狄利克雷卷积的运算律

f, g 都是定义在正整数集合上的函数,他们的狄利克雷卷积是一个定义在同样范围内的函数,用 f*g 表示,满足:

(f*g)(n) = \sum_{d|n} f(d) g(\frac{n}{d})

或者写成:

(f*g)(n) = \sum_{ab=n} f(a) g(b)

其中 a,b 是正整数。

交换律

f * g = g * f

十分明显,不用证明。

结合律

\begin{align} ((f*g)*h)(n) &= \sum_{ab=n} (f*g)(a) h(b) \\ &= \sum_{ab=n} \left( \sum_{xy=a}f(x)g(y) \right) h(b) \\ &= \sum_{xyb=n} f(x) g(y) h(b) \\ &= \sum_{abc=n} f(a) g(b) h(c) \end{align}

这个形式有很强的对称性,仿照它也可以轻松将 f*(g*h) 写成最后一行。所以得知 (f*g)*h = f*(g*h)

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