昆仑班级的新同学们：
你们好。
还有一个多月，我们就将见面，正式开启新一阶段的数学之旅。为了让你们能够更好的进入状态，我给大家布置了一些暑假作业。不知你们是否觉察到，作业中的很大一部分都是开放性题目，不仅要你们用文字语言表述，还要举例说明。
为什么要这样？老师先卖个关子，直接跳到下一个我们要关心的问题：什么是数学？或者说数学的本质是什么？
“数学在本质上研究的是抽象了的东西，而这些抽象了的东西来源于现实世界，是被人抽象出来的。”
这个问题，不知你们平时有没有思考过，如果思考过，那老师真要给你送上一个大大的赞！如果没有思考过，也没关系。让你们现在讨论这个问题，可能有些为难。先抛开“数学”不说，单就“本质”“抽象”这些词语本身的含义，理解起来都会比较困难。可是，万一你们都非常棒呢？对吧？
哈哈，有没有觉得老师这个问题很无趣，一会儿问你们有没有思考过，一会儿又说这个问题很为难。可是，如果换个角度思考，就是另外一种情况了——既然这个问题目前不那么要紧（这个问题很重要，只是目前不紧急），那就放松心态，以“吃瓜群众”的心态去浪漫感受一下，如果能思考出什么东西，对以后数学的学习将大有裨益，绝对稳赚不赔啊。
先来解释一下什么是“抽象”——
“所谓‘抽象’，就是从一些具体的事物中‘抽’出、‘概括’出它们共同的方面、本质特点与关系，并且把个别的，非本质的方面、特点与关系舍弃。”
“那抽象的东西，就是指脱离了具体内容的形式和关系。”
看到这两句话，可千万不要晕，说好了以“吃瓜群众”的心态去看待呢。
将三句话结合起来，直截了当地说就是——“数学”原本是不存在的，是从我们生活的现实世界“抽象”出来的，是被我们人类为了解决实际问题，一点一点“发明”“创造”出来的。再直白点，你们现在非常熟悉的“0到9”这10个数字，以及加、减、乘、除四则运算，统统都是我们人类创造出来的。
现在，就让我们打起十二分的精神，一起“穿越”到古代，看看这些我们现在非常熟悉的数字是如何“诞生”的吧！注意了，接下来的内容，可不能蜻蜓点水了，要认真思考！
“自然数”的诞生
先来看一个小故事——
“在欧洲某地庄园的望楼上有一个乌鸦巢，里面住着一只乌鸦。主人打算杀死这只乌鸦，可是几次都没有成功，因为他一走进这个望楼乌鸦就飞走了，栖在远远的树上，直到他离开望楼才飞回来。后来他想了一个聪明的办法：两个人一起走进望楼，一个人出来，一个人留在里面。可是乌鸦不上当，直到第二个人离开望楼才飞回来。主人不死心，连续试验了几天：三个人，四个人，都没有成功。最后用了五个人，四个人走出来，一个人留在里面，现在乌鸦分辨不清了，飞了回来。”
同学们，乌鸦的世界中肯定没有“数学”这个概念吧？故事中，这只乌鸦依靠本能，能分辨清楚4个人，当人数再多时，乌鸦就“晕”了，可怜的乌鸦……再来看看我们自己，人类也是从一种动物慢慢进化成现在的样子。既然这样，那在进化的过程中，必然存在这样一个阶段——人类也像乌鸦一样，单纯依靠本能来“计数”，当一群事物的数量多到一定程度时，我们人类也分辨不出具体有多少个，只能说，“哇，好多鱼，好多鸟，好多野果、好多野猪……”，想象一下，是不是这个样子呢？
有心理学家做过实验，如果不认真数数，我们人类对数量多少的分辨在5个左右。什么意思呢？比如有一堆苹果，如果数量少于5个，我们能够一眼看出来，但是如果多于5个，我们就很难一眼确定具体有多少个了。天呐，搞了半天，从本能上讲，我们人类也没有比乌鸦强多少，惊不惊喜？意不意外？哈哈，有兴趣的话，你们可以自己找人做实验试一试。
从这些事实中，你们能意识到问题的严重性吗？或者说，如果我们人类只依靠本能来“计数”，会有多么严重的后果吗？——几个人一起相约去打猎，回来的时候少了个人都不知道！看见一群猎物，不知道能不能打过，就冲了上去！好不容易打来许多猎物，放在自己家院子里，猎物偷跑了，或者被其他人偷走了，都意识不到！……
这样一个“大问题”摆在人类面前，该怎么办呢？那就是创造一套“计数系统”，专门用来“数数”。从人类的发展历程来看，人类创造出如今的“十进制”计数系统，是一个漫长而复杂的过程（关于什么是“十进制”，老师会在开学以后给大家详细讲，这个我们现在非常熟悉的计数方法，被很多数学家认为是“最妙的发明之一”呢）。你们可千万别小看这个过程，时至今日，地球上一些没有与外界交流的原始部落，依然只能区分“一”、“二”，数量再多时，就只会说“许多”了……
既然这个过程很复杂，老师就简单地说一下，你们只要能明白其中的逻辑就行。一开始，我们人类在“计数”的时候，“数”是与具体的“事物”联系在一起的，比如“3个苹果”、“4只小羊”、“5条鱼”等等，并专门创造了现在看起来奇奇怪怪的符号表示。请注意了，此时的符号是一种语言符号，或者说是一种文字语言，至于我们现在熟知的数学符号的发明，则要迟上很多。
不仅如此，对于“5个苹果”、“5只小羊”、“5条鱼”，古人会用不同的语言符号记载。比如会在山洞的石壁上用不同的文字符号写道：去树上摘了5个苹果，家里的母羊生了5只小羊，去河里捕了5条鱼。
也就是说，此时的人们还不能从具体的物体中“抽象”出“数”的概念，说“数”的时候，后面一定跟着具体的物体。可是这样子会很麻烦，这得创造多少个语言符号去表示啊。慢慢地，人们就发现，不管是“5个苹果”、“5只小羊”还是“5条鱼”，它们的数量都是“5”啊，不同的只是表示的物体而已！我们只要针对“数量”创造对应的文字符号就行了，用的时候，可以与具体的事物随意组合，这样子多方便啊。其实，这个过程，就是我们一开始说的“抽象”——保留本质的特点与关系，舍弃个别的、具体的形式与关系。
上图是我们的祖先在大约3600多年以前创造的表示“数”的语言符号——甲骨文。看看这笔画数，要是现在还这么写，啧啧啧，不敢想象……
至于我们现在常用的“0-9”这10个符号，大约是在1500年前，由古代印度人发明（一同被发明的还有我们刚才说的“十进制计数系统”），被阿拉伯人传播到世界各地，并被人们逐渐接受。这是一件意义非常重大的事情，重大在何处呢？从这个时候开始，从具体的“数量”中抽象出来的“数”开始有了独属于自己的语言系统——数学符号语言。因为书写简单、易于表达与交流，数学从此得以快速地发展。
你们知道吗？我们的祖先在世界上最早创造出“十进制计数系统”，古代印度也是受我们的影响。可惜的是，我们国家在很长的一段时间内，都是用汉字，也就是文字语言研究数学。结果就是随着数学的不断发展，逻辑推理过程和计算方法越来越繁杂，令人眼花缭乱，严重阻碍了数学的交流、传播与进一步发展。可见，简洁的数学符号语言，对数学是多么的重要。除了文字语言、数学符号语言以外，还有一种图形语言。这3种语言对于研究数学都特别重要，以后要多留意。
好了，言归正传，这些“数”既然如此的重要，接下来的工作就是给它们起名字了。就像我们自己一样，总不能不起名字，整天“那个谁”“那个谁”的叫吧？哈哈，那到底叫什么呢？相信大家都知道了，我们人类给它叫做——自然数。怎么理解呢？简单说，自然数是我们人类从大自然，或者说实际生活存在的具体物体中“抽象”出来的，可以表示物体个数的“数”。比如不论是两个苹果，还是两朵花，我们都可以用自然数“2”表示，是如此的自然而然。
说到这里，老师有一个问题，你认为数字“0”是自然数吗？或者说，自然中存在“0”对应的具体物体吗？
先自己思考几分钟，不要往下看，也不要查资料，就根据你对“自然数”的理解。
想好了吗？老师要说答案了！——我们规定，0现在属于自然数。这是什么意思呢？还“我们规定”？我们还拿苹果来举例，0可以表示没有苹果，这样讲的话，把0归于自然数，也说得通。可能有些人不同意，觉得都不存在了，还怎么“自然”呢？实际上，关于0是不是自然数，人类争论了上千年，到现在为止，也没讨论出个所以然来。只不过大部分国家的教材中，都把0看作自然数。老师小的时候，书上说0不是自然数，现在的教科书上，0就成了自然数，你们说尴尬不尴尬？有些数学问题，真没有你们想象中那么神秘，就是一个简单规定的问题，当然了，前提是要有足够的认识。
说完了特殊的“0”，我们再来聊一聊另一类型的“数”——整数。从上面的讨论我们可以看出，自然数都是从完整的实际物体中抽象出来的，所以自然数都是整数。那能不能反过来说，整数就是自然数呢？
这个时候，还得再把特殊的“0”搬出来，现在的人们对0属于整数没有多少异议。但老师估计，历史上曾经有这样一段时间，人们也会为了讨论0是不是整数而头疼，只不过不像“0是不是自然数”那样顽固罢了。
如果不讨论这个特殊的“0”，很长时间内，“自然数”是可以与“整数”划等号的，直到“负数”的诞生。从此以后，自然数再不能与整数划等号，而是成为整数的一部分，也就是说整数包括自然数。
关于各个数之间的关系，我们会在所有类型的“数”诞生以后，统一辨析讨论。
一个这么简单的“自然数”，老师居然洋洋洒洒写了快3000字。希望你们没有看睡着，哈哈。回顾一下“自然数”的诞生过程——从没有“数量”的概念，到有“数量”的概念，再到从“数量”中抽象出“数”的概念，再到发明专门的数学符号（还有相应的十进制计数系统）……这些现在2岁小孩都能随口说出的东西，我们人类却用了上万年时间去创造！当然了，现在人能够很早很自如地应用，不代表深刻理解了背后的意义，这也是老师为什么不厌其烦，写得如此详细的原因。
多余的话，老师不再说了，希望你们能够仔细阅读，认真思考。
“分数”与“小数”的诞生
有了对“自然数”诞生过程的了解，“分数”和“小数”的诞生就不用那么麻烦了。毕竟我们要了解的是内在逻辑，至于具体的创造过程，你们已经学过并且熟知，就没那么重要了（老师在我们的数学群里共享了2篇之前写给三年级的数学故事，一篇是关于“0为什么不能做除数”，一篇是关于“分数与小数的创造过程”，有兴趣的可以下载下来看一看）。
那内在逻辑是什么呢？——人类在发展过程中，遇到了一些问题，已有的数学知识无法有效解决，必须要创造新的东西。
那会遇到什么新问题呢？那就是不完整的物体，该用什么“数”来表示？比如将一个苹果平均分成2份，其中的一份该怎么表示呢？你们可能会说“一半苹果”，这样说当然可以，但这是一种文字语言的表述，不是数学语言的表述。
结果你们已经知道了，一半苹果，我们可以用分数“”表示，也可以用小数“0.5”表示。
老师在上学期带三年级时，有一个学生问了一个非常棒的问题——分数和小数都能表示不完整的物体，那它们的作用不就一样了吗？既然作用一样，我们为什么要发明这么多“数”？你们可能不知道，当我听到这个问题后，是多么的激动！这就是我渴望我的学生该有的样子——不把眼前的一切当成理所当然，永远保持对知识以及未知的好奇心，并不断的探索。
因为三年级还小，老师当时没有讲太多，只是提醒了两句：
（1）就像从北京到上海，我们既可以坐飞机去，也可以坐高铁去，我们能说因为发明了飞机，就不发明高铁吗？现在看来，“分数”和“小数”所起的作用是一样的，但它们各自有自己的特点啊，可能有的人喜欢用分数表示，有的人习惯用小数表示呢。
（2）“分数”与“小数”在表示不完整的物体时，作用一样，那它们还有没有其他的含义呢？或者说能在其他方面起到作用吗？就拿“分数”来说，不仅可以表示不完整的物体，还能表示部分与整体的关系。
对三年级来说这个问题可能有些复杂，但对于你们来说，就非常有必要切磋琢磨了。
老师先抛出几个问题，你们好好思考：
1、分数和小数可以表示同样的物体，说明它们存在联系，那是什么样的联系呢？分数可以转化成小数吗？小数可以转化成分数吗？是任意一个分数都能转化成小数吗？那任意一个小数都能转化成分数吗？
2、“分数”都有哪些意义，你能用自己的语言解释吗？举例说明就可以。
3、“小数”有其特殊的一面吗？
4、我们都知道，分数就是能够写成形式的数，但我们同样也知道，
，那么“整数”与“分数”又该怎么区分呢？还是说“整数其实就是一种特殊的分数？”针对这个问题，你的看法是什么呢？
这些问题，老师会在下一篇文章详细解答。不过在此之前，我希望你们能提前认真思考。
“负数”的诞生
有了“自然数”或者“整数”以后，我们就可以表示任意完整的物体数量；有了“分数”、“小数”以后，我们就可以在理论上表示任意不完整的物体数量。（老师额外解释一下，关于什么是“自然数”“整数”“分数”“小数”等，其实人们并没有给出明确的定义，大部分都是描述性质的，所以才需要我们去深刻理解。另外，老师这里所说的“表示完整的物体数量”，“表示不完整的物体数量”同样不是定义，只是为了帮助大家理解才这样说）
这样一看，似乎所有的情况都能够用“数”来表示了，那是否意味着，所有类型的“数”都被我们人类发明、创造出来了呢？相信你们肯定会说：NO！因为就在上个学期，你们才学习了“负数”。现在，就让我们同样按照“数”诞生的逻辑梳理一遍，看看“负数”是在什么样的情况下，被人类创造出来的。
想象一下，有2个人各拿1000元做生意，结果一个人挣了100元，一个人赔了100元，这种情况下，该用什么“数”来分别表示呢？如果挣了100元用“100”表示，那赔了100元呢？如果也用“100”来表示，那不就会产生误会。问题到底出在哪里呢？
问题出在，之前的“自然数”“分数”“小数”，用来表示实际物体时，都只是表示“数量”。就像100个苹果，个苹果，3.5个苹果，对应到钱就是100元，
元，3.5元。现在回过头来看看我们刚才描述的问题——“挣了100元”“赔了100元”，对比一下，有没有发现不一样的地方：我们所描述的问题中，除了表示“数量”的数字以外，还多了“挣了”“赔了”这些表示“意义”的词语。原来是这样啊，不是“数量”出了问题，而是“数量”多了一层“意义”。
其实，生活中存在着大量类似的情况：比如“地上2楼”VS“地下2楼”，“海平面以上20米”VS“海平面以下20米”，“向东50米” VS“向西50米”，“零上5℃” VS“零下5℃”……这类情况都有着相似的特点：
1、除了表示“数量”的数字以外，还多了一层“意义”；
2、这些意义都是成对出现的，并且意义相反。
理解了问题所在，剩下的就好办了，只需要在“数字”前面表示出“意义”就可以了。在我们的文字语言系统中，遇到这种情况，可以采用“文字+数字”的形式，就比如“挣了100元钱”，“零下3℃”。
但对于数学来说，这种表示方法不是我们想要的，什么原因呢？用“文字”表示“意义”，只能表示特殊情况，不具备一般性，比如“挣了赔了”只能用在做生意上，不能用来表示温度，也就是说用文字表示不够本质。对了，还记得我们之前说的“抽象”吗？我们常说，数学研究的都是高度抽象的，具有一般意义的，本质的东西，就是这个道理。
那该怎么办呢？答案就是，从这些大量存在的，成对出现的“意义”中抽象出其“本质”，并用“数学符号”表示。因为成对出现，又意义相反，我们人类最终选择用“+”与“-”这两个符号表示。这两个符号在四则运算中，分别表示“加”“减”，但在表示“意义”上，分别读作“正”“负”。这就是“负数”的诞生。
对于“+”与“-”这两个符号，一会是“加减”，一会是“正负”，不知道你们会不会觉得晕。实际上，这样的规定简直太巧妙了，等开学后你们就会发现，不管是“加减”还是“正负”，真的只是读法上的区别，它们在本质上是一模一样的，你甚至可以混着读，比如“+2”可以读作“正2”，也可以看作“加2”，同理，“-2”你可以理解成“负2”，也可说成“减2”。
在上面的描述中，我们能够发现，“负数”的诞生始终与“意义相反”紧密相连，而意义相反又是成对出现的。所以，命名“负数”也就意味着“正数”的存在，那什么是“正数”呢？简单地说，就是你们6年级之前所学的除了0以外的所有数啦。这个时候，我们特殊的“0”先生，光荣地担当起了正数与负数的分界线的重任——0既不是正数，也不是负数。
好啦，说了这么多，我们来盘点一下，看看已经诞生了多少种类型的“数”了——自然数、整数、分数、小数、负数、正数，当然了还有我们特殊的Mr.0。猛的一看，它们之间的关系貌似没那么清晰，仔细一想，好像还有点复杂。
那怎么办呢？总不能就这么糊里糊涂的放着吧。看来，很有必要对它们进行一次严格的梳理，就像整理我们自己的房间一样。这部分内容，我们将在下一篇文章中仔细探讨。
不知道叫什么小标题
不知不觉，已经写了6000多字，也不知道有没有人一口气读到这里。写文章的时候，我就一直在想，数学中最基本、最本质的东西或许就是文章中写的这个样子，但这不是上课该有的样子。真正的课堂，应该以你们为中心——立足你们的当下，由你们主动探索、讨论，最终达成共识。而我呢，则是在这个过程中负责抛出问题，必要的时候加入讨论，或指引方向，或画龙点睛。
在准备新学期的课程计划时，我给自己定下这样一个愿景——成为你们与数学之间的摆渡人。就在此时，我的脑海中又浮现出这样一段话——作为学校这个生态系统中的重要一环，学生不能只是作为被动接受的一方，他们应该以更加积极、主动的姿态去拥抱学习，甚至有权利与老师一同探索、商讨，乃至决定采取怎样的学习方式。这是我对你们的期望，也是对自己的要求。
所以，亲爱的同学们，我等着你们与我来交流哦，不管是这个暑假的作业反馈，还是开学以后的交流方式……
