数值分析之插值

插值

一.基本概念

1.1插值需要研究的问题

插值函数是否存在？
如何构造插值函数？
如何评估误差？

1.2插值法定义

设函数y=f(x)在区间[a,b]有定义，且已知 $a \leqslant x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n} \leqslant b$ 上值 $y_{0}, y_{1}, \cdots, y_{n}$ ，若存在一简单函数P(x),使得
$P\left(x_{i}\right)=y_{i} \quad(i=0,1, \cdots, n)$
成立，就称P(x)为f(x)的插值函数，点 $x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}$ 称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，求插值区间函数P(x)的方法称为插值法。若P(x)是次数不超过n的代数多项式，即 $P(x)=a+a x+\cdots+a_{n} x^{n}$ ，称P(x)为插值多项式。

二.多项式插值

定理：设区间[a,b]上给定n+1个点 $a \leqslant x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n} \leqslant b$ 上的函数值 $y_i=f(x_i)(i=0,1,...,n)$ ,这样次数不超过n的多项式，使 $P(x_i)=y_i(i=0,1,...,n)$ 是唯一的。

快照15.png

三.拉格朗日插值

使用解线性方程组的方法求解插值多项式，计算量大，造成的误差也不易估算，因此我们一般采取其他方法来构造插值多项式

3.1线性插值与抛物线插值

线性插值（两点插值）:

给定两个区间 $[x_k,x_{k+1}]$ 及端点函数值 $y_k=f(x_k),y_{k+1}=f(x_{k+1})$ ,求线性插值多项式 $L_1(x)$ ,满足:

$L_1(x)=y_k,L_1(x_{k+1})=y_{k+1}$

其集合意义就是过着两个点的直线。可以通过直线表达式给出：

两点式
$L_{1}(x)=\frac{x_{k+1}-x}{x_{k+1}-x_{k}} y_{k}+\frac{x-x_{k}}{x_{k+1}-x_{k}} y_{k+1}$
设
$l_{k}(x)=\frac{x-x_{k+1}}{x_{k}-x_{k+1}}, \quad l_{k+1}(x)=\frac{x-x_{k}}{x_{k+1}-x_{k}} （称他们为线性插值基函数）$
其中
$\begin{array}{ll}{l_{k}\left(x_{k}\right)=1,} & {l_{k}\left(x_{k+1}\right)=0} \\ {l_{t+1}\left(x_{k}\right)=0,} & {l_{k+1}\left(x_{k+1}\right)=1}\end{array}$
可将两点式表示为
$L_{1}(x)=y_{k} l_{k}(x)+y_{k+1} l_{k+1}(x)$
抛物线插值（三点插值）：

略

3.2拉格朗日插值多项式

将以上两个点或是三个点的情况扩展到有n+1个点，设有n+1个节点， $x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}$ ，构造n次插值多项式 $L_n(x)$ 满足条件 $L_{n}\left(x_{j}\right)=y_{j} \quad(j=0,1, \cdots, n)$ 。

n次插值基函数：若n次多项式 $l_{j}(x)(j=0,1, \cdots, n)$ ，在n+1个节点 $x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}$ 上满足条件 $l_{j}\left(x_{k}\right)=\begin{array}{ll}{1,} & {k=j} \\ {0,} & {k \neq j}\end{array} j,k=0,1,...,n$ 就称这为n+1个n次多项式为节点 $x_0,x_{1}, \cdots, x_{n}$ 的n次插值基函数。可以表示为

$，l_{k}(x)=\frac{\left(x-x_{0}\right) \cdots\left(x-x_{k-1}\right)\left(x-x_{k+1}\right) \cdots\left(x-x_{n}\right)}{\left(x_{k}-x_{0}\right) \cdots\left(x_{k}-x_{k-1}\right)\left(x_{k}-x_{k+1}\right) \cdots\left(x_{k}-x_{n}\right)}，j=0,1,...,n$
拉格朗日插值多项式：

可以表示为 $L_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n} y_{k} l_{k}(x)$ ，

若将记 $\omega_{n+1}(x)=\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdots\left(x-x_{n}\right)$

则 $\omega_{n+1}^{\prime}\left(x_{k}\right)=\left(x_{k}-x_{0}\right) \cdots\left(x_{k}-x_{k-1}\right)\left(x_{k}-x_{k+1}\right) \cdots\left(x_{k}-x_{n}\right)$ （关于x求导）

所以可以将拉格朗日插值多项式改写为：
$L_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n} y_{k} \frac{\omega_{n+1}(x)}{\left(x-x_{k}\right) \omega_{n+1}^{\prime}\left(x_{k}\right)}$
注：n次插值多项式的次数通常为n次，特殊情况下也可以小于n次，如三点抛物线插值三点在同一条直线上时。

3.3插值余项与误差估算

定义：若在[a,b]上用 $L_n(x)$ 近似f(x),则其截断误差
$R_{n}(x)=f(x)-L_{n}(x)$
称为插值多项式的余项。
定理：设 $f^{(n)}(x)$ 在[a,b]上连续， $f^{(n+1)}(x)$ 在[a,b]内存在，节点 $a \leqslant x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n} \leqslant b$ ， $L_n(x)$ 是满足上述条件的插值多项式，则对任意的 $x \in[a, b]$ ,
$R_{n}(x)=f(x)-L_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !} \omega_{n+1}(x)$
这里 $\xi \in(a, b)$ 且依赖于 $x, \omega_{n+1}(x)$ 。
- 证明：（罗尔中值定理）
  
  快照13.png

快照14.png

四.均差及牛顿插值多项式

五.埃尔米特插值

六.分段低次插值

七.三次样条插值

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