为什么梯度反方向是下降速度最快的方向?

 一、了解什么是导数。

    1、导数是变化率,是切线,是瞬时速度,是加速度(一元函数中)。

    2、导数是线性近似工作。

    3、导数是线性变换。

        如何理解导数的概念 ?

二、 了解偏导数,方向导数。

        多元函数中全微分与偏导数、偏微分的直观区别是什么?

三、方向导数与梯度的关系。

        如何直观形象的理解方向导数与梯度以及它们之间的关系?

        方向导数与梯度


四、从泰勒展开式的角度理解。



五、从方向导数的角度理解。

偏导的几何意义:平行于x轴或y轴方向的垂直平面上截线的斜率。


方向导数的几何意义:就是某一方向上垂直平面截线在该方向的斜率 。


u微量所在平面且垂直于xoy的面平与z=f(x,y)曲面所截取的取线


xoy平面的方向向量,夹角关系


方向导数定理:

方向导数求解公式


xoy平面的方向向量

此定量,由全微分证明。

引入一个标识:


我们称grad为Nabla算子(数学符号),剃度是物理概念。


方向导数我们可以写成向量点积的形式:

即梯度向量乘以方向向量,我们可以理解方向导数为剃度向量在方向向量上的投影。

剃度向量与方向导数关系推导
剃度与方向导数夹角关系

剃度大小是因定的,方向量向由夹角来确定,所以我们可以根据方向向量和剃度向量来计算方向导数。

由上图可以知,与g向量方向相同的方向向量其方向导数值最大。g为剃度向量。所以剃度的反说反方向为函数减小最快的方向。


等高线与剃度的关系



等高线上某一点的导数为:


此切线的法向量为,


而由剃度向量可知


所以剃度方向与等高线的法向量同向,且剃度方向由函数值较低的等高线指向函数值较高的等高线。




[Math & Algorithm] 拉格朗日乘数法 - Poll的笔记 - 博客园

方向导数PPT

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