义：如果两个正整数e和x互质，那么一定可以找到整数d，使得ed - 1被x整除。那么d就是e对于x的“模反元素”
什么意思呢，让我们用公式来解释 公式：e * d mod x = 1；举个例子，例如e = 5 x = 3 那么5 * d %3 = 1 这里d=2举例子 10 % 3 = 1，就是这样。
好那么我们队e * d mod x = 1转换一下，可以变成 e * d = k * x + 1，那么这个k是咋出来的呢，因为e * d - 1能被x整除，整除的结果不一定1倍，有可能是K倍,所以是k * x。
好了，到这开始，就是关键了，结合刚才我们队欧拉函数公式的转换，和模反元素公式的转换 会有以下公式：
欧拉函数公式转换后：m^k * φ(n) + 1 mod n = m（m的k * φ(n) + 1次方）
模反元素公式转换后：e * d = k * x + 1
有意思的地方来了一个是k * φ(n) + 1 一个是k * x + 1，这个地方有什么特殊的地方吗
当x = φ(n)
就会引出公式：m ^ e * d mod n = m 那么这个公式有什么用呢，往下来 这个公式再结合迪菲赫尔曼密钥交换算法解决方案，就是第一张图的内容，就会引出下面的结论：
这样RSA算法就诞生了。
RSA 算法用法
m ^ e mod n = c 加密
c ^ d mode n = m 解密
这里公钥：n和e 私钥：n和d 明文：m 密文：c
这里说明一下：
1、n会非常大，长度一般为1024个二进制。（目前人类已经分解的最大整数，232个十进制位，768个二进制位）
2、由于需要求出φ(n)，所以根据欧拉函数特点，最简单的方式n由两个质数相乘得到：质数：p1，p2
φ(n) = （p1 - 1）* （p2 - 1）
3、最终由φ(n)得到e和d。总共生成6个数字：p1，p2，n，φ(n)，e，d
关于RSA的安全：
除了公钥用到了n和e其余的4个数字是不公开的。
目前破解RSA得到d的方式如下：
1、要想求出私钥d。由于e * d = φ(n)*k + 1。要知道e和φ(n);
2、e是知道的，但是要得到φ(n)，必须知道p1和p2.
3、由于n = p1 * p2，只有将n因数分解才能算法，这种情况只能一种情况一种情况试，所以难被破解。
