第二章.数值逼近

函数逼近基本概念

维尔斯特拉斯定理：设 $f\in C[a,b]$ ，则 $\forall \varepsilon>0,\exists p(x)\in H_n$ 使 $\left|f(x)-p(x)\right|<\varepsilon$ 在 $[a,b]$ 上一致成立。
构造 $B_n(f,x)=\sum\limits_{k=0}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)C_k^nx^k(1-x)^{n-k}$ ，那么 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}B_n(f,x)=f(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致成立，则还有 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}B_n^{(m)}(f,x)=f^{(m)}(x)$ .但收敛慢，故实际中很少用。

三个基本问题：

选定逼近函数类型
按一定目标逼近：可分为插值和拟合
研究逼近函数的存在唯一性、收敛性及误差估计等理论问题。

插值法

牛顿插值与拉格朗日插值多项式

从 $n$ 阶差商到牛顿插值多项式
$p(x)= f\left(x_{0}\right)+f\left[x_{0}, x_{1}\right]\left(x-x_{0}\right)+\cdots+f\left[x_{0},x_{1}, \cdots, x_{n}\right]\left(x-x_{0}\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right)$
优点，每增加一个插值点就增加一项，便于计算。
插值多项式还可用插值基函数 $l_k(x)$ 表示为
$L_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n} l_{k}(x) f\left(x_{k}\right)$
其中
$l_{k}\left(x_{i}\right) = \delta_{i k}=\left\{\begin{array}{l} 1, \quad i=k \\ 0, \quad i \neq k \end{array}\right.$
上式被称为拉格朗日插值多项式
还可被写为
$L_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{w_{n}(x)}{\left(x-x_{k}\right) w_k^{\prime}\left(x_{k}\right)}- f\left(x_{k}\right).$
其中
$w_{n}(x)=\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1} \right) \dots \left( x-x_{n} \right)$
截断误差表示为
$R_{n}(x)=f(x)-p(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !} w_{n}(x), \quad \xi \in(a, b)$
上式称为插值余项，此外还有差商的表示：
$R_{n}(x)=f\left[x_{0}, \quad x_{1}, \quad \dots, x_{n}, \quad x\right] w_{n}(x)$
比较上述两式，可以得到差商与导数的关系
$f\left[x_{0}, x_{1}, \quad \dots, x_{k}\right]=-\frac{f^{(k)}(\xi)}{k !}, \quad k=1, \quad 2 \cdots, n$
实际上，当 $x_i\rightarrow x_0,i=1,2,\ldots,n$ 的极限就是泰勒展开的余项.

Hermite插值

除了满足函数值的要求外，还需要满足导数条件.
$H(x)=\sum_{i=0}^{n} f_{i} a_{i}(x)+\sum_{i=0}^{n} f_{i}^{\prime} \beta_{i}(x)$
$\begin{array}{l} \alpha_{i}\left(x_{j}\right)=\partial_{i j}, \alpha _{i}^{\prime}\left(x_{j}\right)=0, \quad j=0,1, \cdots, n \\ \beta_{i}\left(x_{j}\right)=0, \beta_{i}^{\prime}\left(x_{j}\right)=0_{i j}, \quad j=0,1, \cdots, n \end{array}$
余项为
$R_{2 n+1}(x)=f(x)-H(x)=\frac{f(2 n+2)(\xi)}{(2 n+2) !} w_{n}^{2}(x)$

插值函数的收敛性与稳定性

插值点为 $x_0^{(n)},x_1^{(n)},\ldots,x_n^{(n)},n=0,1,2,\ldots,n$ 作为插值点求出插值多项式序列
$L_{0}, \quad L_{1}, \quad \cdots, \quad L_{*}, \quad \cdots, \quad L_{n}\left(x_{i}^{(n)}\right)=f\left(x_{i}^{(n)}\right), i=0, \quad 1, \cdots, n$
若 $\lim _{n \rightarrow \infty} L_{n}(x)=f(x)$ ，就称插值多项式序列 $\left\{ L_n \right\}$ 收敛于 $f(x)$ ，否则就称不收敛.

理论上已知，满足上述条件的拉格朗日插值多项式序列 $\left\{L_n(x)\right\}$ 不是收敛的.
例如 $f(x)=|x|$ 在 $[-1,1]$ 上按等距节点 $-1=x_0<x_1<\ldots<x_n=1$ 构造的插值多项式序列 $\left\{L_n(x)\right\}$ ,当 $n\rightarrow \infty$ 时,只在 $-1,0,1$ 三点收敛于 $f(x)$ .(伯恩斯坦给出的例子)

Runge给出例子： $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ ,在 $[-5,5]$ 上用等距节点插值得到的 $L_n(x)$ ,在 $|x|>3.63$ 时也不收敛于 $f(x)$ .

这两个例子说明，高次插值多项式不能保证它的收敛性.

下面讨论插值函数的稳定性.当 $f_i=f(x_i),i=0,1,\ldots,n$ 有误差 $\delta_{i}$ 时,即实际求插值函数时使用的函数表为 $(x_i,\tilde{f}_i),i=0,1,\ldots,n$ 而精确值 $f_i=\tilde{f}_i+\delta_i$ .我们要研究当 $\delta_{i}$ 充分小时,插值函数 $I_n(f,x)$ 的误差是否随 $n$ 增大,这就是插值函数的稳定性问题.
是计算出来的插值函数
$I_{n}(\tilde{f}, x)=\sum_{i=0}^{n} l_{i}(x) \tilde{f}_{i}$
于是得到插值函数的总误差
$E_{n}(f, x)=f(x)-I_{n}(\tilde{f}, x)=\left(f(x)-I_{n}(f, x)\right) +\left(I_{n}(f, x)-\left(I_{n}(\tilde{f}, x)\right)\right.$
第一项为截断误差 $R_n(x)$ ,第二项为舍入误差 $\varepsilon_n$ ,即
$\begin{aligned} \varepsilon_{n} &=\max _{a \in x<b}\left|I_{n}\left(f, x\right)-I_{n}(\xi, x)\right| \\ & \leqslant \max _{a: x \in b}\left[\sum_{i=0}^{n}\left|l_{i}(x)\right|\right] \max _{1<1<n}\left|f_{i}-\tilde{f}_{i}\right| \\ & =\lambda_{n} \max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left|f_{i}-\tilde{f}_{i}\right| \end{aligned}$
若 $\lambda_{n}=\max _{a \leqslant x \leqslant b}\left(\sum_{i=0}^{n}\left|l_{i}(x)\right|\right)$ 有界,
则插值函数 $I_n(f,x)$ 就是数值稳定的.下面给出定义

定义对任给 $\varepsilon>0$ 若 $\exists \delta >0$ 使当 $\max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left|f_{i}-\tilde{f}_{i}\right| \leqslant \delta$ 就有
$\varepsilon_{n}=\max _{0<x<0}\left|I_{0}(f, x)-I_{n}(\xi, x)\right| \leqslant \varepsilon$
则称插值函数 $I_n(f,x)$ 是稳定的，否则就是不稳定的。

从定义看到，插值函数稳定，则其舍入误差 $\varepsilon_n$ 可以忽略不计,而插值函数是否稳定则取决于 $\lambda_n$ 是否有界.对于拉格朗日插值多项式 $L_n(x)$ 则有 $\lambda>\frac{\ln n }{8\sqrt{n}}$ 是无界的,这表示高次插值多项式是不稳定的.因此从收敛性与稳定性考虑,使用高次插值多项式是不可取的,故当插值节点 $n$ 较大时一般不用多项式插值,而采用分段低次插值或样条插值.

样条插值函数

在具有收敛性与稳定性的插值函数中,最常用和最重要的时样条插值函数插值,而且用样条插值函数给出的光滑插值曲线或曲面在飞机、轮船、汽车等精密机械设计中有着广泛的应用.在数值逼近、数值微积分、微分方程数值解等计算数学领域中，样条函数是重要的工具.

定义设 $[a,b]$ 上的一个剖分 $\Delta:a=x_0<x_1<\ldots<x_n=b$ ,如果函数 $s$ 满足条件
1. $s\in C^{m+1}[a,b]$
2. $s$ 在每个子区间 $[x_{i-1},x_i],i=1,2,\ldots,n$ 上是 $m$ 次代数多项式.
则称 $s$ 是关于节点剖分 $\Delta$ 的 $m$ 次样条函数.
若再给定 $f\in C[a,b]$ 在节点上的值 $f_i$ ,并使
$s(x_i)=f_i,i=0,1,\ldots,n$
则称 $s(x)$ 是 $f$ 的 $m$ 次样条插值函数.

通常用的比较多的是 $m=3$ 的具有二阶连续导数的三次样条插值函数.
三次样条函数在每个子区间上可用四个系数唯一确定，因此在 $[a,b]$ 上有 $4n$ 个待定参数,由于 $s\in C^2[a,b]$
$\left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{s}\left(x_{i}-0\right)=\boldsymbol{s}\left(x_{i}+0\right) \\ \boldsymbol{s}^{\prime}\left(x_{i}-0\right)=\boldsymbol{s}^{\prime}\left(x_{i} + {0} \right) \\ \boldsymbol{s}^{\prime \prime}\left(x_{i}-0\right)=\boldsymbol{s}^{\prime \prime}\left(x_{i}+0\right), \quad \boldsymbol{i}=1,2, * *, n-1 \end{array}\right.$
给出 $3n-3$ 个条件,加上插值条件共 $4n-2$ 个,因此还需要两个边界条件.
分为三种情况:

一阶导数
二阶导数
周期样条函数条件

求三次样条插值函数 $s(x)$ 有多种方法,这里给出其中一种,称三弯矩法.记 $s''(x_i)=M_i,i=0,1,\ldots,n$ , $s$ 在每个子区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上是三次多项式,故 $s''(x)$ 在 $[x_{i-1},x_i]$ 上为线性函数,可表示为
$s''(x)=M_{i-1}\frac{x_i-x}{h_{i-1}}+M_i\frac{x-x_{i-1}}{h_{i-1}}$
这里 $h_{i-1}=x_i-x_{i-1}$ ,对上式积分两次,并利用插值条件 $s(x_{i-1})=f_{i-1},s(x_i)=f_i$ 便可得到，再求导,最后把一阶导条件带进去得到
$\mu_{i} \boldsymbol{M}_{i-1}+2 M_{i}+\lambda_{i} M_{i+1}=d_{i}, \quad i=1,2, \cdots, n-1$
其中， $\mu_{i}=\frac{h_{i-1}}{h_{i-1}+h_{i}}, \quad \lambda_{i}=1-\mu_{i},$
$d_{i}=6\left(\frac{f_{1+1}-f_{i}}{h_{i}}-\frac{f_{i}-f_{i-1}}{h_{i-1}}\right) \frac{1}{h_{i-1}+h_{i}}=6 f\left[x_{i-1}, x_{i}, x_{i+1}\right]$ .
可以写成矩阵乘法的形式.
现讨论不同的边界条件：

一阶导数相等带入得到 $M_{0}=f^{\prime \prime}_0, \quad M_{n}=f^{\prime \prime}_{n}$
二阶导数相等导出 $M_{0}=M_{n}, \quad \lambda_{n} M_{1}+\mu_{n} M_{n-1}+2 M_{n}=d_{n}$
其中 $\lambda_{n}=h_{0}\left(h_{n-1}+h_{0}\right)^{-1}, \quad \mu_{n}=1-\lambda_{n}$ , $d_{n}=6\left(f\left[x_{0}, x_{1}\right]-f\left[x_{n-1},x_n\right]/h_0+h_{n-1}\right)$

这种三对角方程的系数矩阵元素 $\lambda_i+\mu_i=1,\lambda_i\geq 0,\mu\geq 0$ ,故它是严格对角占优的,利用追赶法就可求出 $M_i(i=0,1,\ldots,n)$ .
以上讨论说明三次样条插值函数再条件 $1,2,3$ 的解是存在唯一的,上面求三次样条插值函数 $s(x)$ 是一个常用的算法.下面给出在计算机上求 $s(x)$ 的算法:
三次样条插值的三弯矩法：

输入初始数据 $(x_i,f_i),i=0,1,\ldots,n$ 及 $f_0',f_n'$ .
对 $i=1,\ldots,n$ 计算 $h_{i-1}=x_{i}-x_{i-1}, \quad f\left[x_{i-1}, x_{i}\right]=\frac{f_{1}-f_{i-1}}{h_{i}-1}$
对 $i=0,1,\ldots,n$ 计算 $\mu_i,\lambda_i,d_i$ .
用追赶法解方程组求出 $M_0,M_1,\ldots,M_n$
求出 $s(x)$ ,并根据要求计算 $s(x)$ 在若干点上的值,然后打印结果.

定理设 $f\in C^4[a,b]$ , $s$ 是 $f$ 满足条件的三次样条插值函数，则有估计式
$\left\|f^{(k)}(x)-\boldsymbol{s}^{(k)}(x)\right\|_{\infty} \leqslant C_{n} \|\left.f^{(4)}\right|_{, \infty} ^{1} h^{*-k}, \quad k=0,1,2$
其中 $h=\max_{1\leq i\leq n} h_{i-1}=\max _{1\leq i\leq n}\left(x_{i}-x_{i-1}\right), \quad C_{0}=-\frac{5}{384}, \quad C_{1}=\frac{1}{24}，C_2=\frac{1}{8}$

B样条函数

之前导出的三次样条插值函数 $s(x)$ 分别在每个子区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上有表达式,这在应用上和理论分析中不是很方便，而如果利用基样条表示往往更为方便.为此可根据定义给出的 $m$ 次样条函数概念，构造 $m$ 次样条函数空间的基函数.

设区间 $[a,b]$ 的剖分 $\Delta : a=x_{0}<x_{1}<\dots<x_{n}=b$ 上的 $m$ 次样条函数全体组成的集合为 $S(m,\Delta)$ ,它是一个线性空间，并且它的维数是 $n+m$ 维,因为 $S(m,\Delta)$ 至多有 $(m+1)\times n$ 个自由参数,由连续性条件知有 $m\times (n-1)$ 个约束条件, $S(m,\Delta)$ 的维数至多为 $(m+1) \times n-m \times(n-1)=n+m$ .

定义截幂函数为
$x_{+}^{m}=\left\{\begin{array}{ll}x^{m}, & x \geqslant 0 \\ 0, & x<0\end{array}\right.$
下面证明, $S(m,\Delta)$ 中的 $n+m$ 个样条函数
$\begin{array}{c} x^{k}, \quad k=0,1, \cdots, m \\ \left(x-x_{j}\right)^{m}_+,\quad j=1,2, \cdots, n-1 \end{array}$
在区间 $[a,b]$ 上线性无关,从而可得出 $S(m,\Delta)$ 维数为 $n+m$ .

定义6 设 $\{x_i \}$ 是节点序列，令 $\phi_m(t)=(t-x)_{+}^m$ ,函数 $(x_{j+m+1}-x_j)\phi_m(t)$ 关于 $t=x_j,\ldots,x_{j+m+1}$ 的 $m+1$ 阶差商
$\begin{array}{c} B_{j \cdot m}(x)=\left(x_{j+m+1}-x_{j}\right) \phi_{m}\left[x_{j}, x_{j+1}, \cdots, x_{j+m+1}\right] \\ j=-m,-m+1, \dots, n-1 \end{array}$
称为第 $j$ 个 $m$ 次 $B-$ 样条函数，简称 $B-$ 样条函数。

利用差商的性质
$\phi_{m}\left[x_{j}, x_{j+1}, \dots, x_{j+n+1}\right]=\sum_{k=j}^{j+m+1}-\frac{\left(x_{k}-x\right)_{+}^{m}}{w_{m, j}^{\prime}\left(x_{k}\right)}$
其中 $w_{m, j}(t)=\left(t-x_{j}\right)\left(t-x_{j+1}\right) \cdots\left(t-x_{j+m+1}\right)$ .由此得到 $B_{j . m}(x)=\left(x_{j+m+1}-x_{j}\right) \sum_{k=j}^{j+m+1} \frac{\left(x_{k}-x\right)^{m}}{w_{m, j}^{\prime}\left(x_{k}\right)}$
定义中的 $n+m$ 个样条函数是线性无关的，所以组成 $S(m,\Delta)$ 的一组基。这样对任何在 $[a,b]$ 上关于剖分 $\Delta$ 的 $m$ 次样条函数 $s\in S(m,\Delta)$ 都可以表示成
$s(x)=\sum_{j=-m}^{n-1} a_{j} B_{j, m}(x)$
这样求 $s(x)$ 得问题就归结为求系数 $a_{-m},\ldots,a_0,\ldots,a_{n-1}$ ，实际上就是解线性方程组。例如，已知在点 $x_0,x_1,\ldots,x_n$ 上得函数值 $f_0,f_1,\ldots,f_n$ ,及 $x_0,x_n$ 处的导数值 $f_0'$ 及 $f_n'$ ,要求三次样条插值函数 $s(x)$ .
由上式可得方程组
$\left\{\begin{array}{l} \sum_{j=-3}^{n-1} a_{j} B_{j, 3}^{\prime}\left(x_{0}\right)=f_{0}^{\prime} \\ \sum_{j=-3}^{n-1} a_{j} B_{j, 3}\left(x_{i}\right)=f_{i}, \quad i=0,1, \cdots, n \\ \sum_{i=-3}^{n-1} a_{j} B_{j, 3}^{\prime}\left(x_{n}\right)=f_{n}^{\prime} \end{array}\right.$
求出 $a_{-3},\ldots,a_0,\ldots,a_{n-1}$ 这 $n+3$ 个系数，则得三次样条插值函数 $s(x)$ .

为了说明上式得系数矩阵特点并研究其解的存在唯一性，以及确定系数 $a_j$ 就必须了解 $B-$ 样条函数的性质。下面给出 $B-$ 样条函数的一些重要性质，其证明可根据 $B-$ 样条函数定义及差商性质得到。
性质1 递推关系
$B_{j, 0}(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1, & x \in\left(x_{j,}, x_{j+1}\right) \\ 0, & else \end{array}\right.$
$\begin{array}{r} B_{j, k}(x)=\frac{x-x_{j}}{x_{j+k}-x_{j}} B_{j, k-1}(x)+\frac{x_{j+k+1}-x}{x_{j+k+1}-x_{j-1}} B_{j-1, k-1}(x) \\ k=1,2, \cdots, m \quad(2.35) \end{array}$
性质2 正性与局部非零性

$B_{j, m}(x)=\left\{\begin{array}{cl} 0, & x \not\in\left[x_{j}, x_{j+m+1}\right] \\ bigger\ than\ 0, & x \in\left(x_{j}, x_{j+m+1}\right) \end{array}\right.$

性质3 规范性
$\sum_{j=-m}^{n-1} B_{j, m}(x)=\sum_{j=i-m}^{i} B_{j, m}\langle x)=1, \quad x_{i} \leqslant x \leqslant x_{i+1}$

性质4 $B-$ 样条的导数
当 $m=0,B'_{i,0}(x)=0$ ；当 $m\geq 1$ ( $m=1$ 时除 $x$ 为节点外)
$B_{f, m}^{\prime}(x)=m\left[\frac{B_{j, m-1}(x)}{x_{j+m}-x_{j}}-\frac{B_{j+1, m-1}(x)}{x_{j+m+1}-x_{j+1}}\right]$

内积空间与正交多项式

定义7 设 $[a,b]$ 为有限或无限空间, $\rho(x)$ 是定义在 $[a,b]$ 上的非负函数， $\int_{a}^{b} x^{k} \rho(x) d x$ 对 $k=0,1,\ldots$ 都存在，对非负 $f\in C[a,b]$ ,若 $\int_{0}^{b} f(x) \rho(x) d x=0$ 则 $f(x) \equiv 0$ ，称 $\rho$ 为 $[a,b]$ 上的权函数。

定义8 设 $f,g\in C[a,b]$ , $\rho$ 为 $[a,b]$ 上的权函数，定义
$(f, g)=\int_{a}^{b} f(x) g(x) \rho(x) \mathrm{d} x$
称为函数 $f$ 与 $g$ 的内积。

由内积定义得 $(f, f)=\int_{a}^{b} f^{2}(x) \rho(x) \mathrm{d} x=\|f\|_{2}^{2}$ , $\|\cdot\|_2$ 称为 $f$ 的加权欧式(Euclid)模或加权2-范数。当 $\rho(x)\equiv 1$ 时就是2-范数。

定理4 设 $\phi_0,\phi_1,\ldots,\phi_n\in C[a,b]$ ，则 $\phi_0,\phi_1,\ldots,\phi_n$ 在 $[a,b]$ 上线性无关的充分必要条件是 $det G_n\neq 0$ ,其中 $G_n=\left((\phi_i,\phi_j)\right)_{i,j}$ 其中 $(\cdot,\cdot)$ 表示内积。

定义若 $f,g\in C[a,b]，\rho$ 为 $[a,b]$ 上的权函数，若
$(f, g)=\int_{a}^{b} f(x) g(x) \rho(x) \mathrm{d} x=0$
则称 $f$ 与 $g$ 在 $[a,b]$ 上带权 $\rho$ 正交。若函数序列 $\{\phi_j\}_0^{\infty}$ 在 $[a,b]$ 上两两正交，即
$\left(\varphi_{i}, \varphi_{j}\right)=\left\{\begin{array}{l} 0, \quad i \neq j \\ A_{j} \neq 0, \quad i=j \end{array}\right.$
则称 $\{\phi_j\}^\infty_0$ 为正交函数族。

由于序列 $\{x^n\}_0^{\infty}$ 是线性无关的，利用正交化方法可以构造出在 $[a,b]$ 上带权正交的多项式序列 $\{\phi_n\}^\infty_0$ :
$\varphi_{0}(x)=1, \quad \varphi_{n}(x)=x^{n}-\sum_{k=0}^{n-1} \frac{\left(x^{n}, \varphi_{k}\right)}{\left(\varphi_{k}, \varphi_{k}\right)} \varphi_{k}(x), \quad n=1,2, \cdots.$
这样构造的正交多项式序列由以下性质：
(1) $\phi_n(x)$ 是最高项系数为1的 $n$ 次多项式
(2)任何 $n$ 次多项式均可表示为 $\phi_0,\phi_1,\ldots,\phi_n$ 的线性组合
(3)当 $n\neq m$ 时 $(\phi_n,\phi_m)=0$ 且 $\phi_n$ 与任一次数小于 $n$ 的多项式正交。
正交多项式还有以下的重要性质：

定理5 在 $[a,b]$ 上带权 $\rho$ 的正交多项式序列 $\{\phi_n\}^\infty_0$ ,若最高项 $x^n$ 系数为1，它便是唯一的，且由以下的递推公式确定：
$\varphi_{n+1}(x)=\left(x-a_{n}\right) \varphi_{n}(x)-\beta_{n} \varphi_{n-1}(x), \quad n=0,1, \cdots$
其中
$\begin{array}{c} \varphi_{0}(x)=1, \quad \varphi_{-1}(x)=0 \\ \alpha_{n}=\frac{\left(x \varphi_{n}, \varphi_{n}\right)}{\left(\varphi_{n}, \varphi_{n}\right)}, \quad n=0,1, \cdots, \quad \beta_{n}=\frac{\left(\varphi_{n}, \varphi_{n}\right)}{\left(\varphi_{n-1}, \varphi_{n-1}\right)} \\ n=1,2, \dots \quad(3,9) \end{array}$
这里 $\left(x p_{n}, \varphi_{n}\right)=\int_{a}^{b} x \varphi_{n}^{2}(x) \rho(x) \mathrm{d} x$

定理6 设 $\{\phi_n\}_0^{\infty}$ 是在 $[a,b]$ 上带权的正交多项式序列，则 $\phi_n(n\geq 1)$ 的 $n$ 个根都是单重实根，且都在区间 $(a,b)$ 内。

勒让德多项式

在区间 $[-1,1]$ 上权函数 $\rho(x)=1$ 的正交多项式称为勒让德多项式，其表达式为
$P_{0}(x)=1, \quad P_{n}(x)=\frac{1}{2^{n} n !} \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left\{\left(x^{2}-1\right)^{n}\right\}, \quad n=1,2, \cdots$
$P_n(x)$ 的首项 $x^n$ 的系数为 $\frac{(2n)!}{2^n(n!)^2},$ 记
$\tilde{P}_{0}(x)=1, \quad P_{x}(x)=\frac{n !}{(2 n) !} \frac{d^{n}}{d x^{2}}\left\{\left(x^{2}-1\right)^{n}\right\}, \quad n=1,2, \cdots$
则 $\tilde{P}_n(x)$ 是首项 $x^n$ 系数为 $1$ 的勒让德多项式。
勒让德多项式有许多重要的性质，特别有：

正交性
$\left(P_{n}, P_{m}\right)=\int_{-1}^{t} P_{n}(x) P_{m}(x) \mathrm{d} x=\left\{\begin{array}{l} 0, m\neq n \\ \frac{2}{2 n+1}, m=n \end{array}\right.$
递推公式
$(n+1) P_{n+1}(x)=(2 n+1) x P_{n}(x)-n P_{n-1}(x), \quad n=1,2, \dots$
其中 $P_0(x)=1,P_1(x)=x$ .

切比雪夫多项式

在区间 $[-1,1]$ 上权函数 $\rho(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 的正交多项式称为切比雪夫多项式，它可表示为
$T_{n}(x)=\cos (n \arccos x), \quad n=0, \quad 1, \quad \infty$
若令 $x=\cos \theta$ ,则 $T_n(x)=\cos n\theta,0\leq\theta\leq\pi$ ,这是 $T_n(x)$ 的参数表示。利用三角公式可将 $\cos n\theta$ 展成 $\cos \theta$ 的一个 $n$ 次多项式，故上式是 $x$ 的 $n$ 次多项式。下面给出 $T_n(x)$ 的主要性质：

正交性
$\left(T_{n}, T_{m}\right)=\int_{-1}^{1} \frac{T_{n}(x) T_{m}(x)}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=\left\{\begin{array}{ll} 0, & m \neq n \\ \frac{\pi}{2}, & m=n \neq 0 \\ \pi, & m=n=0 \end{array}\right..$
只要对积分做变换 $x=\cos\theta$ ,利用三角公式即可得到上式结果。
递推公式
$\begin{array}{c} T_{n+1}(x)=2 x T_{n}(x)-T_{n-1}(x), \quad n=1,2, \ldots \\ T_{0}(x)=1, \quad T_{1}(x)=x \end{array}$
奇偶性
$T_{n}(-x)=(-1)^{n} T_{n}(x)$
$T_n(x)$ 在 $(-1,1)$ 内的 $n$ 个零点为 $x_k=\cos\frac{2k-1}{2n}\pi,k=1,2,ldots,n$ ,在 $[-1,1]$ 上有 $n+1$ 个极点 $y_k=\cos\frac{k}{n}\pi,k=0,1,\ldots,n$
$T_n(x)$ 的最高次幂 $x^n$ 的系数为 $2^{n-1},n\geq 1$

其它正交多项式

第二类切比雪夫多项式

在区间 $[-1,1]$ 上权函数为 $\rho(x)=\sqrt{1-x^2}$ 的正交多项式称为第二类切比雪夫多项式，其表达式为
$u_{\mathrm{a}}(x)=\frac{\sin [(n+1) \arccos x]}{\sqrt{1-x^{2}}}, \quad n=0,1, \cdots$
也可表示为 $x=\cos\theta,u_n(x)=\frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$ ,它有递推公式
$u_{n+1}(x)=2 x u_{n}(x)-u_{n-1}(x), \quad n=1,2, \dots$
其中 $u_{0}(x)=1, \quad u_{1}(x)=2 x$ . $\{u_n\}$ 的正交性为
$\left(u_{n}, u_{m}\right)=\int_{-1}^{1} u_{n}(x) u_{m}(x) \sqrt{1-x^{3}} d x=\left\{\begin{array}{ll}0, & m \neq n \\ \frac{\pi}{2}, & m=n\end{array}\right.$

拉盖尔多项式

在区间 $\left[0,\infty\right)$ 上，权函数 $\rho(x)=e^{-x}$ 的正交多项式称为拉盖尔多项式，其表达式为
$L_{n}(x)=e^{x} \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n} e^{-y}\right), \quad n=0,1, \cdots$
它的递推公式为
$L_{n+1}(x)=(1+2 n-x) L_{n}(x)-n^{2} L_{n-1}(x), n=1,2, \dots$
其中 $L_0(x)=1,L_1(x)=1-x$ .正交性为
$\left(L_{n}, L_{m}\right)=\int_{\infty}^{\infty} L_{n}(x) L_{m}(x) e^{-x} d x=\left\{\begin{array}{ll} 0, & m \neq=n \\ (n !)^{2}, & m=n \end{array}\right.$

欸而米特多项式

在区间 $\left(-\infty,+\infty\right)$ 上，带权 $\rho(x)=e^{-x^2}$ 的正交多项式称为埃尔米特多项式，其表达式为
$H_{n}(x)=(-1)^{n} e^{x^2} \frac{d^{n}}{d x^{n}} e^{-x^{2}}.$
它的递推公式为
$H_{\pi+1}(x)=2 x H_{n}(x)-2 n H_{n-1}(x), \quad n=1,2, \cdots$
其中 $H_0(x)=1,H_1(x)=2x$ 正交性为
$\left(H_{2}, H_{12}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} H_{4}(z) H_{12}(x) e^{-x^{2}} \mathrm{d} x=\left\{\begin{array}{ll} 0, & m \neq n \\ 2^{n} n ! \sqrt{\pi}, & m=n \end{array}\right.$

函数的最佳平方逼近

最佳平方问题及其解法

设 $f\in C[a,b],\phi_0,\phi_1,\ldots,\phi_n$ 为 $C[a,b]$ 上 $n+1$ 个线性无关函数,记 $\phi=Span\{\phi_0,\phi_1,\ldots,\phi_n\}$ ,则对 $\forall \phi\in\Phi$ 有
$\varphi(x)=\sum_{j=0}^{n} a_{j} \varphi_{j}(x)$
用 $\phi$ 逼近 $f\in C[a,b]$ ，使满足
$\|f-\varphi\|_{2}^{2}=\int_{a}^{b}[f(x)-\varphi(x)]^{2} \rho(x) \mathrm{d} x=m \mathrm{in}$
其中 $\rho(x)$ 是 $[a,b]$ 上的权函数，这就是最佳平方逼近问题。若 $f$ 由函数表 $(x_i,f_i),i=0,1,\ldots,m(m>n)$ 给出，则最佳平方逼近问题是求 $\phi\in\Phi$ 使得
$\text { If }-\Phi_{i, 2}^{\cdot z}=\sum_{i=0}^{m}\left[f_{i}-\Phi\left(x_{i}\right)\right]^{2} \rho_{i}=\min$
这里 $\rho_i$ 是点 $x_i$ 处的权。

定义11 设 $f\in C[a,b]$ ,若存在 $\phi^*\in\Phi=Span\{\phi_0,\phi_1,\ldots,\phi_n\}$ 使
$\|f-\varphi *\|_{2}^{2}=\inf _{\varphi \in \Phi}\|f-\Phi\|_{2}^{2}$
则称 $\phi^*$ 为 $f$ 在 $\Phi$ 中的最佳平方逼近函数。

由定义知，求解 $\phi^*\in\Phi$ 等价于求多元函数
$F\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n}\right)=\int_{a}^{b}\left[\sum_{j=0}^{n} a_{j} \varphi_{j}(x)-f(x)\right]^{2} \rho(x) \mathrm{d} x$
的极小值。由于 $F$ 是关于参数 $a_0,a_1,\ldots,a_n$ 的二次函数，由多元函数极值必要条件得
$\frac{\partial F}{\partial a_{k}}=2 \int_{a}^{b}\left[\sum_{j=0}^{n} a_{j} \varphi_{j}(x)-f(x)\right] \varphi_{k}(x) \rho(x) \mathrm{d} x=0, \quad k=0,1,\ldots,n$
于是有
$\sum_{j=0}^{n}\left(\varphi_{j}, \varphi_{k}\right) a_{j}=\left(f, \quad \varphi_{k}\right), \quad k=0,1, \cdots, n$
这是关于 $a_0,a_1,\ldots,a_n$ 的线性方程组，称为法方程。由于 $\phi_0,\phi_1,\ldots,\phi_n$ 线性无关，由定理知上式得系数矩阵非奇异，故方程组有唯一解 $a_=a_k^*,k=0,1,\ldots,n$ 于是有
$\varphi^*(x)=a_{0}^{*} \varphi_{0}(x)+a_{1}^{*} \varphi_{1}(x)+\dots+a_{n}^{*} \varphi_{n}(x)$

记 $\delta (x)=f(x)-\phi^*(x)$ ,称 $\|\delta\|^2_2$ 为最佳平方逼近误差，简称平方误差，由于 $(f-\varphi *, \varphi *)=0$ ，故 $\|\mathbf{d}\|_{2}^{2}=(f-\varphi *, f-\Phi *)=(f, f)-(\varphi *, f)=\| f \|^2_2 -\sum_{j=0}^{*} a_{k}^{*}\left(\varphi_{k}, f\right)$

作为特例，若取 $\phi_k(x)=x^k,k=0,1,\ldots,n$ 区间取 $[0,1],\rho(x)=1$ .此时 $f\in C[0,1]$ 在 $\Phi-H_u=Span\{1,x,\ldots,x^n\}$ 上得最佳平方逼近多项式为
$p_{n}^{*}(x)=a_{0}^{*}+a_{1}^{*} x+\dots+a_{n}^{*} x^{n}$
$\left(f, \Phi_{k}\right)=\int_{0}^{1} f(x) x^{k} \mathrm{d} x=d_{k}, \quad k=0,1, \cdots, x$
此时由于
$\left(\varphi_{j}, \varphi_{k}\right)=\int_{0}^{1} x^{j+k} \mathrm{d} x=\frac{1}{j+k+1}, \quad j, k=0,1, \cdots, n$
对应得 $H_n$ 中元素 $h_{i,j}=\frac{1}{i+j-1}$ .称为希尔伯特矩阵。
此时法方程为 $H_n a =d$ 它的解为 $a_k=a_k^*,k=0,1,\ldots,n$ 由此则得最佳平方逼近多项式 $p^*_n(x)$ .

由于 $H_n$ 是病态矩阵，在 $n\geq 3$ 时直接解法方程误差很大，因此当 $\phi_k(x)=x^k$ 时解法方程方法只适合 $n\leq 2$ 的情形，对 $n\geq 3$ 可用正交多项式作 $\Phi$ 的基求解最佳平方逼近多项式。

用正交函数族做平方逼近

如使用勒让德多项式逼近得到的多项式和由 $1,x,\ldots,x^n$ 为基得到的 $p^*_n(x)$ 是一致的，但此处不用解病态法方程，且在所有系数为1 的n次多项式中，勒让德多项式在 $[-1,1]$ 上与零的平方误差最小

曲线拟合的最小二乘法

当 $f$ 是由实验或观测得到的，其函数通常是由表格 $x_i,f_i,i=0,1,\ldots,m$ 给出.若要求曲线 $y=\phi(x)$ 逼近 $y=f(x)$ ,通常由于观测有误差，因此 $s_i=\phi(x_i)-f_i=0$ 不一定成立，当只要求 $\|\delta\|^2_2=min$ 就是曲线拟合的最小二乘问题。此时求 $\phi^*(x)$ 的问题等价于求多元函数
$\left.F\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n}\right)=\sum_{i=0}^{m} \sum_{j=0}^{n} a_{j} \varphi_{j}\left(x_{i}\right)-f_{i}\right]^{2}$
的极小值，和之前一样可以得到法方程：
$\sum_{j=0}^{n}\left(\varphi_{j}, \varphi_{k}\right) a_{j}=\left(f, \varphi_{k}\right), \quad k=0,1, \cdots, n$
只是这里内积 $(\cdot,\cdot)$ 由积分换成和式，即
$\left\{\begin{array}{l} \left(\varphi_{j}, \varphi_{k}\right)=\sum_{i=0} ^{m} \varphi_{j}\left(x_{i}\right) \varphi_{k}\left(x_{i}\right) \rho_{i} \\ \left(f, \varphi_{k}\right)=\sum_{i=0}^{m} f_{i} \varphi_{k}\left(x_{i}\right) \rho_{i} \end{array}\right.$

周期函数逼近与快速傅里叶变换

周期函数的最佳平方逼近

当 $f$ 为周期函数时，用三角多项式逼近比用代数多项式更合适。
在离散点集 $\left\{x_{k}=\frac{2 \pi}{N} k\right\}_{0}^{N-2}.$ 上给出函数值 $f(\frac{2\pi k}{N}),k=0,1,\ldots,N-1$ 可以证明，当 $2n+1\leq N$ 时三角函数族 $\{1,\cos x,\sin x,\ldots,\cos nx,\sin nx\}$ 为离散点集 $\{x_j=\frac{2\pi j}{N} \} _0^{N-1}$ 的正交函数族.于是给出此时最小二乘解的系数，
$\left\{\begin{array}{l} a_{k}=\frac{2}{N} \sum_{j=0}^{N-1} f\left(\frac{2 \pi j}{N}\right) \cos \frac{2 \pi k j}{N}, k=0,1, \cdots, n \\ b_{k}=\frac{2}{N} \sum_{j=0}^{N-1} f\left(\frac{2 \pi j}{N}\right) \sin \frac{2 \pi k j}{N}, k=1,2, \cdots, n \end{array}\right.$
特别的，当 $2n+1=N$ 时，则有
$\boldsymbol{s}_{n}\left(x_{j}\right)=f\left(x_{j}\right), \quad j=0, \quad 1, \quad \cdots, \quad N-1$
此时 $s_n(x)$ 就是三角插值多项式.
更一般情形，假设 $f$ 是以 $2\pi$ 为周期的复值函数， $f(\frac{2\pi j}{N})$ 已知，令 $\phi_k(x)=e^{ikx}$ 则关于节点正交，从而由离散傅里叶正变换逆变换(Discrete Fourier Transformation, DFT)。

快速傅里叶变换(FFT)

上一节的傅里叶分析都可以归结为计算
$C_{j}=\sum_{k=0}^{N-1} B_{k} W^{k j}, \quad j=0,1, \cdots, N-1$
需要 $N^2$ 次复数乘法， $N(N-1)$ 次复数加法。
FFT的思想是尽量减少式子中乘法次数，注意到 $W$ 是 $N$ 等分复平面单位圆上的一点，且 $W^N=1,$ 所以 $\{W^{jk}\}=W^r$ 只有 $N$ 个不同值 $W^0,W^1,\ldots,W^{N-1}$ ，特别当 $N=2^m$ 时，只有 $\frac{N}{2}$ 个不同值，因此可把同一个 $W^r$ 对应的 $B_k$ 相加后再乘 $W^r$ ,这就能大量减少乘法次数。
下面介绍 $N=2^m$ 时的算法，把 $k,j$ 分别用二进制表示为
$\begin{array}{l} k=k_{m-1} 2^{m-1}+\dots+k_{1} 2^{1}+k_{0} 2^{\iota}=\left(k_{m-1} \dots k_{1} k_{0}\right) \\ j=j_{m-1} 2^{m-1}+\dots+j_{1} 2^{1}+j_{0} 2^{0}=\left(j_{m-1} \dots j_{1} j_{8}\right) \end{array}$
其中 $k_{r}, \quad j_{r}(r \Rightarrow 0, \quad 1, \quad \dots, \quad m-1\rangle$ 只能取0或1，相应地令
$C_{j}=C(j)=C\left(j_{m-1} \cdots j_{1} j_{0}\right), \quad B_{k}=B_{0}(k)=B_{0}\left(k_{m-1} \cdots k_{1} k_{0}\right)$
$\begin{aligned} W^{*} y &=W\left(k_{n-1} \cdots k_{1} k_{0}\right)\left(j_{m-1} \cdots j_{1} j_{0}\right) \\ &=W^{j} 0\left(k_{m-1} \cdots k_{1} k_{11}\right)+j_{1}\left(k_{m-2} \cdot k_{0} 0\right)+\cdots+j_{m-1}\left(k_{0} 0 \quad 0\right) \end{aligned}$
于是原式可分为 $m$ 层求和，即
$\begin{aligned} C(j) &=\sum_{k=0}^{K-1} B_{0}(k) W^{k j} \\ &=\sum_{k_{0}=0}^{1}\left\{\sum_{k_{1}=0}^{1} \dots\left(\sum_{k_{m-1}=0}^{1} B_{0}\left(k_{m-1} \dots k_{1} k_{0}\right) W^{j_{0}\left(k_{m-1} \cdots p_{0}\right)}\right)\right. \end{aligned}$
$\left.W_{1}\left(k m-2 ; k_{0} 0\right) \ldots 0\right\} W^{3} m-1\left(k_{0} 0 \cdots 0\right)$
当 $N=2^{10}$ 时，它是非快速算法运算量地 $\frac{1}{230}$

最佳一致逼近

最佳一致逼近多项式

定义12 设 $f\in C[a,b],p_n\in H_n=Span\{1,x,\ldots,x^n\}$ 称
$\Delta\left(f, p_{n}\right)=\left\|f-p_{n}\right\|_{\infty}=\max _{a \rightarrow x_{i-h}}\left|f(x)-p_{n}(x)\right|$
为 $p_n$ 与 $f$ 的偏差：
$E_{n}=\inf _{P_{n}\in H_n}\Delta\left(f, p_n\right)=\min _{P_n \in H_{n}} \Delta\left(f, \quad p_{n}\right)$
定义13 设 $f\in C[a,b]$ ，若存在 $p^*_n\in H_n$ 使
$\Delta\left(f, p_{n}^{*}\right)=E_{n}=\inf _{P_{n} \subset H_n} \Delta\left(f, p_{n}\right)$
则称 $p_n^*$ 为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的最佳一致逼近多项式。
定理 8 若 $f \in C[a,b],p\in H_n$ 若 $\exists x_0\in [a,b]$ 使
$\left|f\left(x_{0}\right)-p\left(x_{0}\right)\right|=\Delta(f, \quad p)=\max _{a: x<i}|f(x)-p(x)|=\mu$
则称 $x_0$ 是 $p$ 关于 $f$ 的偏差点。
若 $p(x_0)-f(x_0)=\mu$ ，则称 $x_0$ 为正偏差点；
若 $p(x_0)-f(x_0)=-\mu$ ,则称 $x_0$ 为负偏差点。

定理8(切比雪夫) $p^*_n\in H_n$ 是 $f\in C[a,b]$ 的最佳逼近多项式的充分必要条件是，在 $[a,b]$ 上至少有 $n+2$ 个轮流为正负的偏差点，即至少有 $n+2$ 个点 $a\leq x_1< x_2<\ldots<x_{n+2}\leq b$ 使得
$\begin{aligned} &p_{*}^{*}\left(x_{k}\right)-f\left(x_{k}\right)=(-1)^{k} \sigma \left\|f-p_{n}^{*}\right\| _{\infty}, \quad \sigma=\pm 1; &k=1,2, \cdots, n+2 \end{aligned}$
上述点 $\{x_k\}^{n+2}_1$ 称为切比雪夫交错点组。

推论1(唯一性定理) 设 $f \in C[a,b]$ ,则在 $H_n$ 中的最佳逼近多项式是唯一的。

推论2 若 $f\in C[a,b]$ ，则其最佳逼近多项式 $p^*_n(x)\in H_n$ 是 $f$ 的一个拉格朗日插值多项式

切比雪夫定理从理论上给出了求最佳一致逼近多项式方法，但当 $n\geq 2$ 时计算是很困难的，Remes给出了一种逐次逼近的算法。
设 $f(x)\in C[a,b]$ 的最佳逼近多项式为
$p_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n} a_{k} x^{k}$
又设它的 $n+2$ 个点 $a<x_1<x_2<\ldots<x_{n+2}\leq b$ 为切比雪夫交错点组，最小偏差为 $E_n$ 由定理可得方程。
$\sum_{k=0}^{n} a_{k} x_{j}^{k}-f\left(x_{j}\right)=(-1)^{j} \sigma E_{n}, \quad \sigma=\pm 1$
$\begin{aligned}\left(x_{1}-a\right)\left(x_{n+2}-b\right)\left[f^{\prime}\left(x_{j}\right)-p_{n}^{\prime}\left(x_{j}\right)\right] &=0 \\ j=1,2, \ldots, & n+2 \end{aligned}$
这是关于 $x_1,\ldots,x_{n+2},a_0,\ldots,a_n,E_n$ 的 $2n+4$ 个未知量的 $2n+4$ 个方程 $\ldots$ (参考书本p54，这个方法也很复杂，很少用)

零偏差最小多项式及其应用

定理10 所有最高项系数为1的 $n$ 次多项式中，在区间 $[-1,1]$ 上与零偏差最小的多项式是 $\tilde{T}_n(x)$ 这里 $\tilde{T}_n$ 是最高项系数为1的切比雪夫多项式， $\tilde{T}_n(x)=\frac{1}{2^{n-1}}T_n(x)$

用切比雪夫多项式 $T_{n+1}(x)$ 的零点作差值的插值多项式，余项具有极小化性质。

函数按切比雪夫多项式展开

由于切比雪夫多项式 $T_n(x)$ 具有零偏差最小的性质，因此若将 $f\in C[-1,1]$ 直接按 $\{T_n\}^\infty_0$ 展开并用它逼近 $f$ ，也可得到近似的最佳逼近多项式。由于 $\{T_n\}^{\infty} _0$ 是在 $[-1,1]$ 上的带权 $\rho(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 正交函数族。

有理逼近

有理逼近与连分式

可以有效减少运算量

有理插值

设给定 $f(x)$ 在 $n+m+1$ 个互异节点 $x_i(i=0,1,\ldots,n+m)$ 上的值 $f(x_i)$ ,要求一个有理函数
$R_{n m}(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{n}(x)}=\frac{\sum_{k=0}^{n} a_{k} x^{k}}{\sum_{k=0}^{m} b_{k} x^{k}}$
使 $R_{n m}\left(x_{i}\right)=f\left(x_{i}\right), \quad i=0, \quad 1, \quad \cdots, \quad n+m$ ,实际上只有 $n+m+1$ 个独立参数。对有理插值，首先要研究解的存在唯一性问题，其次使如何构造插值函数，第三是误差估计问题。
构造反差商进行计算。

帕德逼近

定理11 设 $f\in C^{n+1}[-a,a]$ ，则插值问题等价于在 $H_n$ 中求 $p(x)=c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n$ ,使
$|f(x)-p(x)| \cdots=\frac{1}{(n+1) !}\max_{-a\leq x\leq a}\left|f^{(n+1)}(x)\right||x|^{n+1}$
推广上述多项式插值到有理函数插值，假定 $f(x)$ 在 $(-a,a)$ 上具有 $N=n+m+1$ 阶导数,则有
定义16 设 $f\in C^N(-a,a),N=n+m+1$ 如果有理函数
$R_{\mu \rightarrow a}(x)=\frac{a_{0}+a_{1} x+\dots+a_{x} x^{n}}{1+b_{1} x+\dots+b_{m} x^{m}}=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}$
其中 $P_n,Q_m$ 互质且满足条件
$R_{n m}^{(k)}(0)=f^{(k)}(0), \quad k=0, \quad 1, \quad \infty, \quad n+m$
则称 $R_{nm}(x)$ 为函数 $f$ 在 $x=0$ 处的 $(n,m)$ 阶帕德逼近，记作 $R(n,m)$
定理12 设 $R_{nm}(x)$ 是由上上式定义的，函数 $f\in C^N(-a,a),N=n+m+1$ 令
$h(x)=p(x) Q_{m}(x)-P_{n}(x)$
其中 $p(x)=\sum_{k=0}^{n+m} \frac{1}{k !} f^{(k)}(0) x^{k}$ ，则差值条件成立的充分必要条件是 $h^{(k)}(0)=0,k=0,1,\ldots,n+m$
定理13 设 $f\in C^N(-a,a),N=n+m+1$ ,则有理函数 $R_{nm}(x)$ 是 $f$ 的 $(n,m)$ 阶Pade逼近的充分必要条件是，多项式 $P_n$ 及 $Q_m$ 的系数 $a_0,a_1,\ldots,a_n$ 及 $b_1,\ldots,b_m$ 满足下列线性方程组
$a_{n}-\sum_{j=0}^{n-1} c_{j} b_{k-j}=c_{k+1} \quad k=0, 1, \dots n+m$
其中 $c_j=\frac{1}{j!}f^{(j)}(0)$ 。当 $j>n$ 时 $a_j=0$ ; $j>m$ 时 $b_j=0,b_0=1$ .

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