以前背过正弦函数的求导公式，就是sin'x = cos x，可是总也没推导过。这两天看了很多网上的推导做法，简直是误人子弟。含糊不清的，曲线救国的，各种做法满天飞，也是好笑。在这儿，我尽量地再仔细地推导一遍，本着“为往圣继绝学”的远大理想，为伟大的科普事业添砖加瓦罢。
函数式求导公式的推导是有一个基本原则的：用极限的手段，推导函数式在自变量变化的同时，因变量的变化趋势。用几何中的说法就是，导式就是斜率的函数式。
废话不多说，以下正弦函数的求导公式证明，会用到导数的定义、三角函数的部分推导式、三角函数的几何特性和高等数学的夹逼定理等手段，来做一次“步骤无跳跃”的推导。
第一阶段的推导：
第一阶段
上图中第一行是求导公式的定义，第二行是借助了三角函数的和差化积公式（如下）
和差化积公式
第三行是简单化简，第四行推导的理由是第三行中的因式可如下推导
第四步
至此，第一阶段推导的结果归结到求下式的值
关键式
等价式
第二阶段的求解：
其实第一阶段最后的式子，是需要使用夹逼定理和一些几何特性来证明的，不可以用任何微积分的结果来证明这个式子的值。
我不重复解释夹逼定理了，直接搬来维基的答案，如下：
夹逼定理对式子求解的答案
怎么样，这份答案够详细了吧。不过啊不过，这份维基的推导中，有一行，我是无论如何都没弄明白为啥会直接列出来，就是那句arcAD<AE。我眼神不好，这个弧AD看起来好像是比线段AE短的，但是数学猜想才能靠直觉，这里是数学求解，这是不可以用直觉来得结果的。
那么，有没有严谨的做法来证明：当0<θ<π/2时，线段AE比弧AD长。请大家来继续看最后一阶段的证明好了。
第三阶段的证明（感谢Steven_Tseng提供的帮助）：
三角形OAD的面积是
三角形OAD的面积
三角形OAE的面积是
三角形OAE的面积
扇形OAD的面积是
扇形OAD的面积
三者的大小关系是：三角形OAD < 扇形OAD < 三角形OAE，即：
面积大小关系
所以，sinθ<θ<tanθ。
又arcAD = r * θ，AE = r * tanθ，所以arcAD < AE。于是，以上得证。
