小学初中高中教学类论文

                                 基于学生学习共同体培育语文生态课堂文化的研究

近年来,随着现代教育理念的不断深入与学习共同体的提出,语文生态课堂文化愈发被人们重视。学生在校学习阶段是其思维形成、习惯养成和能力提升的关键时期,而语文作为启蒙学科,是激活思维、培养习惯和提升能力的奠基者,是弘扬文化和传承美德的主要途径,更是帮助学生学好其他学科的关键学科。因此,在语文学科教学中,教师要注重培养学生语文素养,发挥学生的主体作用,拓展学生多元化学习渠道,打造良好的学习共同体,培育语文生态课堂文化,开创语文教学新理念。

语文生态课堂同样是由老师和学生共同组成,其核心是以人为本,旨在建立一个充满朝气、最大限度发挥学生主观能动性,能达到效果、效率最佳的教学环境。由学生和老师组成的学习共同体,目的也是在教学过程中增加师生与生生的沟通和交流,在学习过程中主动分享各种学习资源,从而轻松高效完成教学目标与学习任务,形成了积极向上、和谐默契的人际关系,这与语文生态课堂文化的教育理念不谋而合。将学习共同体与生态课堂文化相结合,注重教师学生共同体、教材与环境各要素之间的沟通联系,有利于形成和谐活跃、民主平等的有效教学模式。这不仅能激发学生学习兴趣,充分发挥学生主体作用,更能够促进学生创新意识和实践能力的培养,进而有助于促进学生德智体美全面发展。所以,基于学生学习共同体培育语文生态课堂文化是大势所趋。

如何构建学生共同体培育语文生态课堂文化主要有以下四个方面。

首先,以人为本,引导学生主动学习。传统语文教学以老师教学生学为主,学生完全丧失了主观能动性。这样的被动学习产生严重的后果:语文知识学完就忘,考完就丢。相反,主动学习能够提高学生学习能力,调动学生主观能动性,促进学生学习可持续发展,这也是语文生态课堂的主要教学目标。例如:教师在给学生讲《将进酒》时,可以先给学生讲解唐朝盛况,李白的性格习惯,生平遭遇。这样引导学生主动去探索李白在写这篇文章时的背景和立意,能更加深刻地记忆和理解这篇文章。因此,培育语文生态课堂文化的首要任务是倡导学生自主学习,变被动学习为主动学习。

其次,拓展多元化学习渠道,激发学生学习兴趣。科学研究表明,学生形

象记忆比抽象记忆更为深刻,图片记忆比文字记忆更为清晰。在科学技术日益发达的今天,引入多媒体教学在各个学校已经是常态,这为学生多元化学习提供了重要途径。如在科技论文写作课上给学生放映这样的影片:2016年3月,Google开发的机器人AlphaGo以4:1绝对优势打败顶尖围棋选手李世石九段,掀起了人工智能浪潮。2016年9月,IBM、微软、谷歌等科技巨头宣布成立人工智能联盟,纷纷布局人工智能领域,抢夺市场。这将书本中冰冷生硬的文字通过音频动画等多元化形式转化为生动形象的语言画面,呈现在学生眼前,不但使学生注意力高度集中,而且使学生产生浓烈的学习兴趣。然后经过教师循循善秀,使语文生态课堂教学效果事半功倍。

再次,增加互动,创建学生学习共同体。理想的语文生态课堂文化能唤醒学生学习潜能,成为师生心灵对话的平台。传统语文课堂持续向学生灌输枯燥乏味的理论知识,缺乏师生互动,不利于学生消化吸收课堂内容,降低学生学习积极性。早在2012年,就有研究表明师生互动及生生互动促进师生和生生间交流理解,增进师生与生生之间的情感交流,营造良好学习氛围,而且有助于教师合理安排教学计划,帮助学生高效完成学习计划。

最后,营造和谐课堂文化氛围,构建理想生态课堂。培育语文生态课堂文化的起点不是获取知识,最终目标点也不是得到优异的考试成绩,而是注重学生的健康成长。2010年,著名教育学家佐藤学教授提出:拒绝将竞争作为学习动力,和谐课堂文化氛围有助于学生提高学习效率。教师应该加强与学生沟通,共创理想生态课堂。要将语文课堂构建成理想的生态课堂,最佳途径就是营造和谐氛围。构建理想的语文生态课堂意义重大,学生不仅能够兴趣盎然地与课本对话,有充裕的时间和足够的空间完成语文实践,而且能自觉地以他人为师,真切的感知、感悟语文和语文生态课堂文化带来的无限魅力,最终使学生提升语文素养和完善人格。

基于学生学习共同体培育语文生态课堂文化,以全新的语文教育理念将教师和学生紧密联结一起,增进对话交流,共同学习进步,达到提高课堂教学效率,教师与学生共同成长的目的。这种全新的教育理念在丰富师生知识底蕴的同时,是想让教师更好的指导自己的教学,让学生更好的提高自己的学习效率。相信在这场静悄悄的新理念下,从中受益的教师、学生都会脱颖而出,获得更加广阔的视野,从而持续地发展下去。


                                                  探讨初中数学高效课堂之路

摘要:初中数学是培养学生数学思维和逻辑训练的主要手段,然而课堂作为初中数学教学的主要教学针地,短短的四十分钟需要完成一定量的教学任务与主要教学目标,高效课堂发挥的作用十分关键。要开辟初中数学高校课堂之路,必须对初中数学课堂效率不高的原因进行归纳与分析,然后总结归纳出如何开辟初中数学高效课堂之路。

关键字:初中数学;课堂;高效


初中数学作为一门关键学科,具有承上启下的作用。它一方面是连接小学数学与高中数学的枢纽,另外一方面又对培养学生的数学逻辑思维起决定性作用。课堂教学是初中数学教学的主要方式,但是课堂教学效率低下直接影响学生数学思维模式的形成,是学生理解知识欠佳、学习效率不高的真实写照,是教师教学方式不当、教学效果不理想的直接反映。因此,高初中数学高效课堂之路任重而道远,必须对初中数学课堂教学进行针对性分析和改进,才能提高课堂教学效率,使学生高效理解和吸收课堂知识。

[if !supportLists]一、[endif]初中数学课堂效率不高的原因

初中数学课堂效率不高主要有以下三个因素。

第一,从学生角度来看,学生不重视课前预习[1]。在进行初中数学学习时,学生打开课本的时候往往都是老师授课期间。没有提前预习,学生对于老师授课的教学内容不熟悉,课堂上跟不上老师的教学节奏,导致学生对相关知识点掌握不全面,一知半解,在后期作业练习甚至是考试时,差错连篇。举一个很典型的例子:在人教版八年级上册数学教材中第十一章三角形中提到,多边形内角和公式是(n-2)×180。学生如果在课上没有理解n的含义,或者机械记忆公式,在练习运用时很可能会忘记n是什么意思,或者记错公式,导致知识点混乱,做题总是出错。这些错误虽然可以在教师的帮助下改正,但是没有系统的知识学习体系,这些犯过的错误在后面的数学学习中仍然容易出现。并且有科学研究数据显示:学生没有及时修改与理解错题,这些相同的错误在题目中再错的概率极高。

第二, 从教师角度来看,教师没有发挥交互教学作用。在课堂教学中,教师不仅是数学知识的传播者,而且扮演者为学生答疑解惑的角色。因此,教师在教学过程中,不仅要完成教学目标,同时要站在学生的角度上关注新知识的疑难点,这就需要与学生及时沟通交流。比如,在人教版七年级下册数学教材第七章中,有关平面直角坐标系的知识点:平面直角坐标系就是由x轴和 y轴组成,平面直角坐标系上的点都可以表示为(x,y)的形式,x是横坐标点,y是纵坐标点。这些内容看似简单,但是有些学生可能还是无法理解。这时首先需要教师通过与学生交流了解学生的疑点,然后针对性解答。然后通过给学生看地球仪,将地理中的经纬度拿来类比x和y,加深学生对平面直角坐标系的认识和理解。

第三,从学生和教师共同的立场来看,学生和教师没有组成学习共同体。在数学课堂上,教师按照教学大纲完成教学目标,学生按照课表按时上课,双方看似都在一间教室,实则各自在完成各自的任务,没有任何交集,那么课堂效率低下就是常态。但是,教师和学生的任务是教和学,教师应该引导和带领学生一起学习,然后双方共同进步。例如,在人教版九年级上册第二十五章概率初步中有关随机事件的概率,教师可以在课堂上与学生一起进行抛硬币游戏,并分别记录抛硬币的次数,硬币在正面的次数和硬币在反面的次数,最后让学生统计硬币在正面的概率及硬币在反面的概率,并引导学生找出规律,最后在课堂上总结相关知识点,相信这样的课堂效率不会不高。

[if !supportLists]二、[endif]如何开辟高效初中数学课堂之路

首先,教师要引导学生养成课前预习、课后复习,多看错题、多总结的好习惯。每次上课之前,教师可以给五分钟让学生预习本节知识点,这样教师在进行数学教学时,学生也不至于完全不知道老师在讲什么或者完全跟不上教师的讲课补发。比如在人教版八年级数学教材第十二章全等三角形中,学生初次接触三角形全等的知识,必然不知道S.S.S、S.S.A、S.A.S、A.S.A和H.L的字面意思,甚至在老师授课时,由于不懂这些定义的简写意思,而产生畏难情绪,不再跟着教师授课节奏,继续学习。通过预习,学生虽然无法完全理解其中含义,但是可以理解S、A、H、L的字面意思:分别代表三角形中的边、角、直角边和斜边。这样,教师在进行全等三角形的判定的五种方法时,学生也会心中有数,在数学课堂上积极回应授课教师。这样的课堂肯定会使教师和学生都轻松愉快,同时让教师高效完成教学目标,让学生高效理解数学知识。

其次,教师做好数学课堂教学衔接工作,发挥教学引导作用。数学虽然是一门数字逻辑学科,需要大量的计算与思考,但是同样和其他文字学科一样需要知识点的记忆。教师在教学时需要及时的将课堂知识点与之前的相关知识点串联起来,便于学生记忆与理解。例如:教师在给学生授课时,讲到了八年级下册第十九章一次函数的内容,应该提前将七年级上册第三章一元一次方程的相关知识点在黑板上罗列出来。一是方便学生回忆已经学过的知识,而是便于学生理解将要学的新知识。例如,一次函数的表达形式是y=kx+b,其中,k和b都是常数,k不等于0。k是斜率,k为0时,y就是平行于x轴的一条直线,即y=b;b=0时,y=kx就是正比例函数,函数图象在平面直角坐标系上的表现就是穿过原点的一条直线。学生可能无法理解,这个时候就可以引导学生回忆和理解一元一次方程的概念。一元一次方程的数学表达式是ax+b=0,它的数学意义就是:只含有一个未知数且未知数的最高次数都是1,且方程两边都是整式的等式。通过将学过的知识与新知识联系起来,学生不但可以回顾已经学过的知识,而且可以将已经学过的知识和新知识融会贯通。

最后,教师要加强与学生的沟通与交流,共同构建学习共同体。教师在课堂上应尽可能让学生主导课堂氛围,多方式激发学生数学兴趣,加强与学生交流,营造和谐的学习氛围,与学生共同学习,共同进步。比如,教师在人教版七年级数学下册第八章二元一次方程组的教学中,可以在课堂上随机抽取几个学生在黑板上完成解方程练习3x+2y=6,6x+2y=12,在这些学生完成练习后,再随机抽取几个学生分别批改这些学生的练习题,最后再由老师当着全班同学的面批改这些练习题。通过这样的教学方式,不仅能够加强老师与学生、学生与学生的交流,而且能够让学生们自己发现自己的错误,这样不仅加深了写练习题的学生对这个题的理解,改题目的学生也能够从中学到知识,教师最后的讲解再次加深学生们对二元一次方程组的理解。

三、总结

综上所述,要想要开辟出一条初中数学高效课堂的阳光大道,离不开广大教师和学生的共同努力。就学生方面来谈,需要做好三点:第一点,学生需要做好课前预习,课后复习;第二点,学生应该在课堂上高度集中,紧紧跟着教师的脚步,通过教师的引导,走进高效学习的课堂;第三点,学生必须学会总结与归纳已经学习的知识,并且通过时常看错题,回顾易错的知识点,尽量是自己以后不再犯相同的错误。就教师的角度来看,也需要做好三处:第一初,教师需要做好课堂知识总结与归纳,并且要在课堂上及时将学生已经学过的知识点与新知识串联起来,便于学生交叉记忆与理解;第二处,教师应该加强学生在课堂上的基础题型练习[2],并且要针对学生的练习情况进行教学方式的改善;第三处,教师必须加强学生与学生、教师与教师的沟通与交流[3],只有营造教师与学生、学生与学生和谐的学习氛围,初中数学课堂高效之路才能走通。

参考文献:

[1]张伯法.初中数学高效课堂探究[J].学周刊,2017(24):29-30.

[2]李丽娟.浅谈如何提高初中数学教学课堂效率[J].教育艺术,2010:57.

[3]张海青.初中数学搞笑课堂教学方法探讨[J].教法研究,2012:179-180.

 

                                                培养自主学习能力 提高地理教学效率

--以人教版高一地理必修1第一章第二节太阳对地球的影响为例

摘要:高中地理教学课时有限,但是教学内容繁多。如果学生仅仅依靠课堂时间学习地理课程,那么学生不仅没有理清地理教师讲授的重点难点,而且没有掌握基础知识,学习效果就会十分不理想。这就需要学生有一定的自主学习能力,明确课堂学习和课后复习的共性与区别。因此,本文以人教版高一地理必修1第一章第二节太阳对地球的影响为例,浅析培养学生的自主学习能力,有效的提高高中地理教师的教学效率。

关键字:高中地理;自主学习能力;教学效率

一、培养自主学习能力的重要性

在人教版高一地理必修1的教材中,第一章第二节太阳对地球的影响,不仅与我们的生活环境息息相关,而且是高中地理教学的重点掌握知识点之一。在教学过程中,教师可以列举生活中随处可见的例子说明太阳对地球的部分影响,便于学生理解。但是,高中地理教学目标要求学生:掌握太阳的活动类型,理解太阳活动的基本规律,熟记太阳活动对地球万物的影响。所以,学生必须要具备自主学习的能力,将书本知识与实际生活结合起来,在自然中发现地理知识和理解地理规律。因此,教师要有目的性的引导学生进行自主学习,从而提高高中地理的课堂教学效率。

二、提高地理教学效率的途径

(一)自主学习,吃透基础知识

在高中地理教学过程中,教师在课堂上都会将基础知识一一阐释。如果毫无自主学习意识的学生,没有进行课前预习,针对教师的授课内容可能不知所云,更不必谈理解与掌握;有自主学习意识的学生,可能会在课前将课本看一遍,那么在课堂上就会对相关基础知识点加深记忆。但是学生如果要吃透基础知识,就需要在课下进行自主学习。

[案例1]下列有关太阳对地球万物的影响判断正确的是()

[if !supportLists]A. [endif]太阳影响地球上大气环流的形成。

[if !supportLists]B. [endif]太阳干扰地球上无线电的长波通信。

[if !supportLists]C. [endif]太阳影响地球上石油、天然气和煤炭等燃料的形成。

[if !supportLists]D. [endif]太阳活动在地球上产生磁暴、极光等现象。

[分析]这道题是考察学生对太阳对地球影响的基础内容,学生需要通过自主学习巩固知识。太阳活动会导致大气层扰动,但是不会影响地球上大气环流的形成,故A说法错误;太阳只会扰动电离层无限短波的正常通信,不会干扰无线电的长波通信,故B表述错误;石油和煤等作为矿物燃料,经过地质历史的长期积累而形成。因此石油、天然气和煤炭等燃料的形成与太阳能无关,C表达有误;带电粒子从太阳大气里抛出,在地球上扰乱磁场的现象叫磁暴;带电粒子进入地球两级,与两极的稀薄空气碰撞形成极光,故答案选D。

(二)自主学习,理解重点难点

高中地理教材内容较多,教师可以在培养学生自主学习能力的时候,启发学生自主理解并归纳每一小节的重点和难点。将繁杂的知识点浓缩到几条重点难点里,不仅便于学生课下理解和记忆,而且有效的提高了学生的学习效率和教师的课堂教学效率。太阳活动对地球的影响的重点内容主要有两点:太阳辐射对地球的影响,太阳活动对地球的影响。太阳活动对地球的影响是太阳活动对地球影响的难点。

[案例2]在下列叙述中,有关太阳辐射表述正确的是()

[if !supportLists]A. [endif]纬度不同的地面获得的热量不同,太阳辐射的纬度差异导致。

[if !supportLists]B. [endif]耀斑爆发和黑子是太阳辐射的能量来源。

[if !supportLists]C. [endif]人类日常生活和生产的唯一能源来自太阳辐射的能量。

[if !supportLists]D.    [endif]促进大气、水、生物活动以及变化和能够维持地表温度的主要动力,都来源于太阳辐射的能量。

[分析]这道题目需要学生理解太阳对地球的影响的重点和难点。太阳辐射是地球能量的主要来源,导致不同维度的地面获得不同的热量,所以A正确;耀斑和黑子是太阳活动引起的自然现象,不是太阳辐射的能量来源,故B说法错误;人类生产生活并不仅仅来源于太阳辐射,所以C表述错误;太阳辐射维持地表温度,促进大气和水以及生物活动和变化,所以D正确。因此正确答案是A、D。

(三)自主学习,掌握对比分析

虽然高中地理知识分布没有规律,但是教师可以引导学生在自主学习过程中掌握对比分析方法,让高中地理学习有规律可循。对比分析不仅让学生在自主学习过程中重温已学的地理知识和接受刚学的新知识,而且通过新旧知识的对比学习能够加深学生对这两个方面的知识的理解与记忆,让学生觉的地理学习轻松高效,趣味横生。

 [案例3]太阳辐射对世界一些地区的等干燥度的经纬线分布如图1所示,干燥度是可蒸发量和降水量的比值。那么图示地区,开发新能源潜力巨大的是()

[if !supportLists]A. [endif]太阳能

[if !supportLists]B. [endif]核能

[if !supportLists]C. [endif]水能

[if !supportLists]D. [endif]石油等矿产资源

[if !vml]

[endif]

图1

[分析]看到图1的经纬线,学生很难找到突破点。但是,通过对比赤道的纬度是O°,图示地区维度在5°到15°,说明该地区离赤道很近。根据太阳对地球上赤道的辐射能量较大可以得到:该地区太阳辐射大。所以通过对比分析,答案选A。

三、总结

本文以人教版高一地理必修1第一章第二节太阳对地球的影响为例,从以下三个方面浅析培养学生的自主学习能力,有效的提高高中地理教师的教学效率:第一个方面,自主学习,吃透基础知识;第二个方面,自主学习,理解重点难点;第三个方面,自主学习,掌握对比分析。

参考文献:

[1]李志强.高中地理教学中学生创新思维能力的培养[J].考试周刊,2009(2):180.

[2]杨宗军.高中地理教学中如何培养学生的研究能力[J].新课程研究:基础教育, 2010(3):163-164.

[3]栾春波.新课程理念下高中地理有效教学策略研究[J].成功:教育,2011,8:183-184.


                                             培养理解能力 提升教学效率

--以苏教版七年级数学下册第七章第2节探索平行线的性质为例

摘要:初中数学是连接小学数学知识与高中数学知识的桥梁。初中数学教学相对于小学数学教学而言,虽然任务加重且难度增加,但是学生具有一定的理解能力之后能够很快跟上教师的初中数学教学节奏。同样的道理,初中数学教学相对于高中数学教学而言,知识点虽然相对浅显易懂,但是仍然需要学生具有良好的理解能力来分析知识点和题目,从而提高学生的学习效率。因此,本文以苏教版七年级数学下册第七章第2节探索平行线的性质为例,浅谈培养学生的阅读理解能力,提升教师的数学教学效率。

关键字:初中数学;理解能力;数学教学

一、培养理解能力的重要性

在苏教版七年级数学下册的数学教材中,第七章第二节探索平行线的性质,是贯穿整个初中平面解析几何教学中最为重要的其中一个知识点。七年级数学下册教材中平行线的性质有三条:如果已知两条直线平行,那么可以判定这两条平行线之间的同位角相等;如果已知两条直线平行,那么可以判定这两条平行线之间的内错角相等;如果已知两条直线平行,那么可以判定这两条平行线之间的同旁内角相等。这三条性质浅显易懂,学生能够很快记住。但是,在初中数学考察过程中,与平行线的性质相关的内容往往和其他的数学知识点交叉考察。因此,学生必须要想有一定得阅读理解能力基本功,才能够及时发现考题立足的知识点,才能高效的应用初中数学知识。所以,教师在初中数学教学中,要着重培养学生的数学阅读理解能力,这样才能大大提高教师的教学效率。

二、提升数学教学效率的方法

(一)培养理解能力,充分理解基础知识概念

针对数学教学,从小学至初中甚至到高中,无论是语文还是数学,任何学科都是以理解基础知识概念为前提展开教学。打个比方,如果工人在建筑房子时没有夯好足够牢实的地基,那么一栋楼房就算能够在短时间内盖的漂亮又豪华,过段时间也会坍塌。换句话说,如果学生在学习基础知识时,没有培养较好的阅读理解能力,就无法充分理解基础知识概念,就无法在在数学学习过程中达到理想的学习状态。所以,教师在进行数学教学过程中,一定要着重培养学生的理解能力,让学生充分理解基础知识点概念。

[案例1] 如图1,已知AB∥CD,CE平分∠ACD交AB于E,∠A=130°,那么∠1=?

[if !vml]

[endif]

图1

解:∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠ECD,∵AB∥CD,∴∠1=∠ECD,∴∠1=∠ACE,∵在△ACE中,∠1+∠A+∠ACE =180°,∴∠1=180°-∠A-∠ACE,

    ∴∠1+∠ACE=180°-∠A,

    ∴2∠1

=180°-∠A,

∵∠A=130°,

∴∠1=25°。

[分析]通过分析,可以以得出四点理解题目的过程。第一点,学生根据理解题目中“AB∥CD”这个条件,应该马上得到平行线的三条性质,可以得到∠1=∠ECD;第二点,通过理解题目中“CE平分∠ACD交AB于”这个条件,学生不难得到∠ACE=∠ECD,因此可以推出∠1=∠ACE;第三点,根据理解题目中图1,学生可以得到“在△ACE中,∠1+∠A+∠ACE =180°”;第四点,根据理解题目中“∠A=130°”这个条件以及前面第二点∠1=∠ACE和第三点∠1+∠A+∠ACE =180°,学生可以得到∠1=25°。

(二)培养理解能力,掌握经典例题解题步骤

在初中数学课堂教学中,教师通常将例题与教材中的理论穿插讲解。一方面通过例题讲解增加教师与学生的交流,活跃课堂氛围;另一方面,通过例题讲解,教师能够帮助学生拥有更强的理解能力,更加牢固的掌握经典例题解题步骤。经典例题的讲解不仅能够加深学生对知识点的掌握理解程度,而且有助于学生及时的熟练的课堂新知识的经典应用。所以,在课堂教学中,教师通过例题讲解能够培养学生的理解能力,有助于学生掌握经典例题解题步骤。

 [案例2] 如图2,已知AB∥CD,直线EF交AB于点E,直线EF交CD于点F,EG平分∠BEF,交CD于点G,∠1=50°,则∠2等于多少?

[if !vml]

[endif]

图2

解:∵AB∥CD,∴∠BEF+∠1=180°,∵∠1=50°,∴∠BEF=130°,∵EG平分∠BEF,∴∠BEG=∠BEF/2=65°,∴∠2=∠BEG=65°。

[分析]通过理解题目,可以得到如下解体步骤:第一步,根据AB∥CD得到∠2=∠BEG,可以将问题中求∠2转化为求∠BEG;第二步,根据EG平分∠BEF得到∠BEG=∠BEF/2,可以将问题中求∠2转化为求∠BEF;第三步,根据∠1=50°且∠BEF+∠1=180得到∠BEF=130,因此可以得到∠2=∠BEG=∠BEF/2=65°。学生如果有一定的理解能力,结合图2并分析理解题意即可快速解出题目。

(三)培养理解能力,掌握易错题解题技巧

老师在进行初中数学教学时,不难发现这样一种现象:很多学生会在同一种题型上甚至是同一个题目上犯同样的解题错误。这个问题困扰着很多教师和学生,这不是学生没有学习或者没有听讲而导致的问题,而是学生没有扎实的理解基本的知识概念,掌握一些易错题的解题技巧。所以,这就需要教师培养学生的理解能力,掌握易错题解题技巧。

[案例3] 如图,已知OE是∠AOB的平分线,CD∥OB,∠ACD=40°,则∠CDE的度数为(  )

A.160°B.150°C.140°D.130°

[if !vml]

[endif]

图3

解:∵CD∥OB,

∴∠AOB=∠ACD=40°.

∵OE是∠AOB的平分线,

∴∠BOD=∠AOB/2,

∴∠BOD=20°,∵CD∥OB,∴∠CDO=∠BOD=20°,∵根据平角的概念,

∴∠CDE=180°-20°=160°.

故选A。

 [分析] 虽然答案是A,但是有不少学生会错选C。很多学生看到CD∥OB这个条件,没有分清内错角和同位角,就会乱用平行线的性质,错误的得到结论:认为∠ACD=∠CD0;当学生看到∠ACD=40°,错误的得到题目答案∠CDE=180°-40°=140°。也就是说,如果学生好好理解平行线性质,就能区分内错角和同位角,就不会犯这类错误。所以,教师在进行这类题目讲解时,一定要注重学生的理解能力,掌握易错题解题技巧。

三、总结

初中数学课堂的教学倡导素质教育,不仅要在培养学生逻辑思维能力,而且还要培养学生的理解能力。本文以苏教版七年级数学下册第七章第2节探索平行线的性质反映出初中数学教学所必须从以下三点来培养学生的培养理解能力,提升教师的教学效率:培养理解能力,充分理解基础知识概念;培养理解能力,掌握经典例题解题步骤;培养理解能力,掌握易错题解题技巧。

参考文献:

[1]张伯法.初中数学高效课堂探究[J].学周刊,2017(24):29-30.

[2]李丽娟.浅谈如何提高初中数学教学课堂效率[J].教育艺术,2010:57.

[3]张海青.初中数学搞笑课堂教学方法探讨[J].教法研究,2012:179-180.

 

                                                理解基础概念 提高教学质量

                              --以人教版高一物理必修1第四章第1节牛顿第一定律为例

摘要:相对于初中物理教学,高中物理教学内容繁多,并且难度大幅度增加。如果学生对基础知识没有理解透彻,那么在实际应用时,学生往往在解决简单问题时都倍感吃力,更不用说高中物理学中的重难点问题。因此,本文以人教版高一物理必修1教材中第四章第1节牛顿第一定律为例,浅析培养学生理解基础概念的能力,提高高中物理教师的教学质量。

关键字:高中物理;理解能力;教学质量

一、理解基础概念的重要性

在人教版高一物理必修1的教材中,第四章第1节牛顿第一定律,是贯穿整个高中物理力学教学中最为重要的知识点之一。高一物理必修1的教材中,牛顿第一定律又叫惯性定律,这个基础概念定义为:所有的物体总是维持匀速直线运动或者静止状态,直到有外力迫使它改变这种状态。这个基础概念看似浅显易懂,学生能够快速记住。但是,在高中物理考察过程中,与牛顿第一定律相关的考点往往和其他的物理知识点混合考察。所以,学生必须明确理解基础概念的重要性,将基础知识理解透彻,才能高效的掌握高中物理知识点。因此,教师在高中物理教学中,要着重培养学生理解基础概念的能力,这样才能大大的提高教学质量。

二、提升数学质量的方法

(一)理解基础概念,掌握物理意义

在物理学教材中,物理意义能够更加清楚的传递物理概念要表达的意思。教师应该立足牛顿第一定律的概念,加深学生对其基础概念的理解,使学生掌握其物理意义。牛顿第一定律定律的物理意义是:反映了一切物体在不受外力或者所受外力合力为零时的运动规律,指出了力不是所有物体维持运动的原因,而是所有物体运动状态改变的原因,说明了一切物体都具有的性质,保持匀速直线运动或静止状态,即惯性。

[案例1] 如图1所示,将一个规则的长方体木块垂直的放在底板光滑的两轮小车上,且长方体木块随小车一起沿平面水平向右作匀速直线运动,当小车突然遇到障碍物而急停时,小车上的长方体木块将()

A.马上静止,停止运动

B.

马上向前翻倒

C.

马上向后翻倒   

D.

保持匀速向前运动

[if !vml]

[endif]

图1

[分析]通过基本的受力分析,可以得到长方体的受力情况:只受重力和小车对它的支持力,合外力为0;小车的受力情况:长方体木块的压力,小车对长方体木块的支持里,本身的重力,地板对其的支持力,合外力也为0。根据题设,已知小车急停前长方体木块随小车一起作匀速直线运动。当小车急停时,根据一切物体都有保持原来运动状态的性质来分析得到木块的运动状态:木块由于惯性,还会保持原来大小不变的速度向前运动。所以答案选D。

(二)理解基础概念,掌握重点难点

高中物理知识虽然分布没有规律,但是教师可以帮助学生在理解基础概念的基础上,培养学生自主整理归纳并掌握重难点的能力,使学生学习起来有规律可循。牛顿第一定律中的重点是掌握力和物体的运动无关,力只与物体运动状态的改变有关,难点是理解惯性。

[案例2]关于力和运动的关系,下列说法正确的是( )

A.物体受力才会运动

B.力使物体的运动状态发生改变

C.停止用力,运动的物体就会停止

D.力是使物体保持静止或匀速直线运动状态的原因

分析:由牛顿第一定律可知,力的作用不是使物体产生运动,而是使物体改变运动状态。物体如果原来的状态是运动的,不受力仍将永远运动下去,即物体的运动不需要力来维持,因此A、C是错误的。物体保持静止或匀速直线运动状态,是物体不受力时的运动规律,并不是力作用的结果,因此D是错误的,所以答案选B。

 [案例3] 关于物体的惯性,下列说法中正确的是( )

       A.物体在静止时的惯性比运动时的大

     B.物体的惯性随着速度的增大而增大

     C.物体受到的力越大,它的惯性也越大

     D.物体的惯性大小跟它的运动状态、受力情况都没有关系

[分析]物体的惯性只与物体本身质量有关,与其他因素无关,如温度、物态、位置、速度,所以B错误;一切物体都具有惯性,物体不论在什么情况下(是否受力,运动状态如何,处于什么环境),总是具有惯性,惯性是物体固有的属性,是不能被克服的,所以A,C错误,答案选D。

(三)理解基础概念,掌握解题技巧

高中物理知识时常混合起来考察学生,对基础概念的理解程度不够深使学生在应对变化时束手无策。因此,教师应该在进行物理教学时,加大学生对基础概念理解的教学量,培养学生理解基础概念的能力,掌握一定的解题技巧。

[案例4]按照交通部规定,我国载货车辆严禁超载,车辆的轮胎对地面的压强应控制在7×105Pa以内。检查人员在大广高速路口对一辆6轮汽车进行抽查,测得其实际总质量为10t,若每个车轮与水平地面的接触面积为2×10-2m2。根据牛顿第一定律,完成下列两个小题(g取10N/Kg):(1)通过计算说明该车对地面的压强P是否超过规定?(2)运用所学的物理知识,写出两条超载的危害。

解:(1)10t=104Kg,

     F=mg=105N,S=2×10-2m2,

由P=F/S得P=5×106Pa,

P>7×105Pa,所以该车对地面的压强P超过规定。

(2)根据牛顿第一定律:超载时,因为汽车质量过大,所以惯性过大,刹车时汽车不容易及时停下来,易发生交通事故;超载时,因为汽车对路面的压力过大,所以压强过大易损坏路面。

[分析]这个应用题考察了力与运动的知识,学生需要掌握压强公式及牛顿第一定律。并且要求学生要对牛顿第一定律中惯性的基础概念理解透彻才能解答问题(2):首先,质量是物体惯性大小的量度;其次,同样的外力作用下,质量大的物体惯性大,运动状态难改变;质量小的物体惯性小,运动状态容易改变。

三、总结

本文以人教版高一物理必修1教材中第四章第1节牛顿第一定律为例,从以下三点浅析培养学生理解基础概念的能力,提高高中物理教师的教学质量:理解基础概念,掌握物理意义;理解基础概念,掌握重点难点;理解基础概念,掌握解题技巧。

参考文献:

[1] 邵士超.浅谈高中物理人教版教材中的参考案例 [J].试题与研究:教学论坛,2012(8):91.

[2] 达江云.浅析高中物理教材特点及教学策略 [J]. 新教育时代电子杂志:教师版,2014(17).

[3] 周栋梁,时春华.基于主题核心概念的高中物理教材重构实践与思考——以人教版必修1“运动的描述”为例[J].物理教师,2016,37(11):6-11.

 

                                                探索初中数学课堂的教学导向

--以人教版八年级数学上册第十四章第三节因式分解为例

摘要:初中数学是教学是衔接小学数学与高中数学的纽带,既要以小学数学知识为基础进行教学,又要为高中数学学习打好地基。然而,教师需要把握课堂关键的几十分钟,要在完成教学目标的同时,帮助学生将各个章节的重难点都理解透彻和掌握牢固,教学导向发挥的作用十分关键。本文以八年级数学上册第十四章第三节因式分解为例,探索初中数学课堂的教学导向。

关键字:初中数学;课堂教学;导向

一、因式分解

在人教版八年级数学上册教材里,第十四章整式的乘法与因式分解中第三节因式分解的实质是一个恒等变式,也是中学数学教学中最重要的知识点之一。教材中因式分解的定义是:把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。虽然因式分解的应用没有一种普遍适用的方法,但是人教版八年级数学上册教材中主要介绍了三种解题方法:运用公式法、提公因式法、分组分解法,而这三类方法基本上可以解决有关因式分解的各类基本题型。当然,还有十字相乘法、待定系数法、换元法等多种教材中没有提及到的因式分解方法,这就需要教师根据学生的基础掌握情况对学生有针对性的进行引导教学。

二、初中数学课堂教学导向

(一)立足基础知识,充分理解概念

无论是小学教学还是初中教学,甚至是高中教学,任何学科的课堂教育都是以基础知识为主线展开教学。没有一个夯实的地基,楼房就无法盖好。同样的道理,如果学生没有扎实的基础,那么在学习过程中就无法达到理想的学习目标。因此,在初中数学教学中,教师在进行任何章节甚至某个小节的教学时,一定要立足基础知识点,帮助学生充分理解基础知识点的概念。

[案例1]将-3a3+4a2+a分解因式。

解:-3a3+4a2+a

=a(-3a2+4a +1)

[分析]该例题用提公因式法进行因式分解,也就是说如果多项式的各项含有公因式,那么先提取这个公因式,再进一步分解因式。当然,这个题目还有另外一种写法也是对的。-3a3+4a2+a=-a(3a2-4a+1)。所以,在进行因式分解时,结果的首相可以为正也可以为负。换一种说法,因式分解的最后结果中多项式首相的系数不一定为正。但是为了解题方便,我们在因式分解中,如果首相为负,通常先将负号提出来。

[案例2]把-x2-y2+2xy+4分解因式。

解:x2-y2+2xy+4

=-(x2-2xy+y2-4

=-[( x-y)2-4]

=-(x-y+2)(x-y-2)

[分析]这个基础例题用到了因式分解中的公式法,这需要学生充分解因式分解的基本概念,并牢固掌握基础公式:平方差公式a2-b2=(a+b)·(a-b)和完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2。这里需要注意是,教师在进行课堂教学时,一定要让学生吃透因式分解的概念。比如这个案例中有些学生因式分解的结果是:x2-y2+2xy+4=-[( x-y)2-4],这就是没有吃透因式分解的概念导致的分解不充分。

[案例3]分解因式:2x2+4xy+4x+8y

解:2x2+4xy+4x+8y

=2x2+4x+4xy+8y

=2x(x+2)+4y(x+2)

=(x+2)(2x+4y)

=2(x+2)(x+2y)

[分析]此种因式分解的题型需要使用因式分解中的分组分解法,也就是利用分组来分解因式。而这个案例又是分组分解的典型应用,不仅需要对因式进行分组分解,而且还要进行连续提取公因式。所以,这就需要学生牢记分组分解的两种原则:分组后直接运用公式法,分组后连续提取公因式法。

(二)善用经典例题,剖析解题步骤

初中数学的课堂教学离不开例题讲解,例题能够帮助学生更好的理解和运用理论知识。经典例题不仅能够加深学生对知识点的掌握程度,而且有助于学生快速熟练的应用课堂新知识。因此,在初中数学课堂教学中,教师善用经典例题,剖析解题步骤,将大大提高课堂教学效率。

[案例4] 已知一个方程满足x2+2x+1=0,试用因式分解得到方程的根。

解:∵x2+2x+1=0  

    ∴x2+x+x+1=0

    ∴x(x+1)+x+1=0

    ∴x(x+1)+(x+1)=0

    ∴(x+1)(x+1)=0

    ∴方程的根为x=-1。

[分析]这是一个用因式分解来解方程的典型例题,但是如果学生不明确解题步骤,就无法着手于解题。因此,在数学课堂教学中,教师必须明确教学目的。教师可以在课堂教学中引导学生剖析解题步骤。首先,观察方程左边的多项式结构,如果多项式各项有公因式就先提公因式,如果没有公因式可尝试运用公式法来进行因式分解;其次,若上述方法不行,就适当添项或减项来构造公因式;最后,进行因式分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

(三)充分利用错题,掌握解题技巧

初中数学老师在批改课后练习或者试卷时,不难发现,很多学生总是会在同一种题型上犯同样的解题错误。这个问题困扰着很多教师和学生,因为这个现象不是因为学生没有认真听讲好好练习,而是没有深入理解基本的知识概念,掌握一些解题技巧。这就需要教师引导学生充分利用错题,集中讲解错题,分析错因,帮助学生掌握解题技巧。

[案例5] 下列分解因式3b3-4b2+b正确的是()

A.3b3-4b2+b=b(3b2-4b+b)

B.3b3-4b2+b=b(3b2-4b)

C.3b3-4b2+b=b(3b2+4b+1)

D.3b3-4b2+b=b(3b2-4b+1)

[分析] 答案是D,但是有不少学生会错选B。教师在进行分析的过程中,不难发现学生反复出错的错因:在进行公因式提取的过程中,学生漏掉了多项式中的1。这就需要教师给学生进行针对性训练,并且在课堂上通过讲解错题强调:在进行因式分解中,多项式的某个整项是公因式时,提出这个公因式后,千万不能漏掉括号里的1。

[案例6] 分解因式x4-y4

解:x4-y4

       =(x2) 2-(y2)2

=(x2+y2)(x2-y2)

[分析]以上案例就是学生经常出现的做题结果,很明显这个因式分解的结果是错误的。虽然这种题型简单基础又常见,但是学生却总是在联系或者考试中出现这种错误。正确结果应该是x4-y4 =(x2+y2)(x+y)(x-y)。学生反复出现这种错误的原因是没有充分的分解多项式,也就是没有充分理解因式分解的基本概念。事实上,把一个多项式化为几个整式的积的形式是因式分解的基本内容。这个概念虽然浅显易懂,却包含四各方面的意思:第一个方面,必须明确这是一种有关多项式分解因式的恒等变形,必须满足方程或者等式打的左边是多项式;第二个方面,必须要保证以乘积的形式代表分解因式最终的结果;第三个方面,必须保证每个因式的次数比原来因式中多项式的次数小;第四个方面,各个因式中的多项式的都分解到不能再分解了,因式分解的解题过程才算结束。

三、总结

在倡导素质教育的当下,应试教育也必须兼并。因此,初中数学课堂的教学导向很重要。初中数学教学不仅要在培养学生逻辑思维能力的同时,而且还要培养学生的解题能力和学习能力。人教版八年级数学上册第十四章第三节因式分解的教学内容虽然不多,但是却能反映出初中数学教学所必须拥有的三点教学导向:

第一,“立足基础知识,充分理解概念”的教学导向,有利于帮助学生高效吸收教师在课堂上所教授的新知识点,更加透彻的理解教材上所有知识的重点和难点;第二,“善用经典例题,剖析解题步骤”的教学导向,有助于学生及时巩固课堂所学知识,并且可以帮助学生理清解题思路,,明确解题步骤;第三,“充分利用错题,掌握解题技巧”的教学导向,有望于消除学生总是在同一种题型上出现同样的错误的现象,帮助学生对高中数学知识点理解的更加透彻,掌握的更加牢固。

 

参考文献:

[1]张伯法.初中数学高效课堂探究[J].学周刊,2017(24):29-30.

[2]李丽娟.浅谈如何提高初中数学教学课堂效率[J].教育艺术,2010:57.

[3]张海青.初中数学搞笑课堂教学方法探讨[J].教法研究,2012:179-180.


中学数学课堂教学有效方法探讨研究(高中数学人教版)

-以人教版高一数学必修2第三章第二节直线的方程为例

摘  要:高中数学教学既要保证素质教学,又要兼顾应试教育。所以,学教师在进行数学教学时不仅要拓宽学生们的视野,同时又要加大数学教学内容的深度。教师们在教学过程中尽心尽力,学生们的学习状态却总是不尽人意。因此,中学数学课堂有效方法显得十分重要。本文以人教版高一数学必修2第三章第二节直线的方程的教学内容为例,浅谈中学数学教学有效方法探讨研究。

关键词:高中数学;课堂教学;有效方法

一、高中数学直线的方程的教学内容

在人教版高一数学必修2中,第三章第二节直线的方程里,将直线的方程的表达式总结为五种主要形式。第一种直线方程表达式为一般式:ax+by+c=0,其中a和b不能同时为0;第二种直线方程表达式为点斜式:y-y1=k(x-x1),该表达式表示直线过坐标点(x1, y1)且直线斜率为k;第三种直线方程表达式为截距式:x/c+y/d=1,此表达式指直线与x轴相交得到的截距为c,直线与y轴相交得到的截距为d;第四种直线方程表达式为斜截式:y=kx+b,表示直线的斜率为k且直线与y轴相交得到的截距为b;第五种直线方程表达式为两点式: (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1),其中x1≠x2且y1≠y2,表示直线过两个点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)。

二、中学数学课堂教学有效方法探讨研究

(一)基础知识,逐条掌握

众所周知,高中数学教学与初中数学教学不同,初中数学教学内容少而简单,高中数学教学内容多而复杂。所以,初中数学教学与高中数学课堂教学内容与教学方式都大相径庭。但是,二者的共同之处都是以基础知识为根基展开数学教学。在高中数学教学过程中,教师要在课堂教学时着重培养其理解基础知识的能力,使学生能够条理清晰的将基础知识记忆在脑海里,有利于帮助学生在学习过程中达到逐步逐条掌握各个基础知识的目的。

[案例1]已知一条直线经过点(5,6),直线的倾斜角是45°,求直线的点斜式方程。

解:设直线的点斜式方程为y-y1=k(x-x1),

    ∵直线过点(5,6),

∴将点坐标代入直线的点斜式方程得y-6=k(x-5),

∵直线的倾斜角是45°,

∴直线的斜率为tan45°=1,

∴k=1,

∴直线的点斜式方程为y-6=x-5。

[分析]教师引导学生根据题目所求为直线的点斜式方程,可以确定这道题的考察内容为直线方程中的点斜式表达式这个基础知识点。学生要求出直线的点斜式方程需要知道三条知识点:第一条,熟记直线方程的点斜式表达式;第二条,已经直线上一点的坐标;第三条,已经直线的斜率。这样,学生再将这三条知识点代入到题目中寻找到相关信息:根据“已知一条直线经过点(5,6)”得到已知点坐标;根据“直线的倾斜角是45”得到直线斜率。最后,学生再将点坐标和斜率代入所设方程,就可以得到直线的点斜式方程。

(二)经典例题,层层剖析

高中数学理论枯燥而繁杂,教师必须结合典型例题讲解来加深学生对理论知识的理解与应用。虽然经典例题关键解题步骤不多,但是学生在面对不同题型时无法及时体会题目要表达的意思,真正掌握经典例题起来还是有一定的难度。所以,教师在进行高中数学教学时,要结合不用的知识点分别进行例题讲解。并且,教师在讲解经典例题的过程中,要通过层层剖析例题来着重培养学生的逻辑思维能力。

[案例2]已知直线L1的表达式为:ax+(1-a)y=3,直线L2的表达式为:(a-1)x+(2a+3)y=2,且直线L1与直线L2相互垂直,求a的值.

解:∵直线L1与直线L2相互垂直,

∴直线L1与直线L2的斜率的积为-1,

∵直线L1的表达式为:ax+(1-a)y=3,

∴直线L1的斜率为k1=-a/(1-a),

∵直线L2的表达式为:(a-1)x+(2a+3)y=2,

∴直线L2的斜率为k2=-(a-1)/(2a+3),

∴k1k2=-1,

∴将k1和k2的表达式带入上式得a=-3。

[分析]根据剖析题目,可以得到以下三层信息:第一层,根据“直线L1的表达式为:ax+(1-a)y=3”以及“直线L2的表达式为:(a-1)x+(2a+3)y=2”可以得到这个题目考察的是直线方程的一般式表达式;第二层,根据直线的一般式可以分别得到直线L1的斜率为k1=-a/(1-a),直线L2的斜率为k2=-(a-1)/(2a+3);第三层,根据“直线L1与直线L2相互垂直”可以得到直线L1与直线L2的斜率的积为-1,即k1k2=a/(1-a) (a-1)/(2a+3)=-1,这样就可以可以求出a的值,从而得到问题的答案。教师通过这样讲解和剖析经典例题,可以引导学生主动思考解题思路和掌握解题步骤。

[案例3]已知直线通过点(-1,1),且已知直线的斜率大于0,直线与两坐标轴围成2个单位面积的三角形,请求此直线的方程。

解:∵已知直线通过点(-1,1),

∴设直线方程为y-1=k(x+1),

∵已知直线的斜率大于0,

∴直线过第一象限、第二象限和第三象限,

∴直线与x轴和y轴的交点分别为(-1/k-1,0)和(0,k+1),

∵直线与两坐标轴围成1个单位面积的三角形,

    ∴由三角形面积公式得(k+1)( 1/k+1)/2=2,

    ∴k=1,

    ∴直线的方程为y=x+2。

 [分析]首先,教师通过引导学生理解题目信息,已知直线上一点的坐标和斜率大于0,可以确定这个题目选择直线的方程表达式中的点斜式最为恰当,也就是将题目中的求直线方程的表达式转化为求直线的斜率;其次,根据已知信息列出含有未知数的点斜式,设x=0得出直线与y轴的交点坐标,设y=0得出直线与x轴的交点坐标;最后,根据直线与坐标轴围城的三角形的面积为2,可以由三角形的面积公式列出方程求解斜率,这样直线方程的表达式也可以直接写出来。

教师通过这样讲解经典例题,层层剖析解题步骤,这样不仅可以帮助学生及时温故课堂知识,而且有利于学生快速掌握解题技巧。

(三)适用范围,总结归纳

高中数学知识点虽然繁多且分布杂乱无章,但是只要认真总结归纳,每个内容都有各自的规律可以遵循。初中数学教学过程中,教师都会将自己总结归纳的规律直接给学生记忆。但是高中数学教学不一样,高中数学教学以教材为标准,却不局限于教材。因此,这就需要教师引导学生不仅能自己将几本厚厚的教材中的所有知识点总结归类,还需要找出每个知识点的规律,找到每个内容中每条知识点的适用范围。

 [案例4]在△ABC中,已知点A(5,-2)、B(7,3),且边AC的中点M在y轴上,边BC的中点N在x轴上,求直线MN的方程。

解:设C坐标为(a,b),

∵A的坐标为(5,-2),且边AC的中点M在y轴上,

∴(5+a)/2=0,

∴a=-5,

∵B的坐标为(7,3),且边BC的中点N在x轴上,

∴(3+b)/2=0,

∴C的坐标为(-5,-3),

∴M的坐标为(0,-5/2),N的坐标为(1,0),

∴根据直线方程的两点式可得:(y-0)/( -5/2-0)= (x-1)/( 0-1),

∴直线MN的方程为5x-2y-5=0。

[分析]这个例题是考察的是典型的直线的方程表达式中的两点式,但是学生必须在熟知直线方程的五种表达式,总结归纳出其适用范围之后才能快速着手解题:第一,直线方程的一般表达式适用于所有的直线;第二,直线方程的点斜式表达式适用于直线上某一点的坐标和斜率已知的情况;第三,直线方程的截距式适用于已知于直线与x轴相交得到的截距值和直线与y轴相交得到的截距值;第四,斜截式适用于已知斜率和直线与y轴相交得到的截距值;第五,两点式适用于已知直线上的两点坐标的情况。

三、总结

通过探讨研究人教版高一数学必修2第三章第二节直线的方程的教学,我们得到三条中学数学教学有效方法:第一条,“基础知识,逐条掌握”的教学方法,有助于学生高效吸收课堂知识;第二条,“经典例题,层层剖析”

的教学方法,有利于学生牢固掌握解题步骤;第三,“适用范围,总结归纳”的教学方法,有助于提高学生的学习效率。

参考文献:

[1]朱家明.新课程理念下高中数学课堂教学探讨[J].中学数学教学参考,2015(8):8-10.

[2]杨勇.高中数学课堂教学设计探讨[J]. 数学学习与研究,2012(23):76.

[3]李连实. 关于提高高中数学课堂教学有效性的策略探讨[J].数学学习与研究,2011(9):18.


浅谈高中数学课堂上启发性数学方法的应用

-以人教版第四章第二节直线与圆的位置关系为例

一.引言

高中数学教学相对于初中数学教学而言,无论是教学内容还是教学广度和教学深度都明显增加。知识点多而分散是高中数学教材的一大特点,因此高中学生学习高中数学知识有一定难度,教师的教学之路任重道远。虽然教师授课时间有限,但是可以带领学生找到数学学习的规律,理解记忆,整理分类,总结归纳。这样不仅可以提高学生的逻辑思维能力,而且可以让学生将各个学习过程中所学知识串联起来,形成完整的知识体系。本文以人教版高一数学必修2教材中第四章第二节直线与圆的位置关系为例,探索初中数学课堂的教学导向。

二、高中数学直线与圆的位置关系

通过计算直线与圆的交点,我们可以将直线与圆的位置关系总结为:如果一条直线与一个圆有两个交点,那么我们认为这条直线与这个圆相交;如果一条直线与一个圆有且只有一个交点,那么我们认为这条直线与这个圆相切;如果一条直线与一个圆没有任何交点,那么我们认为这条直线与这个圆相离。需要补充的是:在直线与圆相交时,通常将这条直线叫做这个圆的割线;在直线与圆相切时,通常称这条直线为这个圆的切线,直线与圆的公共点叫切点。

三、高中数学直线与圆的位置关系的教学启发

(一)明确目标,理清重难点

教师在进行每个章节的数学知识教学时,要明确教学目标,为学生理清重点和难点。就直线与圆的位置关系这一小节而言,教学目标是让学生能够概括其定义,并且会使用定义来判断和应用直线与圆的位置关系;教学重点是帮助学生理解并掌握直线与圆的相切、相离、相交三种位置关系;教学难点是引导学生运用并掌握直线与圆的判定方法。在明确教学目标和理清重难点之后,有助于教师通过讲解具体的案例,培养学生认知和理解直线与圆的三种位置关系的能力;有助于教师通过将点与圆的位置关系与直线与圆的位置关系进行对比讲解,加深学生对直线与圆的位置关系的数量关系的理解。

(二)讲练结合,应用新知识

数学教学的展开离不开例题讲解,学生结合课堂练习与教师讲解,能够及时运用和消化新知识,巩固已经学过的知识。这个阶段需要发挥教师的主导作用,充分发挥课堂教学的激励和调控功能。但是,教师在进行讲练结合的时候也应该注意,应该层层递进,慢慢加深学生对新知识的理解。

[if !vml][endif][案例1]如图1, △ABC中斜边BC=10cm,直角边AC=6cm。那么试判断:以A为圆心,半径分别为2cm、4cm的两个圆与直线BC有怎样的位置关系?以A为圆心的圆半径r多长时,才能判定直线BC与⊙A相切?以A为圆心的圆半径r多长时,才能判定直线BC与⊙A相交?



 

图1

由题意可得:

  ∵△ABC中斜边BC=10cm,直角边AC=6cm,

∴由勾股定理得AB=10cm,

∴BC边上的高为4.8cm,

∵4.8cm>4cm>2cm,

∴以A为圆心,半径分别为2cm、4cm的两个圆与直线BC相离,

∴以A为圆心的圆半径r为4.8cm时,才能判定直线BC与⊙A相切,

∴以A为圆心的圆半径r大于4.8cm时,才能判定直线BC与⊙A相切。

[分析]该例题看起来简单容易,只需将直角三角形斜边上的高计算出来,问题就迎刃而解。但是,无论任何学科,基础知识是关键。实际上,这个题目将圆与直线的位置关系的定义与判定都囊括其中。然而,越是简单基础的问题,学生在练习时就越容易出错。所以,教师在进行例题讲解时需要重视这类基础例题,学生在进行课堂练习或完成课下习题的过程中也不能松懈基础训练。因此,教师在课上讲解这类简单例题时,一方面很容易被学生接受,快速结合课堂知识进行练习并告诉老师答案;另一方面能够将教学目标与重难点结合起来,通过学生的课堂练习反馈进行进一步教学。

[案例2] 如图2所示,⊙O是直角△ABC的外接圆,∠ABC为直角,已知点P是⊙O,外一点,PA切⊙O于点A,且PA=PB,试证明:直线PB与⊙O相切。

[if !vml]

[endif]

图2

证明:将OB连接,∵OC=OB,AB=BP,∴∠OCB=∠OBC,∠PAB=∠PBA,∵已知直线AP与⊙O相切,∴∠PAB=∠C,∴∠PBA=∠OBC ,∵∠ABC为直角,∴∠OBC+∠OBA=90°,∴∠PBA+∠OBA=90°,

∴∠PBO=为直角,∴直线BP为⊙O的切线。

[分析]这类例题稍微复杂,不仅包含直线与圆的知识,而且需要用到三角形的相关知识,这种知识点的联合考察属于直线与圆的位置关系的典型应用。教师需要首先引导学生认真理解题意,其次再挖掘出题目的隐含条件,最后理清该题的解题思路才能得到答案。这个例题最巧妙的地方在于:必须连接线段OB,结合三角形相关知识,判断直线OB与直线BP垂直,就能判定直线BP为⊙O的切线。这样,学生不仅对新知识加深了理解,而且能够学以致用。

(三)寻找规律,总结归纳

高中数学虽然知识点罗列散乱,但是仍然有规律可循。学生要将众多知识点理解并掌握,离不开总结归纳。然而,高中数学知识也不仅仅局限于书本,学生还应该善于发现和总结各个知识点的规律,这就需要教师在教学过程中引导学生养成自主学习、善于思考总结的好习惯。

[案例3] 如图3,已知直线PB与⊙O相交于点A,割线为直线PAB,并且有以下条件:PA=7cm,AB=5cm,PO=10cm,试求⊙O的半径。

[if !vml]

[endif]

      图3

延长PO交⊙O于点D,∵⊙O的割线为直线PAB

由割线定理知,PA•PB=PC•PD,

∵PC•PD =(PO-CO)(PO+CD),

∴PA•PB =(PO-C,O)(PO+CD),∵PA=7cm,AB=5cm,PO=10cm,CD=2CO

∴将数据代入PA•PB =(PO-CO)(PO+CD),解得CO=4 cm。

∴⊙O的半径为4cm。

[if !vml]

[endif]

[分析]这类题型比较复杂,因为人教版高中数学必修2的教材中没有给出割线定理的具体表达式。但同时,这类题型立足于直线与圆的位置关系的基础之上,以直线与圆相交的性质为出发点,又在考察割线的性质和定理。这需要教师在数学课堂教学中发挥学生的主动学习作用,通过例题练习和讲解,引导学生总结出割线定理,加深学生对割线定理的理解与应用,便于学生在以后涉及割线定理的题型中快速完成解答。

[案例4] 已知直线表达式为Ax+By+C=0,圆的表达式为x2+y2+Dx+Ey+F=0。判定直线与圆的位置关系。

思路一:已知直线表达式为Ax+By+C=0,圆的表达式可以化为(x-a)2+(y-b)2=r2,通过判断圆心(a,b)到直线的距离可以判定直线与远的位置关系。

圆心(a,b)到直线的距离可以表示为:

[if !msEquation][if !vml]

[endif][endif]

思路二:已知直线表达式为Ax+By+C=0,圆的表达式为x2+y2+Dx+Ey+F=0。将这两个方程联立校园后得到一个方程ax2+by2+cx+dy+e=0。

判别式[if !msEquation][if !vml]

[endif][endif]2[if !msEquation][if !vml]

[endif][endif]

 [分析]这个案例考察的就是直线与圆的位置关系的两种判别方法:几何法和代数法。思路一就是几何法,通过比较远的半径与圆心到直线的距离的大小,判定直线与圆的位置关系;思路二就是代数法,结合直线与圆的数学表达式,消元之后得到一个一元二次方程,通过计算这个一元二次方程的判别式与0的关系判断直线与圆的位置关系。这两种方法在人教版高中数学必修2的教材中都有提到过,但是需要教师引导学生进行总结归纳,使学生不至于在面对不同的题型时混淆方法,便于学生对直线与圆的位置关系的判别方法理解的更加扎实和掌握的更加牢固。

四、总结

面对应试教育和素质教育,高中数学教学任务艰巨,学生学习压力巨大。但是,教无定法,教学有法。教师的使命是教学,教授学生知识和帮助学生学习,因此教学方法显得尤为重要。通过人教版高一数学必修2教材中第四章第二节直线与圆的位置关系的教学,针对高中数学教学,我们可以得到三点启发:第一,“明确目标,理清重难点”的教学方式,有助于学生快速吸收课堂知识,高效学习数学知识的重难点;第二,“讲练结合,应用新知识”的教学策略,有助于学生巩固课堂基础知识,并将新知识学以致用;第三,“寻找规律,总结归纳”的引导教学,有助于学生对高中数学知识点理解的更加透彻,掌握的更加牢固。

参考文献:

[1]张伯法.初中数学高效课堂探究[J].学周刊,2017(24):29-30.

[2]李丽娟.浅谈如何提高初中数学教学课堂效率[J].教育艺术,2010:57.

[3]张海青.初中数学搞笑课堂教学方法探讨[J].教法研究,2012:179-180.


高中数学中与平面解析几何教学相关的应用研究

——以苏教版为例

【摘  要】在应试教育的背景下,学生更加明确为了高考升学而学习高中数学的目标,高中平面解析几何在高中数学教学中显得日渐举步维艰。教师和学生必须正视高中平面解析几何教学中存在的问题,可以将问题引入到教学模式及教学思想中,消除学生对平面解析几何的畏难情绪,提高学生对平面解析几何的兴趣,引导学生培养解决平面解析几何问题的逻辑思维,形成适合自己的高效学习方法,以此解决高中平面解析几何教学中存在的问题,提高教师的教学质量和学生的学习效率。

关键词问题引入艺术;高中平面解析几何;苏教版

一、高中平面解析几何教学中存在的问题

(一)高中平面解析几何的内容繁杂使学生产生畏难情绪

高中平面解析几何知识相对于初中平面解析几何知识而言,内容繁杂,题目冗长,深度和广度都有所增加。然而,学生惯性的解题思维短时间内无法改变,看到冗长复杂的平面解析几何题目,难免会产生畏难情绪。初中的平面解析几何只设计简单的直线、三角形和圆的性质以及平面直角坐标系等一系列通俗易懂的知识,但是,高中的平面解析几何不再是单独考某一几何的性质,而往往是将直线的知识点与圆的知识点甚至和直角坐标系的知识点串联起来。例如,在苏教版高一数学必修2教材中,第四章平面解析几何初步,与直线直接相关的知识点就包括:直线与直线的位置关系、直线与方程的联系、直线与倾斜角的关系、直线与圆的位置关系、直线与直角坐标系的联系等。这些知识点分开来看都不难,但是只要将相关知识点糅合起来考察学生,学生就会产生明显畏难情绪。学生往往在看到涉及多个平面解析几何知识糅合在一起的题目时就觉得自己不能胜任该类题目,便不愿意仔细分析题意,甚至放弃将这类所学的相关知识点融合起来运用到解题中,根本提不起学习兴趣,导致高中平面解析几何教学困难重重。

(二)高中平面解析几何的难度增加使学生降低学习兴趣

不可否认,高中数学平面几何知识难度增加。但是,再难的知识点都是由简单基础的知识组成。然而,在授课过程中,数学教师教学的出发点永远是如何快速提高学生的数学成绩,不关注学生的学习兴趣,不在乎学生是否在全神贯注的听讲,一味的讲解枯燥难懂的平面解析几何考试题目。更有甚者,部分教师在课堂上以完成教学任务为目的,不提问题将学生带入课堂,不与学生沟通交流,不以基础知识为根本,使原本冷冰冰的平面解析几何知识显得更加晦涩难懂。

(三)高中平面解析几何教学的错误模式使学生降低学习效率

高中平面解析几何教学中,绝大多数教师为了学生高考取得理想的成绩而授课。为了使学生能够在高考取得好成绩,教师会将教学焦点放在考纲上,将课堂重心放在考纲所占比例大的知识点上,着重教授解题技巧,轻视基础知识。这种教学方式看似直接有效,但实则偏离主题。基础好的学生就算在短时间内学会高难度的解题技巧,但是由于其基础知识理解不够深刻,将在做类似题目时漏洞百出,使其产生畏难情绪,学习状态不理想;基础差的学生就算花费较长时间通过死记硬背记住解题方法,但是由于其基础知识根本没有掌握,再做到相似甚至相同的题目也束手无策,其对平面解析几何的学习信心也被慢慢磨灭,学习兴趣也会降低。这种错误的的教学模式非但无法提高学生的数学成绩,反而降低了学生的学习效率。

二、问题引入艺术视角下的高中平面解析几何教学策略

(一)问题引入,化繁为简

尽管高中平面解析几何知识点繁杂,题型千变万化,但是万变不离其宗:一个晦涩难懂的复杂知识点是由多个简单易懂的基础知识点组成。因此,教师在进行高中平面解析几何教学过程中,可以将问题引入课堂,引导学生由简到难的学习知识,将一个复杂多变的平面解析几何知识分解成多个简单易懂的基础知识点,先逐个理解各个基础知识点,最后再攻破这个复杂的知识点。与此同时,教师在讲解例题时,更要着重培养学生的解题思维:在面对难题时,将一个复杂的问题拆分成多个简单的小问题,逐个解决。

 [案例1] 设a,b∈R,方程满足a2+4ab+4b2+2a+4b-9=0,那么方程表示的图形是什么?

A.两条相交直线                 B.两条平行直线 

C.两条平行直线                  D.两条平行直线

由题意可得:

方程满足a2+4ab+4b2+2a+4b-9=0

∵(a+2b)2+2a+4b-9=0

∴(a+2b)2+2(a+2b)-9=0

∴(a+2b)2+2(a+2b)+1-9=1

∴[(a+2b)+1]2-9=1

∴方程可表示为(a+2b+1)2=10

∵a,b∈R

∴方程表示的图形是两条平行的直线

所以答案选B

[分析]在分析题意过程中:首先,教师应该引导学生仔细观察题目,提取有用信息“方程满足a2+4ab+4b2+2a+4b-9=0,方程表示的图形是什么”;其次,教师应该引入问题,这道题目考的是平面解析几何中什么方面的知识;最后,教师应该引入问题,根据题目所给信息能得出什么有用的内容。在教师将问题引入后,学生就会根据提取信息思考:在所学平面解析几何知识中,这个题目考的是直线或者圆等几何表达式,那么直线和圆等的表达式是什么,这些表达式和方程又有什么联系。最后通过重新组合这个方程的表达式,不难得出,这个表达式就是两条平行的直线。教师通过这种问题引入方式,不仅能够使学生将这个看似与所学平面解析几何知识毫不相关的题目与所学知识点联系起来,而且能够使学生形成一套完整的化繁为简解体思路:将一个复杂问题分解成多个简单问题,然后一步一步将所给信息提取出来,逐个解决多个简单问题。

(二)问题引入,提高兴趣

在高中平面解析几何教学中,学生迫于高考压力,硬着头皮接受教师授课和自主学习知识已经是常态。枯燥无味的平面解析几何课本,苦涩难懂的平面解析几何定义,这些都难以让学生产生学习兴趣。所以,教师可以将问题引入到课堂,在讲授高中平面解析几何知识的时候,可以引导学生回答与此相关的初中几何知识,以及生活中常见的几何知识,将晦涩难懂的几何知识转化为学生熟悉的内容,以此来提高学生的学习兴趣,活跃课堂氛围。

[案例2]求这样一个直线方程:倾斜角是45度,与原点的距离是5。

[分析]教师可以将“倾斜角是45度“这个问题引入到讲解例题时,这其实就是斜率的另外一种表达方法。但是,将陌生的几何问题转为学生熟知的可以接受的几何模型,不但能够提高学生的学习兴趣,而且可以提高学生的课堂凝聚力,提高学生的学习效率,使教师的教学效果事半功倍。

(三)问题引入,立足基础

虽然高中平面解析集几何知识在历年高考得分中普遍不高,但是这并不代表高中平面解析集合知识难度大,教师就可以注重高频得分点,忽略基础教学。相反,教师应该将问题引入到高中平面解析几何教学中,着重培养学生积累基础知识的能力。不难发现,高考知识点分布中,有关平面解析几何的考点仍然有一大部分考察的是学生的基础知识。学生如果基础知识没有打扎实就去每天琢磨高难度题目,不但达不到目的,反而背道而驰。结果就是,学生没有掌握基础知识,难题的解题思路也没有头绪。所以,教师应该将问题引入到学生的教学和练习中,在课堂授课时强调平面解析几何基础知识的重要性,在进行例题讲解时平面解析几何的基础知识更要作为重点内容。学生只有基础知识掌握牢固,攻破难题才成为可能,在平面解析几何学习中才能提高学习效率,最终取得理想的成绩。

例如,在苏教版高中数学教材中,有关圆与直线方程的知识点总是困扰着广大学生。教师在讲解例题时就应该引入问题,这个题目考的是直线与圆的位置关系还是直线与圆的性质。如果是前者,直线与圆的位置关系判定标准是什么?如果是后者,直线与圆的性质分别是什么?教师引入问题时立足基础,学生不但能够响应教师的问题,使课堂氛围活跃,还能够重新温习一遍基础知识,掌握解题思路与方法。这样一来,这些看起来晦涩难懂的平面解析几何问题就转化为基础知识,问题迎刃而解。

三、数学方法例证

在以苏教版高中数学为代表的教材中,为了适应新课标的要求,不同版本的高中数学教材中有关平面解析几何的知识都包含了直线与三角形、直线与圆等内容。在平面解析几何中,直线与三角形这个知识点从初中贯穿到高中,在考察数形结合问题、三角形的性质和直线的表达式以及许多应用性较广较强的几何问题等方面,这个平面解析几何知识点在高中数学中具有不可取代的地位;在几何问题中,直线与圆可将平面解析几何中图形的几何关系转化为数量表示,将不直观的几何问题转化为可计算的代数问题。

(一)直线与三角形

[案例3]如图1,在三角形ABC中,A的坐标是(0,1),AC边上中线的方程表达式为2x+y-3=0,AB边上高线的方程表达式为x+2y-4=0,要求分别求解AC,AB,BC边上的直线方程。

[if !vml]

[endif] 

 

图1

由题意可得:

∵AB边上高线的方程表达式为x+2y-4=0

∴直线AB的斜率是2

∵A的坐标是(0,1)

∴AB边上的直线方程为:2x-y+1=0

∵AC边上中线的方程表达式为2x+y-3=0

∴直线AB与AC边中线的交点坐标是B(1/2,2)

设AC边上的中点坐标D(x1,3-2x1),C的坐标为(4-2y1,y1)

已经D为AC边上中点坐标,由中点坐标性质可得:

[if !msEquation][if !vml]

[endif][endif]

联立上述两个方程,解得y1=1

∴C的坐标为(2,1)

∴已知A点和C点坐标,由两点式可得:

AC边上的直线方程为y=1

∴已知B点和C点坐标,由两点式可得:

BC边上的直线方程为:2x+3y-7=0

(二)直线与圆

在高中数学平面解析几何教学中,直线与圆的几何思想广泛应用于数学问题中,这类问题相对复杂,学生不容易一眼得出解决方法。这需要学生准确的从题干中提取有效信息,理清题目中相关的几何条件关系,牢记掌握直线的多种数学表达式和相关性质、圆的数学表达式和几何性质等,明确题目所给信息考察的是直线与圆哪方面的知识点。然后将一个复杂的几何问题拆分成多个简单的几何小问题,逐个列式解答,达到解决几何问题的目的。

[案例4]判定直线与圆的位置关系。

方法1:已知直线表达式为Ax+By+C=0,圆的表达式为x2+y2+Dx+Ey+F=0。将直线方程与圆的方程联立消元之后得到一元二次方程,通过判定这个一元二次方程的判别式与0的关系即可确定直线与圆的位置关系。

[if !msEquation][if !vml]

[endif][endif]

[if !msEquation][if !vml]

[endif][endif]

消元后得到一元二次方程

[if !msEquation][if !vml]

[endif][endif]

判别式[if !msEquation][if !vml]

[endif][endif]2[if !msEquation][if !vml]

[endif][endif]

方法2:已知直线表达式为Ax+By+C=0,圆的表达式为(x-a)2+(y-b)2=r2,通过判断圆心(a,b)到直线的距离可以判定直线与远的位置关系。

圆心(a,b)到直线的距离可以表示为:

[if !msEquation][if !vml]

[endif][endif]

参考文献

[1]赵青松.高中平面解析几何有效数学研究[J].数学学习与研究,2016(10):48

[2]唐少华.例谈平面几何知识在解题中的运用[J].考试:高考数学版,2009(7):108-111

[3]马士辉.高中数学教材编写之依我见—平面解析几何中几个值得商榷的问题[J].语数外学习,2013(11):149

[4]洪建松.巧用三则平面几何知识简解解析几何问题[J].高中数理化,2011(21) :22-23


培养核心素养 提升解题能力

一、提升解题能力的重要意义

与初中数学不同,高中数学无论是内容上还是学习难度上都有明显的提升,知识点繁多,分布分散,使得高中数学的学习成为了一大难点;又因为这门学科在高考中所占的比重较大,因此也是学习的重点。尽管如此,高中数学的学习并不是毫无章法的,在解决不同类型的习题时可以寻找、总结出规律。

在教育改革不断深入的背景下,高中数学的学习不再局限于知识点的学习,培养学生的解题能力与提升学生的数学思维能力是当下高中数学教学的重点。数学是一门对学生的逻辑思维能力要求较高的学科,解题能力在一定程度上能体现学生的理论知识掌握情况。正因如此,全方位、多途径地提升学生的解题能力,才能使得学生更好地理解高中数学知识,提升应用数学的能力,把不同学习阶段的内容串联起来,形成一个完整的知识体系,在这个过程中也能形成适合自己的数学解题思想。

二、解题能力提升策略导向

(一)稳抓基础知识,加强理解学习

要想提升学生的解题能力,首先要做的就是强化学生对基础数学知识的掌握,加强学生对基础知识的学习,做到内化于心。笔者在教学过程中发现,很多数学习题都是教材中基础知识点的变换或变形,归根结底就是课本上的性质或定理,只是加上了具体的数学情境。尽管如此,在解决这些数学问题的过程中,有相当一部分的学生把这些“变形基础题”看成是难题,这就说明这部分学生对于课本知识点掌握得不牢固,理解不深刻,看不出习题的本质所在。

在各版本的高中数学教材中,基础知识都比较简单,是学生学习高中数学的入门资料。尽管如此,在日常的教学过程中,教师不能忽略了教材基础知识,一味地求难、求异,只有强化基础训练,才能使得学生将理论知识融会贯通,在做题时能较快地想到解题思路。除此之外,数学教师在讲授过程中也要注意方法,在讲解习题时要引导学生总结习题背后的数学概念或基础定理、性质,让学生知其然,更知其所以然,提高解题能力。

(二)提升审题能力,明确解题方法

由于中学生的思维能力尚不发达,在题干要求比较复杂时,难免会存在理解不完全甚至理解错误的情况。因此,教师在强调审题的同时,要加强学生理解能力的培养,从根本上提升学生的审题能力。比如:

【题干信息】

已知函数[if !vml]

[endif]

1、若函数在区间在上存在单调递增区间,求a的取值范围;

2、若0<a<2,函数在区间[1,4]上的最小值为-,求该函数在区间[1,4]上的最大值。

【审题过程】

对已知函数求导,导函数是二次函数,对称轴为x=。若要使原函数在上存在单调递增区间,则必须满足[if !vml]

[endif];

[if !vml]

[endif]可得x1与x2,确定x1,x2所在的单调区间,根据单调性可求出函数[if !vml]

[endif]的最值。

(三)知识内容为主,思想方法为辅

高中数学知识点繁多,融合了代数、几何等诸多的知识,难度水平较高,因此对学生的基础知识掌握情况以及知识运用能力是较大的考验尽管如此,知识点都是成体系的,不同的知识点、不同的习题都可能存在共通性,题目不同但采用的思想方法可能是相同的。因此,在日常的教学过程中,数学教师需要从思想方法着手,引导学生探索、总结有效的解题思路与解题方法。

1、方程与函数思想

函数思想就是对函数基础内容更深层次的概括,在不等式、数列、方程等内容中均有所体现。与函数思想相关的,方程思想也是现阶段高中数学学习中常用的思想方法,也是各地高考命题的重要内容。方程思想在各类数学计算题中应用广泛,能极大地展现学生的数学计算能力。对比各地历年的高考数学试题,笔者发现方程内容占比相当大。综上,广大一线数学教师要注意学生函数思想和方程思想的培养。下面是方程与函数思想的应用实例。

【题干信息】

若不等式x2+ax+1≥0在x∈(0,]范围内恒成立,试求a的最小值。

【解答过程】

(1)方法1

对已知不等式进行分离变量处理,有

a≥-(x+)在x∈(0,]范围内恒成立

∵不等式右端表达式最大值为-

∴a的最小值为-

(2)方法2

设函数y=x2+ax+1,结合二次函数图象分析,注意对称轴与区间(0,]的相对位置关系,分三种情况讨论。

(3)方法3

设函数y(1)=x2+1,y(2)=-ax,可将原问题转化为y(1)()≥y(2)(),可得a≥-,即a的最小值为-。

2、分类讨论思想

分类讨论的解题思想的依据就是待解决对象的性质和特征,以此为基础,从多个情况对问题进行划分,单独分析,最终汇总得出结论。这一解题思想的一大特点就是涉及到的数学知识点比较多,逻辑性与综合性较强,因此是对学生基础知识的掌握程度以及分类思想的直接体现。下面以绝对值问题为例。

【题干信息】

方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0存在几个根?

【解答过程】

令|x2-1|=t,易知t≥0,则原方程可表示为

t2-t+k=0

由函数t=|x2-1|的图象可知:

(1)若t=0或t>1,则原方程有两个不相等的根;

(2)若当0<t<1,则原方程有四个根;

(3)当t=1时,原方程有三个根:

a.若k=-2,则方程t2-t+k=0有一个正根t=2,那么原方程有2个根;

b.若k=,则方程t2-t+k=0有两个相等正根t=,那么原方程有4个根;

c.若k=0,则方程t2-t+k=0有两个不等根,分别是t=0或t=1,那么原方程有5个根;

d.若0<k<,则方程t2-t+k=0有两个不等正根,那么原方程有8个根。

3、数形结合思想

在高中数学问题的解决过程中,数形结合这一解题思路极为实用。通过这一解题技巧,学生可以将代数与图形有机地结合起来,运用图像将题目中的代数关系直观描述。掌握数形结合的解题思想,准确运用图像与数量的相互关系,学生能理清条件以及结论之间的层次关系,更好地解决这些问题。

【题干信息】

求函数[if !vml]

[endif]的值域。

【解答过程】

题干中的已知函数可以理解成点(2,3)到动点[if !vml]

[endif]的斜率。因为

cos2x+sin2x=1,所以动点[if !vml]

[endif]围成的轨迹是一单位圆,原问题也就转化成了点(2,3)到单位圆某一点连线的斜率问题。由下图可知,最大值与最小值分别出现在两切线处,解得原函数值域为[if !vml]

[endif]。

图1

4、转化思想

在做题过程中,常常会出现条件缺失或者是解题方法明确但解答过程繁杂的情况,这是教师就需要引导学生换个角度看问题,将问题进行转化,巧妙地解决问题,而不是一味地进行计算。

【题干信息】

a,b,c满足[if !vml]

[endif],试判断长度为a,b,c的三边组成的△ABC的形状。

【解答过程】

∵[if !vml]

[endif]

∴2[if !vml]

[endif]

∴[if !vml]

[endif]

∴a=b,a=c,b=c

∴△ABC为等边三角形

四、结语

在高中数学的学习过程中,数学知识是基础,数学思想与解题能力是关键。为了有效地提升广大高中学生的数学解题能力,本文从高中学生核心素养的要求出发,探索了数学解题能力得培养方法,通过具体数学案例详细介绍了常见的解题技巧,希冀切实提升高中学生的数学学习效率,强化高中学生的数学学习能力,引导学生积极主动地思考、学习,进而有效提升学生的数学学习成绩。

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