1. 拉格朗日多项式插值
了解概念
插值多项式
插值节点
范德蒙特(Vandermonde)行列式
截断误差、插值余项特点
-
函数实现
function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end
设n个节点数据以数组x0,y0输入（注意Matlat的数组下标从1开始），m个插值点以数组x 输入，输出数组y为m个插值。
则可用y = lagrange(x0,y0,x)调用。
2. 牛顿（Newton）插值
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了解概念
差商
差分
等距节点插值公式(Newton向前插值公式) -
特点
每增加一个节点，插值多项式只增加一项，因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。 - 函数实现
3. 分段线性插值
了解概念
插值多项式的振荡特点
将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数。它是为了解决高次插值多项式的缺陷：随着插值次数n增加，虽然误差减小，但插值函数光滑性变坏，有时会出现很大的振荡。
实际上用函数表作插值计算时，分段线性插值就足够了，如数学、物理中用的特殊函数表，数理统计中用的概率分布表等。-
函数实现
一维插值函数interp1：y=interp1(x0,y0,x,'method')method 指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为： 'nearest' 最近项插值 'linear' 线性插值 'spline' 逐段3次样条插值 'cubic' 保凹凸性3次插值。 所有的插值方法要求 x0 是单调的。 当 x0 为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、'*spline'、'*cubic'。
4. 埃尔米特(Hermite)插值
了解概念
特点
如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一
阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是Hermite 插值问题。
这里主要讨论在节点处插值函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。-
函数实现
设n个节点的数据以数组x0（已知点的横坐标）， y0（函数值）， y1（导数值）输入（注意Matlat 的数组下标从1 开始），m 个插值点以数组x 输入，输出数组y 为m个插值。function y=hermite(x0,y0,y1,x) n=length(x0);m=length(x); for k=1:m yy=0.0; for i=1:n h=1.0; a=0.0; for j=1:n if j~=i h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2; a=1/(x0(i)-x0(j))+a; end end yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i)); end y(k)=yy; end
5. 样条插值
了解概念
样条函数
关于分划Δ的k次样条函数 k次样条曲线 样条节点 内节点 边界点 k次样条函数空间
二次样条函数 三次样条函数特点
有些问题对插值函数的光滑性有较高要求，要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。-
函数实现
y=interp1(x0,y0,x,'spline')； y=spline(x0,y0,x)； pp=csape(x0,y0,conds)，y=ppval(pp,x)。 其中 x0,y0 是已知数据点，x 是插值点，y 是插值点的函数值。 对于三次样条插值，我们提倡使用函数 csape，csape 的返回值是pp 形式，要求插值点的函数值，必须调用函数ppval。 pp=csape(x0,y0)：使用默认的边界条件，即Lagrange 边界条件。 pp=csape(x0,y0,conds)中的conds 指定插值的边界条件，其值可为： 'complete' 边界为一阶导数，即默认的边界条件 'not-a-knot' 非扭结条件 'periodic' 周期条件 'second' 边界为二阶导数，二阶导数的值[0, 0]。 'variational' 设置边界的二阶导数值为[0,0]。 对于一些特殊的边界条件，可以通过 conds 的一个1×2矩阵来表示，conds 元素的 取值为1，2。此时，使用命令 pp=csape(x0,y0_ext,conds) 其中y0_ext=[left, y0, right]，这里left 表示左边界的取值，right 表示右边界的取值。 conds(i)=j 的含义是给定端点i 的j 阶导数，即conds 的第一个元素表示左边界的条 件，第二个元素表示右边界的条件，conds=[2,1]表示左边界是二阶导数，右边界是一阶 导数，对应的值由left 和right 给出。 -
例题
已知函数y=(x^2+2x+3)e^(-2x)，给定x的取值从0到1步长为0.1的数据点，用三次样条函数求该函数在区间[0，1]上的积分。 x0 = 0:0.1:1; y0 = (x0.^2+2*x0+3).*exp(-2*x0); pp = csape(x0,y0); %进行三次样条插值 sy = fnint(pp); %求样条函数的积分函数，结果为pp数据结构 I = ppval(sy,1)-ppval(sy,0) %求样条函数积分的值
6. B样条函数插值方法
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了解概念
磨光函数
等距B样条函数
一维等距B样条函数插值 二维等距B样条函数插值
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特点
实际中的许多问题，往往是既要求近似函数（曲线或曲面）有足够的光滑性，又要求与实际函数有相同的凹凸性，一般插值函数和样条函数都不具有这种性质。如果对于一个特殊函数进行磨光处理生成磨光函数（多项式），则用磨光函数构造出样条函数作为插值函数，既有足够的光滑性，而且也具有较好的保凹凸性，因此磨光函数在一维插值（曲线）和二维插值（曲面）问题中有着广泛的应用。 - 函数实现
7. 二维插值
了解概念
插值节点为网格节点
插值节点为散乱节点特点
函数实现
插值节点为网格节点
二次样条插值：z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method')
其中 x0,y0分别为m维和n维向量，表示节点，z0为n × m维矩阵表示节点值，x,y为一维数组表示插值点x与y应是方向不同的向量，即一个是行向量，另一个是列向量，z为矩阵，它的行数为y的维数，列数为x的维数，表示得到的插值，'method'的用法同上面一维插值。
三次样条插值：pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds)，z=fnval(pp,{x,y})
其中 x0,y0 分别为m 维和n维向量，z0 为m × n 维矩阵，z 为矩阵，它的行数为x的维数，列数为y的维数，表示得到的插值，使用方法同一维插值。
插值节点为散乱节点
已知n个节点：(x , y , z )(i 1,2, ,n) i i i = L ，求点(x, y)处的插值z：
ZI = GRIDDATA(X,Y,Z,XI,YI)
其中X、Y、Z 均为n 维向量，指明所给数据点的横坐标、纵坐标和竖坐标。向量XI、YI是给定的网格点的横坐标和纵坐标，返回值ZI为网格（XI，YI）处的函数值。XI与YI应是方向不同的向量，即一个是行向量，另一个是列向量。
最小二乘法的Matlab 实现
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解方程组方法
A = R \Yx=[19 25 31 38 44]'; y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]'; ab=r\y 多项式拟合方法
a=polyfit(x0,y0,m)
其中输入参数x0,y0 为要拟合的数据，m 为拟合多项式的次数，输出参数a 为拟合多项式y=amxm+…+a1x+a0 系数a=[ am, …, a1, a0]。
多项式在x 处的值y可用y=polyval(a,x)计算。
最小二乘优化
在Matlab 优化工具箱中，用于求解最小二乘优化问题的函数有：lsqlin、lsqcurvefit、lsqnonlin、lsqnonneg
- lsqlin 函数
x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) - lsqcurvefit 函数
X=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,LB,UB,OPTIONS) - lsqnonlin 函数
X=LSQNONLIN(FUN,X0,LB,UB,OPTIONS) - lsqnonneg 函数
X = LSQNONNEG(C,d,X0,OPTIONS)
