# Thin Plate Spline

Total TPS spline surfaces for the geometric transformation between Acaste (red) and Calymene (green). (A) Basal (non-deformed) grid for Acaste landmark configuration. (B) Basal (non-deformed) grid for Calymeme landmark configuration. (C) Thin plate spline surface for the Calymeme-Acaste transformation. (D) Thin plate spline surface for the Acaste-Calymeme transformation.

Thin Plate Spline（TPS，薄板样条）插值是常用的2D插值方法。它的物理意义是：假设在原形状中有个点，这个点在形变之后新坐标之下对应新的个点。用一个薄钢板的形变来模拟2D形变，确保这个点能够正确匹配，那么怎样的形变，可以使钢板的弯曲能量最小？TPS插值是这个问题的数值解法。

## Numpy 实现

def makeT(cp):
# cp: [K x 2] control points
# T: [(K+3) x (K+3)]
K = cp.shape[0]
T = np.zeros((K+3, K+3))
T[:K, 0] = 1
T[:K, 1:3] = cp
T[K, 3:] = 1
T[K+1:, 3:] = cp.T
# compute every point pair of points
R = squareform(pdist(cp, metric='euclidean'))
R = R * R
R[R == 0] = 1 # a trick to make R ln(R) 0
R = R * np.log(R)
np.fill_diagonal(R, 0)
T[:K, 3:] = R
return T


def liftPts(p, cp):
# p: [N x 2], input points
# cp: [K x 2], control points
# pLift: [N x (3+K)], lifted input points
N, K = p.shape[0], cp.shape[0]
pLift = np.zeros((N, K+3))
pLift[:,0] = 1
pLift[:,1:3] = p
R = cdist(p, cp, 'euclidean')
R = R * R
R[R == 0] = 1
R = R * np.log(R)
pLift[:, 3:] = R
return pLift


def tps_transform(gallery, probe):
"""
Compute the new points coordination with Thin-Plate-Spline algorithm
"""
src_pt_xs = probe[:, 0]
src_pt_ys = probe[:, 1]
cps = np.vstack([src_pt_xs, src_pt_ys]).T
# construct T
T = makeT(cps)
# solve cx, cy (coefficients for x and y)
tar_pt_xt = gallery[:, 0]
tar_pt_yt = gallery[:, 1]
xtAug = np.concatenate([tar_pt_xt, np.zeros(3)])
ytAug = np.concatenate([tar_pt_yt, np.zeros(3)])
cx = np.linalg.solve(T, xtAug)  # [K+3]
cy = np.linalg.solve(T, ytAug)
return cx, cy


1. Kent, J. T. and Mardia, K. V. (1994a). The link between kriging and thin-plate splines. In: Probability, Statistics and Optimization: a Tribute to Peter Whittle (ed. F. P. Kelly), pp 325–339. John Wiley & Sons, Ltd, Chichester. page 282, 287, 311

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