最长公共子序列和子串(动态规划)


来源:http://blog.csdn.net/hrn1216/article/details/51534607

写得特别好!


最长公共子序列:

一个给定的序列的子序列,就是将给定序列中零个或多个元素去掉之后得到的结果,即可以不连续。

最长公共子串:

给定串中任意个连续的字符组成的子序列称为该串的子串。

子序列和子串



动态规划

求解LCS问题,不能使用暴力搜索方法。一个长度为n的序列拥有 2的n次方个子序列,它的时间复杂度是指数阶,太恐怖了。解决LCS问题,需要借助动态规划的思想。

动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。

在这类问题中,可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值,我们希望找到具有最优值的解。

动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。

与分治法不同的是,适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的。

若用分治法来解这类问题,则分解得到的子问题数目太多,有些子问题被重复计算了很多次。

如果我们能够保存已解决的子问题的答案,而在需要时再找出已求得的答案,这样就可以避免大量的重复计算,节省时间。

我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到,只要它被计算过,就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。


特征分析

解决LCS问题,需要把原问题分解成若干个子问题,所以需要刻画LCS的特征。

设A=“a0,a1,…,am”,B=“b0,b1,…,bn”,且Z=“z0,z1,…,zk”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质:

如果am=bn,则zk=am=bn,且“z0,z1,…,z(k-1)”是“a0,a1,…,a(m-1)”和“b0,b1,…,b(n-1)”的一个最长公共子序列;

如果am!=bn,则若zk!=am,蕴涵“z0,z1,…,zk”是“a0,a1,…,a(m-1)”和“b0,b1,…,bn”的一个最长公共子序列;

如果am!=bn,则若zk!=bn,蕴涵“z0,z1,…,zk”是“a0,a1,…,am”和“b0,b1,…,b(n-1)”的一个最长公共子序列。



递归公式

第3节说了LCS的特征,我们可以发现,假设我需要求 a1 ... am 和 b1 .. b(n-1)的LCS 和 a1 ... a(m-1) 和 b1 .. bn的LCS,一定会递归地并且重复地把如a1... a(m-1) 与 b1 ... b(n-1) 的 LCS 计算几次。所以我们需要一个数据结构来记录中间结果,避免重复计算。

假设我们用c[i,j]表示Xi 和 Yj 的LCS的长度(直接保存最长公共子序列的中间结果不现实,需要先借助LCS的长度)。其中X = {x1 ... xm},Y ={y1...yn},Xi = {x1 ... xi},Yj={y1... yj}。可得递归公式如下:


计算LCS的长度

这里我不打算贴出相应的代码,只想把这个过程说明白。还是以s1={1,3,4,5,6,7,7,8},s2={3,5,7,4,8,6,7,8,2}为例。我们借用《算法导论》中的推导图:

图中的空白格子需要填上相应的数字(这个数字就是c[i,j]的定义,记录的LCS的长度值)。填的规则依据递归公式,简单来说:如果横竖(i,j)对应的两个元素相等,该格子的值 = c[i-1,j-1] + 1。如果不等,取c[i-1,j] 和 c[i,j-1]的最大值。首先初始化该表:

然后,一行一行地从上往下填:

S1的元素3 与 S2的元素3 相等,所以 c[2,1] = c[1,0] + 1。继续填充:

S1的元素3 与 S2的元素5 不等,c[2,2] =max(c[1,2],c[2,1]),图中c[1,2] 和 c[2,1] 背景色为浅黄色。继续填充:

中间几行填写规则不变,直接跳到最后一行:

至此,该表填完。根据性质,c[8,9] = S1 和 S2 的 LCS的长度,即为5。


构造LCS

本文S1和S2的最LCS并不是只有1个,本文并不是着重讲输出两个序列的所有LCS,只是介绍如何通过上表,输出其中一个LCS。

我们根据递归公式构建了上表,我们将从最后一个元素c[8][9]倒推出S1和S2的LCS。

c[8][9] = 5,且S1[8] != S2[9],所以倒推回去,c[8][9]的值来源于c[8][8]的值(因为c[8][8] > c[7][9])。

c[8][8] = 5,  且S1[8] = S2[8], 所以倒推回去,c[8][8]的值来源于 c[7][7]。

以此类推,如果遇到S1[i] != S2[j] ,且c[i-1][j] = c[i][j-1] 这种存在分支的情况,这里请都选择一个方向(之后遇到这样的情况,也选择相同的方向)。

第一种结果为:

这就是倒推回去的路径,棕色方格为相等元素,即LCS = {3,4,6,7,8},这是其中一个结果。

如果如果遇到S1[i] != S2[j] ,且c[i-1][j] = c[i][j-1] 这种存在分支的情况,选择另一个方向,会得到另一个结果。

即LCS ={3,5,7,7,8}。


关于时间复杂度

构建c[i][j]表需要Θ(mn),输出1个LCS的序列需要Θ(m+n)。


最长公共子串:

dp[i][j]:表示X的i位与Y的j位之前的最大公共子串长度。





动态转移方程为:

如果xi == yj, 则 c[i][j] = c[i-1][j-1]+1

如果xi ! = yj,  那么c[i][j] = 0









http://url.cn/4E4G5LG

http://blog.csdn.net/hrn1216/article/details/51534607   (超级赞)

http://blog.csdn.net/rrrfff/article/details/7523437     

http://www.2cto.com/kf/201705/638838.html


https://segmentfault.com/a/1190000007963594


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