目录
- 什么是算法
- 算法好坏的评判标准
- 实例讲解时间复杂度
- 斐波那契数算法剖析
- 算法的优化方向
一 什么是算法
引用百度百科对算法的解释 算法
算法（Algorithm）是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。如果一个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。
- 例子
// 计算a和b的和
- (int)plus:(int)a b:(int)b {
return a + b;
}
// 计算 1+2+3+...+n 的和
- (int)sum:(int)n {
int result = 0;
for (int i = 1; i<= n; i++) {
result += i;
}
return result;
}
总结：算法是用于解决特定问题的一系列的执行步骤，使用不同算法，解决同一个问题，效率可能相差非常大。
二 如何评判一个算法的好坏
- 求 1+2+3+...+n 的和
// 计算 1+2+3+...+n 的和
- (int)sum:(int)n {
int result = 0;
for (int i = 1; i<= n; i++) {
result += i;
}
return result;
}
// 计算 1+2+3+...+n 的和
- (int)sum1:(int)n {
return (1 + n) * n / 2;
}
2.1 事后统计法
比较不同算法对同一组输入的执行处理时间
上述方案有明显的缺点
- 1.执行时间严重依赖硬件以及运行时各种不确定的环境因素
- 2.必须编写相应的测试代码
- 3.测试事件的选择比较难保证公正性
2.2 时间复杂度+空间复杂度
一般从正确性，可读性，健壮性（对不合理输入的反应能力和处理能力）等维度来评估算法的优劣。
在满足这些条件的前提下，再比较时间复杂度和空间复杂度
-
时间复杂度(time complexity)：估算程序指令的执行次数（执行时间） -
空间复杂度(space complexity)：估算所需占用的存储空间
2.3 大O表示法
一般用大O表示法来描述复杂度，它表示的是数据规模n对应的复杂度
忽略常数，系数，低阶
- 0 >> O(1)
- 2n + 3 >> O(n)
- n2 + 2n + 6 >> O(n2)
- 4n3 + 3n2 + 22n + 100 >> O(n3)
对数阶一般省略底数
因为 log2 n = log2 9 * log9 n，所以
- log2 n，log9 n统称为 logn
注意：大O表示法仅仅表示一种粗略的分析模型，是一种估算，能帮助我们短时间内了解一个算法的执行效率。
2.4 常见的复杂度
| 执行次数 | 复杂度 | 非正式术语 |
|---|---|---|
| 12 | O(1) | 常数阶 |
| 2n + 3 | O(n) | 线性阶 |
| 4n2 + 2n + 6 | O(n2) | 平方阶 |
| 4log2 n + 25 | O(logn) | 对数阶 |
| 3n + 2nlog3 n + 15 | O(nlogn) | nlogn阶 |
| 4n3 + 3n2 + 22n + 100 | O(n3) | 立方阶 |
| 2n | O(2n) | 指数阶 |
复杂度比较:
O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n2) < O(n3) < O(2n)
可以借助函数生成工具对比复杂度的大小
函数图像绘制工具
2.5 复杂度图形比较
- 数据规模较小时
- 数据规模较大时
2.6 实例讲解时间复杂度
- test1 时间复杂度 O(1)
- (void)test1:(int)n {
if (n > 10) {
NSLog(@"n > 10");
} else if (n > 5) { // 2
NSLog(@"n > 5");
} else {
NSLog(@"n <= 5");
}
for (int i = 0; i < 4; i++) {
NSLog(@"test1");
}
}
- test2 时间复杂度 O(n)
- (void)test2:(int)n {
// 1 + 3n (指令执行条数)
// O(n)
for (int i = 0; i < n; i++) {
NSLog(@"test");
}
}
- test3 时间复杂度 O(n^2)
- (void)test3:(int)n {
// 1 + 2n + n * (1 + 3n) (指令执行条数)
// 1 + 2n + n + 3n^2
// 3n^2 + 3n + 1
// O(n^2)
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
NSLog(@"test");
}
}
}
- test4 时间复杂度 O(n)
- (void)test4:(int)n {
// 1 + 2n + n * (1 + 45) (指令执行条数)
// 1 + 2n + 46n
// 48n + 1
// O(n)
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < 15; j++) {
NSLog(@"test");
}
}
}
- test5 时间复杂度 O(logn)
- (void)test5:(int)n {
// 执行次数 = log2(n)
// O(logn)
while ((n = n / 2) > 0) {
NSLog(@"test");
}
}
- test6 时间复杂度 O(logn)
- (void)test6:(int)n {
// log5(n)
// O(logn)
while ((n = n / 5) > 0) {
NSLog(@"test");
}
}
- test7 时间复杂度 O(nlogn)
- (void)test7:(int)n {
// 1 + 2*log2(n) + log2(n) * (1 + 3n)
// 1 + 3*log2(n) + 3 * nlog2(n)
// O(nlogn)
for (int i = 1; i < n; i = i * 2) {
// 1 + 3n
for (int j = 0; j < n; j++) {
NSLog(@"test");
}
}
}
2.6.2 多个数据规模的情况
- (void)test8:(int)n k:(int)k {
for (int i = 0; i < n; i++) {
NSLog(@"test8 %d",i);
}
for (int i = 0; i < k; i++) {
NSLog(@"test8 %d",i);
}
}
时间复杂度为 O(n + k)
2.7 求第n个斐波那契数(fibonacci number)
摘自百度百科的解释 斐波那契数
斐波那契数，亦称之为斐波那契数列（意大利语： Successione di Fibonacci)，又称黄金分割数列、费波那西数列、费波拿契数、费氏数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n>=2，n∈N*），用文字来说，就是斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数列系数就由之前的两数相加。
2.7.1 算法一
// 递归
- (int)fib1:(int)n {
if (n <= 1) {
return n;
}
// Fn = Fn-1 + Fn-2（n >= 2，n∈N*）
return [self fib1:n - 1] + [self fib1:n - 2];
}
2.7.2 算法二
// 直接求值
- (int)fib2:(int)n {
if (n <= 1) {
return n;
}
int first = 0;
int second = 0;
// Fn = Fn-1 + Fn-2
for (int i = 1; i < n; i++) {
second += first;
first = second - first;
}
return second;
}
- TimeTool.m
/// 计算执行完 block 所需花费时间
+ (void)calculateTimeWithTitle:(NSString *)title operationBlock:(void(^)(void))operationBlock {
NSDateFormatter *formatter = [[NSDateFormatter alloc] init];
[formatter setDateFormat:@"YYYY-MM-dd HH:mm:ss:mmm"];
NSDate *startDate = [NSDate date];
NSString *currentTimeString = [formatter stringFromDate:startDate];
NSLog(@"%@ start, time = %@",title,currentTimeString);
if (operationBlock) {
operationBlock();
}
NSDate *endDate = [NSDate date];
currentTimeString = [formatter stringFromDate:endDate];
NSLog(@"%@ end, time = %@",title,currentTimeString);
NSLog(@"%@ 耗时:%f second",title,[endDate timeIntervalSince1970] - [startDate timeIntervalSince1970]);
}
比较两个算法的时间
- (void)viewDidLoad {
[super viewDidLoad];
int n = 35;
// fib1
[TimeTool calculateTimeWithTitle:@"fib1" operationBlock:^{
[self fib1:n];
}];
// fib2
[TimeTool calculateTimeWithTitle:@"fib2" operationBlock:^{
[self fib2:n];
}];
}
n = 35时
n = 44时
经过大量测试，发现当
n < 35的时候，两个算法的执行时间相差不大，但是随着n的增加，相差时间越来越明显了。
2.7.3 两个算法的时间复杂度分析
fib1函数的时间复杂度分析
fib2函数的时间复杂度分析
循环n次，所以时间复杂度为O(n)
三 算法的优化方向
- 用尽量少的存储空间
- 用尽量少的执行步骤（执行时间）
- 根据情况，可以空间换时间或时间换空间
四 扩展
一个用于学习算法的网站
https://leetcode.com/
https://leetcode-cn.com/
本文参考 MJ老师的 恋上数据结构与算法
