RSA算法过程以及正确性证明

一、生成公钥、私钥

寻找两个不相同的大质数 $p、q$
随意寻找两个不相同的大质数 $p和q$ ，计算 $N=p\times q$
求 N 的欧拉函数值 $\varphi(N)$
$\varphi(N)=\varphi(p)\varphi(q)=(p-1)\cdot(q-1)$
欧拉函数 $\varphi(n)$ 的定义：
$\varphi(n)$ 是小于等于 n 的正整数中与 n 互质的数的数目。（第一次见的话肯定会觉得很奇怪，怎么还会有这么奇怪的函数(^_^)）
计算私钥中最重要的 d
选择一个小于 $\varphi(N)$ ，并与 $\varphi(N)$ 互质的整数 e，通常取65537，求得 e 关于 $\varphi(N)$ 的模反元素 d， $e\cdot d\equiv 1(\mod\varphi(N))$
模反元素的定义：
如果两个正整数 a 和 n 互质，那么一定可以找到整数 b，使得 $n|(a\cdot b-1)$ 。（前式等价于 $a\cdot b-k\cdot n=1,k\in N^*$ ，由贝祖定理易知，整数 b 一定存在）
销毁 $p和q$
此时我们的 $(N,e)$ 是公钥， $(N,d)$ 是私钥。

RSA算法的安全性：已知 $N和e$ ，是否容易得到 d

要想知道 d，就要知道 $e和\varphi(N)$
要想知道 $\varphi(N)$ ，就要根据 N 算出 $p和q$ ，而大数的质数分解是目前公认的数学难题，只能暴力求解。

二、加密、解密

使用公钥 $(N,e)$ 加密，假设明文为 $m(m<N)$ ，则密文 $c=m^e\%N$ 。
使用私钥 $(N,d)$ 解密，则明文 $m=c^d\%N$ 。

三、正确性证明（证明过程使用到欧拉定理）

证明 m 经加解密后还是 m，即证明等式 $m=(m^e\%N)^d\%N,m<N$

明文 m 与 N 互质
$(m^e\%N)^d\%N$
$=m^{ed}\%N$
$=m^{k\varphi(N)+1}\%N,k\in N^*$
$=[m(m^{\varphi(N)}\%N)^k]\%N$
$=m\%N$
$=m$
明文 m 不与 N 互质
m 不与 N 互质， $N=pq$ ， $p、q$ 都为质数。则一定有 $m=cp或m=cq,c\in N^*$
$我们假设m=cp$
$(cp)^{ed}\%q$
$=(cp)^{k\varphi(N)+1}\%q,k\in N^*$
$=(cp)^{k(p-1)(q-1)+1}\%q$
$=[cp((cp)^{q-1}\%q)^{k(p-1)}]\%q$
$=(cp)\%q$
即 $(cp)^{ed}=cp+tq,t\in N^*$
易知 $(cp)^{ed}\%p=0$ ，即 $(cp+tq)\%p=0$ ，即 $tq\%p=0$
显然 $p、q$ 互质， $\therefore t=rp,r\in N^*$
$\therefore (cp)^{ed}=cp+tq=cp+rpq=cp+rN$
$\therefore (cp)^{ed}\%N=(cp+rN)\%N=(cp)\%N$
即 $m^{ed}\%N=m\%N$
故 $m=(m^e\%N)^d\%N$ ，得证！
证明部分参考的博客

最后编辑于：2019.02.02 20:36:06

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一、生成公钥、私钥

二、加密、解密

三、正确性证明（证明过程使用到欧拉定理）

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