奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是在机器学习领域广泛应用的算法，它不光可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域，是很多机器学习算法的基石。本文对SVD的原理做一个总结，并讨论在PCA降维算法中是如何运用SVD的。
1、回顾特征值和特征向量
我们首先回顾下特征值和特征向量的定义：Ax = λx。其中A是一个𝑛×𝑛 的实对称矩阵，x是一个n维向量，则我们说 λ 是矩阵A的一个特征值，而x是矩阵A的特征值λ所对应的特征向量。
求出特征值和特征向量有什么好处呢？就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵A的n个特征值 𝜆1≤𝜆2≤...≤𝜆𝑛，以及着n个特征值对应的特征向量{w1, w2, ..., wn}，如果这n个特征向量线性无关，那么矩阵A就可以用特征分解表示：A = 𝑊Σ𝑊 −1 。其中W是这n个特征向量所张成的 𝑛×𝑛 维矩阵，而 Σ 是以这个n个特征值为主对角线的 𝑛×𝑛 矩阵。
一般我们会把W的这n个特征向量标准化，即满足||wi||2=1，或者说wiTwi=1，此时W的n个特征向量为标准正交基，满足WTW=I，即WT=W −1 ，也就是说W为酋矩阵。
这样我们的特征分解表达式可以写成：A = 𝑊Σ𝑊 T。
需要注意的是：要进行特征分解，矩阵A必须是方阵。那么如果A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。
2、SVD的定义
SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个𝑚×𝑛的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：𝐴=𝑈Σ𝑉T。
其中U是一个mxm的矩阵，Σ是一个mxn的矩阵，除了对角线上的元素不为0，其余全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，V是一个nxn的矩阵。U和V都是酋矩阵，即满足UTU=I，VTT=I。下图可以很形象的看出上面SVD的定义：
那么我们如何求出SVD分解后的𝑈、Σ、𝑉三个矩阵呢？
如果我们将A的转置和A做矩阵乘法，那么会得到一个nxn的方阵ATA。既然 ATA 是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足：(TA)vi = λvi。
这样我们就可以得到矩阵 ATA 的n个特征向量v了。将 ATA 的所有特征向量张成一个nxn的矩阵V，就是我们SVD公式里面的V矩阵了。一般我们将V中门每个特征向量叫做A的右奇异向量。
类似地，如果我们将A和A的转置做矩阵乘法，那么会得到一个mxm的方阵AAT。既然AAT是方阵，我们同样可以对其进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足：(AAT)ui= λui。
这样我们就可以得到矩阵AT的m个特征值和对应的m个特征向量了。将AAT的所有特征向量张成一个mxm的矩阵U，就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。
U和V我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵Σ没有求出了。由于Σ除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只要求出每个奇异值σ就可以了。
我们注意到：
这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵Σ。
上面还有一个问题没有讲，就是我们说ATA的特征向量组成的就是我们SVD中的V矩阵，而AAT的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以V矩阵的证明为例：
上式证明使用了：𝑈T𝑈=𝐼, ΣTΣ=Σ2。可以看出ATA的特征向量组成的的确就是我们SVD的V矩阵。类似的方法可以证明AAT的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵。
进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：
也就是说，我们可以不用σi = Avi/ui 来计算奇异值，也可以通过 ATA 的特征值取平方根来求奇异值。
3、SVD计算举例
这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为：
我们首先求出ATA和AAT：
进而求出ATA的特征向量：
接着求AAT的特征值和特征向量：
利用Avi=σiui，i=1,2 求奇异值：
当然，我们也可以用σi=λi1/2直接求出奇异值。最终得到A的奇异值分解为：
4、SVD的一些性质
上面几节我们队SVD的定义和计算做了详细的描述，似乎看不出我们费这么大的力气做SVD有什么好处。那么SVD有什么重要的性质值得我们注意呢？
对于奇异值，它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照大小从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们可以用最大的k个奇异值对应的左右奇异向量近似描述矩阵。也就是说：
其中k要比n小很多，也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵Umxk, Σ𝑘×𝑘, 𝑉𝑇𝑘×𝑛来表示。如下图所示，现在我们的矩阵A只需要灰色部分的三个小矩阵就可以近似描述了。
由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。下面我们对SVD用于PCA降维做一个介绍。
5、SVD用于PCA
在前面讲PCA时，我们讲到要用PCA降维，需要找出样本协方差矩阵XTX的最大的d个特征向量，然后用这最大的d个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵XTX，当样本数多样本特征数也多的时候，这个计算量是很大的。
注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵XTX最大的d个特征向量张成的矩阵，但是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不用先求出协方差矩阵XT，也能求出我们的右奇异矩阵V。也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上，sklearn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD，而不是我们认为的暴力特征分解。
另一方面，注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？
假设我们的样本是mxn的矩阵X，如果我们通过SVD找到了矩阵XXT最大的d个特征向量张成的mxd维矩阵U，则我们如果进行如下处理：
可以得到一个dxn的矩阵X'，这个矩阵和我们原来的mxn维样本矩阵X相比，行数从m减到了d，可见对行数进行了压缩。也就是说，左奇异矩阵可以用于行数的压缩。相对的，右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。
6、SVD小结
SVD作为一个很基本的算法，在很多机器学习算法中都有他的身影，特别是在现在的大数据时代，由于SVD可以实现并行化，因此更是大展身手。SVD的原理不难，只要有些基本的线性代数知识就可以理解，实现也很简单，因此值得仔细研究。当然，SVD的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强，有点黑盒子的味道，不过这不影响他的使用。
