随笔杂记，看情况持续更新……
缘由
1、应学校要求，开设数学社团课，要求不仅仅局限于当下所学内容，而是以更高的维度审视数学及相关学科的内在关联与核心思想；
2、思来想去，最后选择了《逻辑学》。因为数学乃至其他科学中，大量的知识都与此紧密相关，比如：定义与分类，什么是命题（真假命题、逆命题、否命题…），推理与论证（初中几何推导，演绎推理、归纳推理…），证实与证伪，公理化体系，反证法，以及高中的集合与逻辑用语等等；
3、还有一个原因是基于实际教学经验，对于一些思维较弱的学生，在初学几何证明时，遭遇到了非常大的认知冲突：什么是“证明”？为什么要“证明”？如何才能算“证明”？这些非常陌生的内容，强行进入的结果就是巨大的不适应。
4、为了增加趣味性，我在课上大量引用了非数学案例，结果很受学生欢迎，并且随着课程的进行，发现内容可以更丰富一些，与数学学科，主要是思维方面的联系更紧密，自然也会更有意义。再后来，还可以跟学生们讨论应该如何更有效地学习……总之，越发觉得这门课的意义，细细打磨，完全可以做成一个小初衔接的课程。
反思小学与初中的区别
1、初中以后，学生逐步进入形式运算阶段，已具备一般科学意义上的思维方式的基础；
2、与此生理特点相配套的是，初中数学的设置相比小学高度形式化、抽象化，这对学生也提出了更高的要求。
3、都说初中比小学难在知识，其实是难在思维方式的转变，这才是许多学生跟不上节奏的更深层次原因。
4、尽管说初中学生已经进入形式运算阶段，但这只能算是理论基础，由理论到实际，还需要一个逐步转变的过程，而且学生个体间存在差异性；
5、再对比初中与高中，在思维方式上反而没有太多的区别，高中的绝大多数数学思想，其实已经在初中有所体现，最大的区别就是知识的难度了。
6、初中知识毕竟还不是太多，靠死记、机械训练，多半还可以应付，但如果不掌握正确的学科核心素养，到了高中，弊端就会显露无疑。
7、总之，小初衔接，尤其是思维方式的转化，是个值得老师思考的大问题。
社团课的思考
1、说了那么多，到底该怎么办呢？既然是思维问题，最原滋原味的思维逻辑，除了基础的“逻辑哲学”还能有谁呢？当然了，“逻辑哲学”涵盖甚广，还是要聚焦到数学（哲学）及科学（哲学）上来——此为内容核心；
2、既然是帮助学生转变思维，就要以学生现有状态为基础，基于学生发展学生。结合学生认知心理学，将这些形式化的逻辑系统，以学生能够接受的方式带给学生。先从实例引入，尽量少强调概念。——此为引导方式。
社团课的内容安排（随上课持续更新）
第一讲 逻辑源于人类理智的自我反省
1.1 逻辑缘起：语言是引起误会的根源——人类思维与语言的不完美——逻辑源于人类理智的自我反省；
（1）引例：生活中常见的悖论——说谎者悖论；
公元前6世纪，一位古希腊克里特岛人说了这么一句话：
“所有的克里特岛人都说慌。”
那么他究竟说了一句真话还是假话呢？
通过一个简单的例子，引出“悖论”的概念：表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论。不过多的展开，只是让学生有一个大致了解。
一开始，学生肯定会很好奇，去尝试着思考其中的缘由，可适当给一点时间。
后续还有更加有意思的“悖论”。
（2）芝诺悖论——等比数列求和，简单解释；
这个问题中，并不会永远下去，按照论述中的说法，其实是一个等比数列，其和存在极限值。具体的计算学生尚不能理解，但大致思想可以接受。公布结果后，学生的反应会非常激动，原来数学这么厉害。
（3）半费之讼。
……
目标：通过一些有趣的案例，引导学生得到这样一个认识：我们赖以交流的语言，其实是不完善的，很多时候，误会恰恰就因为语言而产生。
首先需要明确，以上出现的问题，并非语法上的错误，那么，我们该怎么办呢？——为了正确地使用语言和思维，为了使理性的交流能够顺利进行，人们是否应当遵守某些一般的原则、假定或者规律？
引出后续内容：同一律、矛盾律、排中律。
花絮：在上课时，我有意跟学生强调了这样一点——逻辑，主要在“理”，但我们的生活却不只有“理”，还有“情”，请同学们善待之。然后一个同学马上说到，“是不是合情合理最好了”。我笑着回答，生活上的事情，能够既合情又合理，那真真是最好不过了。
杂思：上完课后回想，整个数学体系，不就是一门非常严谨的语言吗？那么一门如此严谨，每一步都能解释的清清楚楚的语言，按理说，不应该那么难以接受的，至少对于小初中的数学内容来说，可结果却并非如此，为什么呢？最可能的原因恐怕是，我们并非以严谨的方式去对待数学，而是将之作为一个工具记忆、操练。偏离的越远，学生学起来会越费劲、越痛苦，越不知所以。
要知道，数学这门语言，并非天生如此严谨，光大的数学危机就发生了3次，对细节的补充与完善，更是不计其数。言外之意，数学这门课，其实有生命的，有一定的成长轨迹的，我们称之为数学历史发生学：这些数学内容是如何产生的？（等同于人类为什么要发明出这些内容？），为什么是这种形式？为什么要那样规定？……总之，这一切虽不能说完全有迹可循，但也绝非说不清道不明。
我有时候会跟学生开玩笑说，兵法有云：知己知彼，百战不殆。学数学也是这样的，这些数学定义、定理到底是干嘛的，为什么要这样子，其实是有背景的，了解了这个背景，理解起来就会容易很多。起初的我，觉得这样子就很好了，但是团队的理念却是向前更进一步：创设符合学生认知的背景（其实就是学生的已有观念基础+新的认知冲突），引导学生自主建构，发明数学！这是多么精妙的想法！
对比一下三种不同的教学模式：
（1）不问缘由，不重视理解，背诵+机械操练；
（2）重视理解，但以老师为主，或者说以“客观知识为中心”；
（3）“以学习者为中心”，以学生为主，发明数学、建构数学，老师起辅助、引导作用。
我们总说，真正的学习，就是把学校学习的一切都忘掉后剩下的，以上三种学习方法中，显然第三种剩下的会更多一些。
跟随团队两年多以来，早已接受这种学习理念，因此有意识地按照这种方法，准备这门逻辑学社团课。过程中，不断体会到不同学科内在逻辑的相似性，或者说更普遍的分析方法的相似性。无奈水平有限，暂时还不能清楚的表达出来。
持续修炼吧……
1.2 同一律：你们说的是一回事吗？
（1）引例——数学中的问题。
（2）稻草人谬误；
（3）违反同一律的几种可能——承前启后，引向概念；
（4）数学案例——什么是“点”？——引向概念不明、定义的意义；
明确的定义是研究的起点，如果连要研究的对象都说不清道不明，怎么能够通过逻辑推导的方式进一步研究呢？
这一点在数学上尤其重要，其实其他学科，乃至生活中，我们也需要这样的逻辑思维。有时候两个人争吵，你说你的，我说我的，两个人的点完全不在一起，怎么能够争出个一二三来呢？
此处的最主要目的，是为了让学生们意识到“下定义”的重要意义，在后续的初中几何学习中，定义都是研究的起点。举一个最简单的例子，学生很熟悉，等腰三角形的两条腰相等，两个底角相等，但是他们并不清楚，前者是定义，后者是性质，定义不需要证明，但性质需要推导。
但是，在学习过程中，冒然给出定义，绝不是很好的学习方法，这不符合学生的认知发展规律。展开来，用大白话说就是，要研究的对象是什么？有什么意义？为什么要这么定义？……这一列问题都没有解决，学习的基础是不可能扎实的。
（5）生活中的概念不明。
其实，生活中的“概念不明”与数学关系不大，从这个角度看，完全可以不用提，之所以要提到这点，是想给学生做一些拓展，毕竟教育是整全的。
1.3 矛盾律：我与你不共戴天！
（1）引例：矛与盾的故事；
（2）案例：上帝是万能的吗？
（3）玻璃到底是谁打碎的——它们真的矛盾吗？
（4）何为矛盾？矛盾一定是贬义吗？数学中的“矛盾”？二元、三元、四元等对立，韦恩图；
引向数学中以后，其实已经偏离了“矛盾”的一般意义，主要是关于概念之间的逻辑关系。
矛盾——互斥——井水不犯河水——数学理论体系的必然要求。
此处跳跃略大，为了防止学生懵圈，记得多强调一下。
此处如何更好的衔接，还需要再打磨……
（5）分数与整数的关系——互斥与分类
分类思想基本原则——不重不漏，“不重”即各部分之间要“互斥（或者矛盾吧）”，“不漏”即表示不要遗漏。
通过分类，我们可以清清楚楚辨析各对象/概念之间的关系，但是，我们只有对各对象/概念有了一定的认识之后才会合理的分类。可见，二者是相辅相成的关系。
在发明、创造各概念之初，人们其实并没有考虑彼此之间的关系，只有等整合、梳理时，为了体系的严谨，才会添加一些人为规定，将概念进行分类。
就拿分数与整数的关系，初一时，我们曾讨论过一个问题，我们为什么要规定整数不是分数？等到学习无理数后，又把有理数统一表示成q/p（整数比）的形式呢？
可见，概念的生成，也是有过程的，并不是一句简简单单的“我们规定”就能打发。我在教学时，不愿意直接告知、想要发掘背后的核心思想。在备完本节课之后，我自己有一种恍然大悟的感觉，相信学生也能有所收获——希望他们能够明白为什么要分类，分类的基本思想及原则是什么，最终能够在后续的学习中，有意识的自主应用分类思想解决问题（对于一个大问题，先分类成几个小部分，然后从最简单的开始研究，最后再综合分析各部分的关系，从大循环来说，这也是一个浪漫、精确、综合的过程）。
当然，这不是一次两次就能达成目标，就在本社团课上，也需要好几节课的持续渗透，这还是理论的，至于落实，更需要在具体的学习中持续实践了。
1.4 排中律：拒绝两面派
（1）引例：直接给出；
（2）反证法——同一平面内，过直线外一点，可以做多少条直线与已知直线垂直？
（3）排除法——面积为2的正方形，你的边长到底是多少？
有理数的分类。
如何证明平方等于2的数是无理数，大家常用的证明方法，其实就暗含了排除法的思想，这里有一个前提——那就是在实数范围内，一个数不是有理数就是无理数，如果不是有理数，那么就是无理数。
之所以可以这样，是因为在对数学概念进行第二次抽象时，我们在对各概念的定义就是根据不重不漏的思想重新梳理的（当然，最恰当的表达是公理化体系，此处不必跟学生细究）。前面一小节中提到的是我们为什么要这样分类，现在就可以依据分类进行逐个讨论，算是一个应用吧。
1.5 这些逻辑有道理吗？
（1）引例——不投诉等不等于喜欢？
（2）一一对应产生的矛盾——无限多——看似“矛盾”的现象，其实是人类认知上的局限；
（3）高学历等不等于高能力？为什么大公司都喜欢招名校毕业生？
（4）生活与数学中的逻辑，合情合理
（5）……
通过一系列的讨论，引出下一讲的内容——第二讲 逻辑是关于推理与证明的科学
第二讲 逻辑是关于推理与证明的科学
2.1 什么是“推理与证明”？——第二讲大浪漫
推理，包括归纳推理与演绎推理。简单的说，归纳推理是从特殊到一般的推理；演绎推理是从一般到特殊的推理。至于证明，其实就是演绎推理。
这些概念之间的关系，直接带给学生，有些突兀。所以如何更好的引入这些概念，成了第二节第一节最大的问题。
主要参考了陈波老师的《逻辑学是什么》
（1）引例：基督教竟然允许讨论上帝的存在？！
真的算是一个很神奇的社会现象，古希腊理性思考的种子竟然在专制教的统治下得以生存，并最终开出绚烂的科技之花。
我个人不想介入对宗教的讨论，也没有这个能力，只是想借助这个极具冲击力的话题，让学生们深刻体会到“理性”的力量。
课堂上讨论时，同学们确实都非常惊诧，“就是啊，好奇怪，这么极端的情况下，竟然还允许讨论上帝的存在性……”，到此，引例的目的可以说是达到了，最重要的是后续的3句话。
不知道为何，在讨论中，我突然想到了西方大哲学家伏尔泰的一句话：“ 我不赞成你的观点,但我捍卫你说话的权利 ” 。继而跟同学们说到了“权威”——在学校，老师是权威吗？在家中，家长是权威吗？
打破过度相信权威的思想牢笼，培养理性的独立思考能力，还需要从小培养。
（2）什么是推理？什么是证明？二者一样吗？
这一页讨论的目的，是为了让学生意识到，我们所学的内容，都是从哪里来的。要知道，我们这个世界都是被问题推动进步的，没有问题，意味着我们无法向前一步。
这个问题非常重要，涉及到主动学习与被动学习的区别。
长年以来，我们的教育更多的是被动学习，即学生要学什么，都是老师提供的，很少给学生自主发现，自主探究的机会。我们总说创新能力重要，但如果一直都是被动式的学习，从来不思考我们要学习的问题都是从哪里来的，怎么来的？再启发、引导学生理解，仍然不够，说严重点，出发点就偏离了。进入社会以后，除了工具人，真正需要创新的工作，有人会给我们总结知识，让我们学习吗？
发现问题与解决问题，哪一个更重要？——二者本来就是一体的，只不过被我们认为的分割开来，割裂的讨论哪个更重要没有意义！
希望多少能启发一点学生：主动发现问题，真的很重要。要想发现有意义的问题，首先要有仔细的观察能力，能够比较深入的认识到事物的本质，还要有丰富的联想能力等等，总之，发现问题，并提出问题，是一项非常重要的能力。——这一点，与我们的课前挑战单中的最后一个问题，“请提出你感兴趣的新问题”，非常契合，真的太棒了！
重要的是要有意识，意识代表着种子，代表着希望，只要走在路上，自然会得到相应能力。
课堂上，我还跟学生扯了两个话题：
1、硕士、博士开题难的问题。固然有简单的都被人研究过，难得研究不了的客观原因，但发现问题能力的缺失也是事实；
2、想象一个场景，自己总觉得哪里不对劲，怪怪的，就是没办法发现问题。
如果要作为小初衔接课程，可以由此引出重视发现问题，继而引出如何更好的学习的话题，还是很有意义的。也只能引出了，又不可能通过这样的方式获得。
后续大致内容，可以与数学联系更紧密些……
（1）什么是命题？如何判断真假？
（2）傻子才会那么做——三段论与命题，条件与结论，原命题与逆命题；
（3）公理与定理；
（4）公理化体系；
（5）演绎推理与归纳推理；
（6）证实与证伪，数学哲学与科学哲学；
（7）……
参考书籍
1、《逻辑是什么？》《逻辑学十五讲》；
2、《科学哲学十讲》《科技哲学十五讲》；
3、《基本概念与运算法则》《数学基本思想18讲》《数学思想概率》、各种数学史书籍；
4、《儿童心理学》《教育的目的》
5、其他
