一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。
问题：给定两个序列X和Y，找出二者的最长公共子序列。
请设计动态规划，备忘录和递归三个算法。
B,C,B,A B,D,A,B B,C,A,B 均正确
动态规划解决：
1、二维数组c[i][j]表示：X的前i个序列，和Y的前j个序列的最长公共子序列的长度
2、数组打底：当其中有一个长度为0的时候，c[i][0]=c[0][j]=0
3、递推式：
#include<stdio.h>
#define M 7 // X的长度
#define N 6 // Y的长度
void LCSLength(char* X,char* Y,int** c,int** b){
for(int i=0;i<=M;i++){
c[i][0]=0; //表示Yj为空序列，自然没有公共子序列，赋值为0
b[i][0]=1; //表示第一种情况
}
for(int i=0;i<=N;i++){
c[0][i]=0; //表示Xi为空序列，自然没有公共子序列，赋值为0
b[0][i]=1; //表示第一种情况
}
for(int i=1;i<=M;i++){
for(int j=1;j<=N;j++){
if(X[i-1]==Y[j-1]){
c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
b[i][j]=2;
}else if(c[i-1][j]>c[i][j-1]){ //c[i-1][j]是情况3，c[i][j-1]是情况4
c[i][j]=c[i-1][j]; //哪个大要哪个！
b[i][j]=3;
}else{
c[i][j]=c[i][j-1]; //哪个大要哪个！
b[i][j]=4;
}
}
}
}
void LCS(char* X,int** b,int m,int n){ //输出最长公共子序列
if(m==0||n==0){ //要从后往前找,某一个序列找到头了，就结束
return;
}
if(b[m][n]==1){
return;
}else if(b[m][n]==2){
LCS(X,b,m-1,n-1);
printf("%3c",X[m-1]);
}else if(b[m][n]==3){
LCS(X,b,m-1,n);
}else{
LCS(X,b,m,n-1);
}
}
int main(){
char X[M]={'A','B','C','B','D','A','B'};
char Y[N]={'B','D','C','A','B','A'};
int **c=new int *[M+1]; //c数组表示Xi序列和Yj序列的最长公共子序列长度
int **b=new int *[M+1]; //b数组表示哪一种子问题解决的 1？2？3？4?
for(int i=0;i<M+1;i++){
c[i]=new int[N+1];
b[i]=new int[N+1];
}
LCSLength(X,Y,c,b);
printf("最长公共子序列长度为%d\n",c[M][N]);
LCS(X,b,M,N);
return 0;
}
运行截图
递归解决：
当数组a和b对应位置字符相同时，则直接求解下一个位置；当不同时取两种情况中的较大数值。
只能求个数，不能求出具体的序列
#include<stdio.h>
#define M 7
#define N 6
int LCSLength(char* X,char* Y,int m,int n){
int temp=0;//记录最长公共子序列的个数
if(m<0||n<0)
return 0;
if(X[m]==Y[n]){
temp=1+LCSLength(X,Y,m-1,n-1);
}
else{
int a=LCSLength(X,Y,m-1,n);
int b=LCSLength(X,Y,m,n-1);
if(a>b)
temp+=a;
else
temp+=b;
}
return temp;
}
int main(){
char X[M]={'A','B','C','B','D','A','B'};
char Y[N]={'B','D','C','A','B','A'};
printf("最长公共子序列长度为%d\n",LCSLength(X,Y,M-1,N-1));
return 0;
}
运行截图
备忘录解决
在递归的基础上改成备忘录是很容易的，无非就是找个数组把过程的值记录下来，每次递归先看这个数有没有被记录。若记录了，直接return，否则计算好，放进数组，再return
递归过程中，数组尽量定义成全局的，否则容易溢出导致程序直接死了
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define M 7
#define N 6
int c[M][N]; //定义成全局的，不再递归传递，程序就正常了
int LCSLength(char* X,char* Y,int m,int n){
if(c[m][n]>0)
return c[m][n];
else if(m<0||n<0)
return 0;
if(X[m]==Y[n])
c[m][n]=1+LCSLength(X,Y,m-1,n-1);
else{
int a=LCSLength(X,Y,m-1,n);
int b=LCSLength(X,Y,m,n-1);
c[m][n]=a>b?a:b;
}
return c[m][n];
}
int main(){
char X[M]={'A','B','C','B','D','A','B'};
char Y[N]={'B','D','C','A','B','A'};
memset(c,0,sizeof(c));
printf("最长公共子序列长度为%d\n",LCSLength(X,Y,M-1,N-1));
return 0;
}
运行截图
