初等数学2300年之重大错误：将无穷多各异点集误为同一集

——让中学生也能一下子认识3000年都无人能识的直线段

黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）

 [摘要]初等几何有史2300多年来一直认定相互平行且距离为0的直线必重合从而有直线公(定)理，进而断定：等长的直线段必合同。然而集合、几何起码常识及区间概念凸显此“初等几何起码常识”其实是将无穷多各异直线（段）误为同一直线（段）的“以井代天”的2300年“井底蛙”误区。判断两点集是否≌的全新方法让中学生也能一下子认识3000年都无人能识的伪二重、伪≌直线段，进而认识初等数学有一系列搞错函数的值域的几百年重大错误——百年病态集论的症结。

[关键词]推翻直线公（定）理；推翻百年集论和百年“R轴各点与各标准实数一一对应定理”；伪二重、伪≌点集；直线（段）的伸缩变换；函数的值域；有序连续变化的变化规律；保序及保距变换

文献[1][2]证明了直线A沿本身保序平移或伸缩后就≠A了，故“直线公（定）理”其实是将无穷多各异直线误为同一线的重大错误，但未能从几何上来阐明此事实，本文使人可如小学生看图识字那样看图识此事实。公元前1100年中国人商高同周公的一段对话谈到了勾股定理说明人类认识几何学的直线段起码已有3000多年。2300多年来学、教过初等几何的人数以亿计，其中不少人是著名科学家及著名教育家，他们都没发现初等几何有重大错误。“所以显然有科学常识”：因数学是严密精确的代名词故数学，尤其是“已成熟到不能再成熟”的初等数学对直线（段）这一最基本、简单图形的认识绝不可能有极重大错误; 绝不可能有人能推翻现代数学的公(定)理。有一种“凡是”：凡是连“小人物”也谈不上的“草根”绝不可能有重大科学发现。人类由认识直线段到发现用而不知的伪二重、伪≌直线段竟须历时3000多年！但若担心广大高中生（应熟悉非常简单易懂的保距变换概念）看此文后还不能立刻认识这类线段那就是污蔑其是弱智群体了，因挑战各“绝对不可能”的“反科学”的“超人”发现来自于太浅显的：⑴集合起码常识a：所谓集A=B是说A的元与B的元可一一对应相等，故点集A≠B的原因是不可“一一对应相等”。⑵中学的几何起码常识c：重合的有界图形（点集）必合同。⑶区间概念。

一、可看图识“字”：直线Z沿本身平移或伸缩后就≠Z了——直线公理严重歪曲了事物的本来面目

因与x∈R相异或相等的实数均可表为y=x+△x（△x可=0也可≠0）故x变换为实数x+△x的几何意义可是：一维空间“管道”g内R轴上的质点x∈R(x是点的坐标)沿R轴方向移动变为还在g内的点x′=x+△x，即实数的改变可形象化（注！是真正的形象化而非没有形象的假形象化）为管道g内质点的位置的改变（设各点只作位置改变而没别的改变即变位前后的质点是同一质点）。《复分析可视化方法》是复分析领域的一部名著，其公开挑战当前占统治地位的纯符号逻辑推理。显然没有宽度的直线和没大小的“点”是没有形象的，从而是不可视的。R可形象化为R轴, R各数x可形象化为 R轴各点；变数可形象化为g内的动点。数学的图形可是离散的点的点集。直线上的点集E：……（这不是省略号）各点可作保距或非保距平移。至少有两元的点（数）集 A各元x保距（偏离原位）变为x′=x+△x组成元为点x′的B≌A。铁球是铁分子的集合A，铁球的热胀冷缩导致其组织结构变了，A平移到新位置成A′还是由移动前的所有铁分子组成的集，这移动只是改变各分子的位置而不能改变A的组成成员和组织结构。同样，保距变换是刚体运动从而不改变点集的组成成员和组织结构。极显然：E各点之间任意交换位置后还是原点集E，但点与点之间的距离变大（小）后（集的组成成员没变但组织结构变了）就不能还是原点集了。所以不改变组成成员的变距变换必改变点集的组织结构。有了各点还须有规定各点如何排列聚集的法则才能确定一点集；点还是这些点，但其可聚集成长度为c的直线段A也可聚集成长为c的圆弧等等，A还可伸长（压缩） 变长（短）为新线段(～A)还由A的全部点组成。这说明：质点的坐标与质点本身有根本区别从而使质点集与数（数组）集有根本区别。E中两个点形成点集B，两点的距离ρ一发生变化就形成还由这两点组成的集≠B，因ρ≥0可取无穷多个数故这两点可形成无穷多均由其组成的各异点集。要注意集的组成成员与集的元素是有根本区别的，例｛2，2，2｝由3个2组成但其元却只有一个。

高中有“平面内的不变直线”知识。集合起码常识a和有序连续变化的变化规律显示自有变换（函数）概念几百年来数学一直存在重大错误：将变动了的直（射）线误为不变直（射）线。

设A=｛x｝表A各元均由x代表，变量x的变域是A，其余类推。说R轴各元点x可沿轴保距平移变为点x+△x=y=x+1就是说R轴可沿轴正向平移距离1变为y=x+1轴，其余类推。R各元x保序变为y（x）=x+△x=kx生成I={y}各元y=kx中的正常数k若≈1则I各元y=kx≈(1+0)x=x (x=0时kx=0)与R各元x一一对应近似相等（或对应相等）使I≈R（xy平面的直线y=kx≈x与直线y=x近似重合）；显然当且仅当k=1时才有：I各元kx=x与R各元x一一对应相等使I=R。可见数集相等概念表明x轴保序伸缩变换为y（x）=kx轴≠x轴（正常数k≠1）；当然肉眼不可察觉此事实，但下文使人凭肉眼就能察觉。

有共同横坐标的点（x，y）与点（x，y′≈y）近似重合。直线A：y=x（y∈R）各元点P（x，y=x）中的x 不变而y=x保序变为y=kx≈x（正常数k≈1）就使A变为元是点P′（x，y=kx≈x）的直线B：y=kx≈x而与直线y=x近似重合，原因是两线各点的纵坐标y=x与y=kx≈x一一对应近似相等（或对应相等）；显然若“一一对应相等”则两线必重合，故两线只可近似重合而不可重合的唯一原因是各y=x∈R与各y=kx≈x不能一一对应相等。这就形象地说明R各元x非恒等变换地保序变为y=kx生成I各元y=kx与R各元x不可一一对应相等使R≠I。

h定理1：U各元点（x，y=x）中的x 不变而y变为y′=y′（x）得元为点（x，y′）的V，V=U的必要条件：U、V各元点有一一对应关系：点（x，y）↔点（x，y′）且y=x与y′=y′（x）同为x的增函数；满足此条件的U、V不重合的原因是关系式中的纵标y′与y不可一一对应相等。

证：U、V各元点（x，y=x）与（x，y′）中的函数y=x与x的对应关系的关系图就是U，函数关系y′=y′（x）的关系图就是V，若U=V则显然定义域相同的y′与y必是同一函数。A各元y=x变为y′= y′（x）组成B=｛y′｝,设各x是平面点的横坐标，各y与y′是纵坐标。y（x）=y′（x）时点（x，y）∈U与点（x，y′=y）∈V重合说明U、V各元点的纵标y（x）与y′（x）若一一对应相等则各元点必一一对应重合使U=V。故若U≠V则必表明各纵标y与y′不可一一对应相等。证毕。

h定理2（实际上是文[3]中的h推论1）：至少有两元的数集A非恒等变换地保序变换为B必≠A。

证1：若数集A＝B则显然A的元与B的元必可由小到大一一对应相等。A各数在集内分别都有一定的大小“名次、地位”，例在A={0，1，2}中：2是第一大的数，1是第二大数，0是第三大数；A各元x保序变为x2组成{0，1，4}也有第一大、第二大、第三大的元。大小互不同的鸡组成集A和B，a（b）是A（B）中第n大的鸡，显然若A=B则a和b必是同一鸡。任一A=｛x｝各数x保序变为y=y（x）（y是增函数）组成B=｛y（x）｝，x∈A在A中的大小“地位”与y（x）∈B在B中的大小地位是一样的，显然若A=B则x与y（x）必是同一数，故若y（x）不≡x则B≠A。

证2：x轴各元点x变为点y=x得元为点y=x的y=x轴。A各元y=x可形象化为y=x轴(⊥x轴)的元点y=x∈y轴而分别都有一定的高度（可<0），A各点y=x沿y轴方向非恒等变换地保序升高（降低）变为点y′（x）形成B=｛点y′｝⊂相应数轴，y′（x）是x的增函数。将各点（x，y）的纵标y称为点的高，直线y=x是由高低各不同的点（x，y=x）从低到高有序聚集成的。直线y=x的子集U=｛（x，y=x）|y=x的变域是A｝各高为y=x的元点非恒等变换地保序升高（降低）（保高、低顺序）移动变为高是y′（x）的点P′（x，y′）∈V，因各元点移动的方向均⊥x轴故各P′不能都还在直线y=x上；故所有点P′组成的V=｛（x，y′（x））| y′的变域是B｝≠U，原因是各y与y′不能一一对应相等，据h定理1。这形象地说明A各元y=x与各对应y′（x）∈B不能一一对应相等使A≠B。证毕。

相比下x轴上的点x与点x+c≈x（c≈0）近似重合，要注意近似式中的c是与1相比而非与x相比≈0即c是与±1相比而非与x相比距0极近。R轴即x轴各点x沿轴非恒等变换地保序平移变为点y=x+△x=x+非0常数c生成元为点y的y=x+c轴叠压在x轴上，中学数学一直认定x轴=y轴即函数y=x+c的值域y轴=x轴，因初中几何有直线公理（有书“证明”这是定理）：过空间两异位置点有且只能有一条直线。其实这是违反集合起码常识a的肉眼直观错觉。理由：①据h定理2这非恒等保序变换前后的直线不相等。②可从二维图形上说明此事实。有相互平行的直线y=x（y∈R）和直线y=x+c,由图像可见若c≈0则直线y=x+c≈x+0与直线y=x近似重合，原因是两线各点的纵标y=x与y=x+c≈x一一对应近似相等；故两线只可近似重合而不可重合的唯一原因是各y=x与各对应y=x+c不能一一对应相等；据h定理1两线不可重合的原因是不可“一一对应相等”。这形象地说明R各元x与各f（x）=x+c不能一一对应相等；显然各x只能与各x+c中的x一一对应相等而不可与各x+c本身一一对应相等。可见数集相等概念表明x轴沿轴平移变为y=x+c轴≠x轴。③第三节指出y=x+c（c>0）轴有点的坐标y=x+c>R一切数x使R是有界集！

x轴非恒等变换地保序不保距（收缩）变换为元为点y=x+△x=0.5x的y=0.5x轴（不≌x轴）叠压在x轴上，中学一直认定x轴=y轴，因有直线公理。其实这是肉眼直观错觉。理由：⑴同上①。⑵直线y=x各点P（x，y=x）变为点P′（x，y=0.5x）（y是增函数）得元为P′的直线y=0.5x与直线y=x不重合，原因是两线各点的纵标y=x∈R与y=0.5x不能一一对应相等，据h定理1。显然各0.5x只能与各x=0.5x+0.5x∈R中的0.5x一一对应相等而不可…。⑶不保距（收缩）变换是改变点集的组织结构的变换：使元点间的距离变小的变换。所以y=0.5x轴不≌x轴反映出两轴有不同的组织结构。⑷下节证明[a，b]⊂x轴与[a，b]⊂y=0.5x轴是伪二重直线段（区间）——从另一侧面表明0.5x轴与x轴是伪二重直线。

同理可证：x轴沿轴（非恒等变换地）保序伸缩、平移成X=kx+b轴(叠压在x轴上)≠x轴，其中常数k>0是伸缩因子，b≠0是平移因子。所以“据直线公理X轴与x轴重合”是中学几百年解析几何的直观错觉，是搞错X=kx+b（增函数）的值域的以井代天错误。

R所有非负元x≥0组成R+，数学将R+记为[0，+∞）。R轴的射线x≥0即射线R+各元x≥0非恒等变换地保序变为y=x+△x=xk≥0（正常数k≠1）组成｛y｝=Y叠压在R+上（说R+=Y就是说Y是射线R+），中学几百年“Y=R+”是肉眼直观错觉。理由：⑴据h定理2Y≠R+。⑵可从几何上说明此事实。设xk中的k=2，平面上的直线y=x上的射线y=x≥0（x的变域是R+）各元点（x，y=x≥0）变为点P′（x，y=x2≥0）得元为P′的抛物线y=x2≥0（x≥0，y=x2是增函数）与射线y=x≥0不重合，原因是两线各点的纵标y=x≥0与y=x2≥0不能一一对应相等，据h定理1。这形象地说明R+各元x≥0与各对应x2≥0不能一一对应相等使R+≠Y。…。同理,直线段V=[0，1]⊂R+各元x（0≤x≤1）非恒等变换地保序不保距变为y=xk（正常数k≠1）组成S≠V；且据几何起码常识c因S不≌V故S≠V，中学几百年“S=V”是违反几何常识c的错误。据h定理2R+各元x≥0非恒等变换地保序变为y=2x2≥0组成｛y｝=C≠R+；…。

同理可证：R各元y=x非恒等变换地保序变为y′=x3组成R′=｛y′=x3｝（y′是x的增函数，相应有平面直线y=x与曲线y′=x3）≠R，中学几百年“R′=R”是重大错误。

研究图形A的投影T非常重要，T随A的连续运动而连续运动。电灯在断电之前一直都那么亮，而手电筒的光亮度是随着电池的电量的减少而逐渐减弱直至无光亮的；后者是有序渐变。复平面z=x+iy的x轴即直线z=x绕点z=0逆时针旋转α角（00≤α≤900）变为直线B：直线z′=x（cosα+isinα）=xcosα+ixsinα=u+iv（相应有u=xcosα轴），α=00时直线B=x轴而在x轴的正投影T=x轴，转角α由00→900使B由∥x轴变到⊥x轴，B在x轴的正投影T随之就从T=x轴开始连续不断地收缩变换成T=u（=xcosα）轴（0≤cosα≤1），最后收缩成只有一个元u=xcos900=0的点集T=｛点u=0｝。有无穷多个元的直线T与只有一个元的｛点u=0｝有无穷大的差别。T由直线（x轴）收缩变化最后变为只有一个元的点集这种有序连续变化的变化规律必是：T先与x轴有较小的差别（α≈00时）然后再有较大的差别，最后有无穷大的差别，正如可=0的有序连续变化的变数x由正数变为负数时必先=0然后才能=负数一样，正如一人不经过儿童期就绝不可进入少年期一样。可见连续运动、变化的有序渐变的性质从一侧面表明x轴保序收缩变换为u（=xcosα）轴（正常数cosα<1）必≠x轴。据直线公理说直线T=x轴在收缩成只有一个元的点集之前的各次收缩变换后总=x轴（注：运动的直线可暂时固定一下），无异于说T的收缩变化不是有序连续变化。这直线公理严重歪曲了事物的本来面目，正如“一个什么都不懂的婴儿在变为科学家之前的几十年间一直≡婴儿，只要其达到一定年龄的某一天就突变成科学家。”严重歪曲了事物的本来面目一样。产生逻辑悖论是因主观认识与客观实际不符。正确反映现实世界的空间形式与数量关系从而正确反映有序连续变化的变化规律的数学，才是真正的数学。注！第三节揭示R轴是有界集！由错误的公理推出的“定理”必是伪定理。

注：x轴各点x沿轴平移变为点u=kx(正数k=cosα≤1)生成还由x轴所有元点聚集成的u=kx轴～x轴。u轴各点u=kx→0（k由1→0）变为点u=kx=0x即各点u沿轴移动到其极限位置u=0处聚集成的单元点集｛u=0x=0|x的变域是x轴｝还由u轴所有元点组成——点还是这些点，但其都集中在同一位置上就形成单元点集了。

二、几何起码常识c让3000年都无人能识的伪二重直线段一下子浮出水面推翻百年集论——初等几何2300年极重大错误：将无穷多各异图形误为同一图形

有人体穴位图A和B，A（B）中各穴位P（P′）到太阳穴P0(P0′)的距离是变数ρ（ρ′）≥0，若B≌A则显然ρ′与ρ必是同一变数，P0与P0′互为合同对应穴。文[2]提出一种判断两点集是否≌的新方法：

h定理3：若点集A（至少有两元）各元点x保距变为点y（x）生成B=｛y（x）｝≌A则A各点x到A任一固定点x0的距离ρ=|x-x0|=ρ′=|y（x）-y0（x0）|=B各元点y（x）到点y0（x0）（点y0与点x0互为合同对应点）的距离，即ρ′与ρ是同一距离函数。同理A与B≌A可是二、三维空间点集，…。

证：由A≌B的定义ρ′=ρ。同理…。证毕。

区间[0，1]表示0与1及0与1之间所有数组成的集，但要注意后文表明[0，1]与[0，1]⊂x轴或x′轴等，是不同区间；...。由h定理3判断数集A与B是否≌时若A各元均由x代表则B各元须由别的字母例y等代表。在“一一对应相等”中应注意：0≤x≤1和0≤x+1≤1（-1≤x≤0）中括号外的x和y=x+1的变域均为区间F=[0，1]，y=x+1中x的变域W=[-1，0]可平移距离1变为F。W的最大元x=0变为y=x+1（x=0）=1（∈F=[0，1]）=x（=1），因不等式规定F各元也均由x代表；这里的x+1=x=1中等号两边的x是不相等的，此x=0，彼x=1。F=[0，1]各元是x=h；F各元也可是y=x+1=h，当y中x=y-1的变域是W时。各x=h与各y=h当然可一一对应相等：x=h↔y=x+1=h（恒等对应），但要注意箭头两边的x是不相等的。所以元为x的W变为元为y=x+1的F的变换，是W平移距离1的变换；元为x=h的F变为元为y=x+1=h的F的变换，是恒等变换。所以A=[0，1]⊂x轴各元点x=θ到A的中点x=1/2的距离ρ=|x（=θ）-0.5|，B（=A）=[0，1]⊂y=x+1轴各点y=x+1=θ到B的中点y=1/2的距离ρ′=|y（=x+1）-0.5|( x+1=θ)=ρ；同样A各点x=θ到A的左端点x=0的距离|x（=θ）|与B各点y=x+1=θ到B的左端点y=0的距离|y（=x+1）|( x+1=θ)是同一距离函数。要注意闭直线段E≌E′且E∥E′中E的左（或上）端点P与E′的左（上）端点P′不一定是合同对应点，E保距且保序变为E′≌E才能使P′与P是合同对应点。将非合同对应点误为合同对应点就会得错误的结果。

h定理4：至少有两元的点（数）集A=｛x｝（B=｛y｝）任两异元x与x+△x（y与y+△y）之间的距离是|△x|（|△y|），A≌B的必要条件是|△x|=|△y|即△y =±△x，充分必要条件是A、B各元有一一对应关系：x↔y=±x+常数c。

证：A≌B时A与B的元必可有一一对应关系：x↔y=y（x），距离|△x|=|（x+△x）-x|=|y（x+△x）-y（x）|=|△y|即△y=±△x；而当且仅当y=y（x）=±x+c时才有△y=y（x+△x）-y（x）=±（x+△x）+c-（±x+c）=±△x。证毕。

同理，二、三维空间点集A≌B的必要条件是...。

R轴即x轴收缩变换为y=0.5x轴≠x轴。由-2≤x≤2得-1≤0.5x≤1。自有函数概念几百年来数学一直断定“定义域=[-2，2]⊂R的y=x/2=0.5x的值域=[-1，1]⊂R”。这一中学函数“常识”其实是违反几何起码常识c的肉眼直观错觉。直线段L=[-2，2]⊂x轴有子部D=[-1，1]⊂x轴，L各元点x变为点y=x+△x=0.5x生成元为点y的线段D′（～L）=[-1，1] ⊂y=0.5x轴。～L的D′≠D⊂L的理由：

①保距变换将直线段A的中心点变为新线段B≌A的中心点即若A≌B则A的中点与B的中点必互为合同对应点；假设2300多年D≌D′成立则据h定理3相应的距离ρ=ρ′；然而D各点x到D的中点x=0的距离ρ=|x|，D′各点y=0.5x到D′的中点y=0的距离ρ′=|0.5x|≠ρ；故假设不成立即D不≌D′。②h定理4说明A各点x通过各种保距变换变为点x+△x=y（x）∈B≌A中的y与x∈A的对应关系只能是y=±x+c（c可=0）；所以D′有无穷多元是y=0.5x（x∈D）说明D不可通过保距变换变为元为y=0.5x的D′即D′不≌D；据几何起码常识cD′≠D。③文[1]证明了L～D′的任何真子集都不可～L。其实无人能证D各元x与D′各元y=0.5x能一一对应。各x变为y=x是恒等变换。有人说D可通过恒等变换变为元是0.5x的D′=D，这是错误的。要将10吨棉花运到棉纺厂须先用压缩机将棉花压缩打包使其体积缩小，压缩后的棉花只是全部棉花的一小部分吗？将3斤重的一包饼干A压缩成压缩饼干B使B的体积远小于A的体积，有人以为B是A的一小部分而将其一下子吃光，结果...。这是致命错误。同样线段L收缩变短为与D⊂L等长的D′～L不能成为L的一部分D，中学的D′=D是使康脱误入百年歧途的重大核心错误。这错误使康脱推出病态的“定理”：L～D⊂L。“定理”中“=D却不≌D的D′”中的D′=D因违反几何起码常识c从而是根本不能存在的假无穷集，而真正的无穷集D′≠D。

与L=[-2，2]⊂x轴重合的线段β绕L的中点x=0反时针旋转使β由∥x轴变到⊥x轴，β在x轴的正投影T随之就不断缩短使T两端点的距离由=4逐渐变小到=0致两端点重合。这T由T=β=L（有无穷多个元）开始连续不断地缩短变为T=γ=[-1，1] ⊂相应数轴，继而变为T=…，最后收缩成只有一个元的点集T=｛0｝。数学断定γ⊂L即断定缩短后的T必是缩短前的T的一部分，若此论断成立则连续运动的有序渐变性使T的元点应是由多到少地有序变换使T=γ的元点少于T=β=L的元点，即T缩短后的元必少于缩短前的元，最后才能少至只有一个元。百年集论断定T在缩短成只有一个元之前的元点总是和T=β=L的元点一样多，无异于断定T的收缩变化不是有序连续变化。这就构成急待消除的：连续运动悖论。

注：直线段T因被压缩而改变了各组成成员之间的距离从而使T缩短成T′～T，最后所有成员都被移到位置x=0处形成还由T所有组成成员组成的单元集T′=｛u=0x=0|x的变域是L⊂x轴｝,这一使点集任两异成员的间距由大变小最后变为0的变换，只是改变了点集的组织结构而没使其有任何减员；T不断减员变为其真子集T″而缩短，最后减去一切非0成员而缩短成单元集T″=｛u=0｝这一减员变换不改变点集的组织结构而只改变其组成成员，这与前者的压缩变换是有根本区别的。

x轴伸缩变换为y=kx轴（正常数k≠1）。有等长线段：D=[-1，1]⊂x轴和J=[-1,1]⊂y=kx轴，D 各点x到D 的中心x=0的距离ρ=|x|而J各点y=kx到J的中心y=0的距离ρ′=|kx|≠ρ；据h定理3J不≌D，J与D 是貌似重合的伪二重集、伪≌集。y=kx轴中的k≠1可取无穷多正数说明有无穷多长度均=2的直线段互不合同。由h定理3、4可证初等几何2300多年“形状、大小相同的图形必合同”其实是被伪合同图形迷惑而将无穷多各异点集误为同一集。在某些情形例当不研究线段有多少元点时可将问题大大简化：将等长的直线段视为相互合同的图形。

复平面z=x+iy可收缩成平面0.5z叠压在z面上。z面有圆盘G：|z|≤2及圆盘K⊂G：|z|≤1；G收缩成～G的圆盘K′⊂0.5z面：|0.5z|≤1叠压在K上，“K=K′≌K′”其实是肉眼直观错觉。若圆盘A≌B则A与B的圆心必互为合同对应点，假设K=K′≌K′成立则据h定理3相应的距离ρ=ρ′，然而K各点z到K的圆心z=0的距离ρ=|z|≤1而K′各点0.5z到圆心0.5z=0的距离ρ′=|0.5z|≤1，据h定理3K不≌K′。z面可伸展成w=x+i2y=u+iv平面叠压在z面上。w面有圆盘G′：|w|≤2叠压在G上，据h定理3可证G′不≌G；…。

三、区间概念让2500年都无人能识的“更无理”标准实数一下子浮出水面推翻百年“R轴各点与各标准实数一一对应定理”

“R各数x均有对应标准数x+c（c=1，2，…）等等”。高等数学是研究变量的,而凡变量必有变域，变数必可遍取其变域的一切数。区间Q=[0，x]∪[x，x+1]∪[x+1，x+2] ∪[x+2，x+3]∪…中变域为R+的x≥0由0→∞遍取R+一切数x时Q的子区间[0，x]由0→∞地变长而长到包含R+一切数x∈[0，x]。据中学区间概念在各[0，x]（x的变域为R+）之外还有标准无穷大正数x+1∈（x，x+1]等等>R一切数使R+是有界集！从而使上述的y=x+c轴≠x轴。x轴与y=x+c轴分别都有子部：射线R+和射线y=x+c≥0。可见区间概念表明初等几何“有公共起点的两条射线的夹角若=0则两线重合”是将无穷多各异线误为同一线的2300年“井底蛙”误区。否定无理数使数学自相矛盾，否定“更无理”的正实数使初等数学出现违反区间概念和集合起码常识a的尖锐自相矛盾。由发现无理数到发现“更无理”的标准无穷大正数竟须历时2500年！

四、结束语

由上可见R轴沿本身平移或伸缩（伸缩系数k>0且≠1可取无穷多数）可变为无穷多各异直线相互叠压在一起，而中学几百年解析几何一直只识其中的一条直线且将无穷多各异直线误为同一线：R轴。这是因数学一直不知有用而不知的R外标准实数，不知伸缩前后的直线若组成成员相同则组织结构不同，两者是“同分异构”体。将各异直线误为同一线自然就会将各异直线段误为同一线段（以及将各异面误为同一面）。用h定理检验知中学课本一直搞错了无穷多函数的值域，几何学2300年来对n≥1维空间图形的认识一直存在极重大缺陷与错误：将无穷多各种各类的伪合同、伪重合图形误为合同、重合图形；从而使康脱误入百年歧途推出康健离脱的病态理论。破除迷信、解放思想、实事求是才能创造3千载难逢的神话般世界奇迹使数学发生革命飞跃：从“井底”一下子跃出进入到认识“更无理”的伪二重直线段的时代从而不再被蒙在“井”里。详论见[1][4]。备注：本文已在“预印本”上公布。

参考文献

[1]黄小宁。凭初等数学常识发现中学数学有一系列重大错误——让5千年无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，学周刊，2018（9）:180。

[2]黄小宁。凭中学数学常识发现数学课本一系列重大错误——让中学生也能一下子认识2300年都无人能识的直线段[J]，数理化解题研究，2016（24）:19。

[3]黄小宁。发现最小正数推翻百年集论消除2500年芝诺悖论——中学重大错误：将无穷多各根本不同的点集误为同一集[J]，中国科技信息，2010（18）。

[4]黄小宁。初等数学各常识凸显中学数学有一系列重大错误——“一一配对”让中学生也能一下子认识5千年无人能识的自然数[J]，课程教育研究，2017（50）：107。

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