本文转自GloVe详解 .

Glove是一个词嵌入工具，不管是英文还是中文，网上关于GloVe的介绍并不多，所以本文的内容主要来自于Stanford NLP Group的Jeffrey Pennington, Richard Socher, Christopher D. Manning在2014年的Empirical Methods in Natural Language Processing (EMNLP)上发表的一篇论文：GloVe: Global Vectors for Word Representation。相对而言这篇论文还是很容易读懂的，下面我们进入正题。

什么是GloVe？

正如论文的标题而言，GloVe的全称叫Global Vectors for Word Representation，它是一个基于全局词频统计（count-based & overall statistics）的词表征（word representation）工具，它可以把一个单词表达成一个由实数组成的向量，这些向量捕捉到了单词之间一些语义特性，比如相似性（similarity）、类比性（analogy）等。我们通过对向量的运算，比如欧几里得距离或者cosine相似度，可以计算出两个单词之间的语义相似性。

GloVe是如何实现的？

GloVe的实现分为以下三步：

• 根据语料库（corpus）构建一个共现矩阵（Co-ocurrence Matrix）X（什么是共现矩阵？），矩阵中的每一个元素 X_ij 代表单词 i 和上下文单词 j 在特定大小的上下文窗口（context window）内共同出现的次数。一般而言，这个次数的最小单位是1，但是GloVe不这么认为：它根据两个单词在上下文窗口的距离 d，提出了一个衰减函数（decreasing weighting）：decay=1/d 用于计算权重，也就是说距离越远的两个单词所占总计数（total count）的权重越小。
  In all cases we use a decreasing weighting function, so that word pairs that are d words apart contribute 1/d to the total count.

• 构建词向量（Word Vector）和共现矩阵（Co-ocurrence Matrix）之间的近似关系，论文的作者提出以下的公式可以近似地表达两者之间的关系：

  其中，上式的 w_i 和 w_j 是我们最终要求解的词向量；而 b_i 和 b_j则是两个词向量的 bias 项。对于这两个 w_i 和 w_j这两个词向量怎么来的，后面会进行详细介绍；

• 有了公式（1）之后我们就可以构造损失函数了：

  loss function
  
  这个loss function的基本形式就是最简单的mean square loss，只不过在此基础上加了一个权重函数 f (X_{i j})， 那么这个函数起了什么作用，为什么要添加这个函数呢？我们知道在一个语料库中，肯定存在很多单词他们在一起出现的次数是很多的（frequent co-occurrences），那么我们希望：
  （1）这些单词的权重要大于那些很少在一起出现的单词（rare co-occurrences），所以这个函数要是非递减函数（non-decreasing）；
  （2）但我们也不希望这个权重过大（overweighted），当到达一定程度之后应该不再增加；
  （3）如果两个单词没有在一起出现，也就是 X_{i j} = 0，那么他们应该不参与到loss function的计算当中去，也就是f(x)要满足f(0)=0；
  满足以上两个条件的函数有很多，作者采用了如下形式的分段函数：
  x表示共现次数，而x_max_表示最大共现次数
  这个函数图像如下所示：
  这篇论文中的所有实验，α 的取值都是0.75，而x_max取值都是100。以上就是GloVe的实现细节，那么GloVe是如何训练的呢？

GloVe是如何训练的？

虽然很多人声称GloVe是一种无监督（unsupervised learing）的学习方式（因为它确实不需要人工标注label），但其实它还是有label的，这个label就是公式2中的 log(X_ij)，而公式2中的向量w_i和w_j就是要不断更新/学习的参数，所以本质上它的训练方式跟监督学习的训练方法没什么不一样，都是基于梯度下降的。具体地，这篇论文里的实验是这么做的：采用了AdaGrad的梯度下降算法，对矩阵 X 中的所有非零元素进行随机采样，学习曲率（learning rate）设为0.05，在vector size小于300的情况下迭代了50次，其他大小的vectors上迭代了100次，直至收敛。最终学习得到的是两个vector是 w_i 和 w_j，因为 X 是对称的（symmetric），所以从原理上讲 w_i 和 w_j 是也是对称的，他们唯一的区别是初始化的值不一样，而导致最终的值不一样。所以这两者其实是等价的，都可以当成最终的结果来使用。但是为了提高鲁棒性，我们最终会选择两者之和 w_i + w_j 作为最终的vector（两者的初始化不同相当于加了不同的随机噪声，所以能提高鲁棒性）。在训练了400亿个token组成的语料后，得到的实验结果如下图所示：

Glove与LSA、word2vec的比较

LSA（Latent Semantic Analysis）是一种比较早的count-based的词向量表征工具，它也是基于co-occurance matrix的，只不过采用了基于奇异值分解（SVD）的矩阵分解技术对大矩阵进行降维，而我们知道SVD的复杂度是很高的，所以它的计算代价比较大。还有一点是它对所有单词的统计权重都是一致的。而这些缺点在GloVe中被一一克服了。而word2vec最大的缺点则是没有充分利用所有的语料，所以GloVe其实是把两者的优点结合了起来。从这篇论文给出的实验结果来看，GloVe的性能是远超LSA和word2vec的，但网上也有人说GloVe和word2vec实际表现其实差不多。

公式推导

写到这里GloVe的内容基本就讲完了，唯一的一个疑惑就是公式1到底是怎么来的？如果你有兴趣可以继续看下去，如果没有，可以关掉浏览器窗口了。为了把这个问题说清楚，我们先定义一些变量：

• X_ij 表示单词 j出现在单词 i 的上下文中的次数；
• X_i 表示单词 i 的上下文中所有词出现的总次数，即 X_i = ∑^k X_ik；
• P_ij = P(j|i) = X_ij / X_i ，即表示单词 j 出现在单词 i 的上下文中的概率

有了这些定义之后，我们来看一个表格：

于是为了捕捉上面提到的概率比例，我们可以构造如下函数：

我们知道 X 是个对称矩阵，单词和上下文其实是相对的，也就是如果我们作如下交换：w <—> w_k，X <—> X^T 公式6应该保持不变，那么很显然，现在的公式是不满足的。为了满足这个条件，首先，我们要求函数 F 要满足同态特性（homomorphism）：

以上内容其实不能完全称之为推导，因为有很多不严谨的地方，只能说是解释作者如何一步一步构造出这个公式的，仅此而已。