数论四大定理之欧拉定理

本文分为两个部分,第一部分介绍欧拉定理的证明,第二部分介绍欧拉函数的求法。

欧拉函数

欧拉函数\varphi(n)(n\in N^*)是小于等于 n 的正整数中与 n 互质的数的个数。

欧拉定理

对于任意互素的a和n,有a^{\varphi(n)}\equiv1(\mod n)

一、欧拉定理的证明

记小于 n 且与 n 互质的正整数集合为
R=\{x_1,x_2,\cdots,x_{\varphi(n)}\}
S=\{ax_1\%n,ax_2\%n,\cdots,ax_{\varphi(n)}\%n\}
\forall i\in[1,\varphi(n)]
\because (a,n)=1,(x_i,n)=1
\therefore (ax_i,n)=1
由最大公约数的性质可得(ax_i\%n,n)=1
所以 S 中所有元素都与 n 互质,且都小于 n。
又 S 中无重复元素
假设i\neq j,ax_i\%n=ax_j\%n
即ax_i\equiv ax_j(\mod n),又(a,n)=1
\therefore x_i\equiv x_j(\mod n),i=j,矛盾!
\therefore S=R
\therefore\prod_{i=1}^{\varphi(n)}ax_i\%n=\prod_{i=1}^{\varphi(n)}x_i
\therefore\prod_{i=1}^{\varphi(n)}ax_i\equiv\prod_{i=1}^{\varphi(n)}x_i(\mod n)\Longrightarrow a^{\varphi(n)}\prod_{i=1}^{\varphi(n)}x_i\equiv\prod_{i=1}^{\varphi(n)}x_i(\mod n)
又(\prod_{i=1}^{\varphi(n)}x_i,n)=1
故a^{\varphi(n)}\equiv1(\mod n)

二、欧拉函数的求法

  1. \varphi(1)=1
  2. 如果 n 是质数,则\varphi(n)=n-1
    因为质数与小于它的每一个正整数都互质。
  3. 如果n=p^k(p为质数,k\in N^*),则\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1},这是因为只要当一个数不包含因子 p 时,就能与p^k互质。而小于等于 n 包含质数 p 的数一共有p^{k-1}个,即1\times p,2\times p,\cdots,p^{k-1}\times p,把它们去除,剩下的就是与p^k互质的数。
    上式也可以写作:\varphi(p^k)=p^k(1-\frac{1}{p})
  4. 如果n=p\cdot q,而且p,q互质,有\varphi(n)=\varphi(p\cdot q)=\varphi(p)\cdot\varphi(q)(欧拉函数是积性函数)
    这一条的证明要用到"中国剩余定理",这里就不展开了,只简单说一下思路:如果
    a (a < p) 与 p 互质,b (b < q) 与 q 互质,c (c < pq) 与 pq 互质,则 c 与数对 (a , b) 是一一对应关系。由于 a 的值有\varphi(p)种可能,b 的值有\varphi(q)种可能,则数对 (a , b) 有\varphi(p)\cdot\varphi(q)种可能,而 c 的值有\varphi(p\cdot q)种可能,所以\varphi(p\cdot q)=\varphi(p)\cdot\varphi(q)
  5. 通式,因为任意一个大于1的正整数,都可以写成一系列质数的积。
    n=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r}(p_1,\cdots,p_r都为质数)
    由4可得\varphi(n)=\varphi(p_1^{k_1})\varphi(p_2^{k_2})\cdots\varphi(p_r^{k_r})
    再由3可得\varphi(n)=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r}(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdots(1-\frac{1}{p_r})
    即\varphi(n)=n\sum_{i=1}^r(1-\frac{1}{p_i})

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