先来看原题
如图，在△ABC中，AB=AC，点D为△ABC外一点，连接BD、CD，∠ADB=∠DBC= 120°，取AB中点E，连接DE，若CD=10，求线段DE的长。
不知道其他人怎样，我看到这道题的第一印象是莫名其妙，几个看上去不怎么相关的条件凑到一起，求一个看起来不怎么相关的线段长度。
对于缺乏经验的学生来说，或许从起点开始就一头雾水，没有任何思路。但若有了一定的做题经验，加上平时的总结与反思，大概率能猜到线段DE与DC之间的关系——像这样只给一个线段长度，求另外一个线段长度，基本上不会是加减关系，而是倍数关系，再结合图像，很容易“看出”DE为DC的一半，即DC = 5。如果是填空题，在没有思路，不会严格证明的情况下，这样“猜”一下无可厚非。
但如何证明呢？难度真的很大。
类似这样难度的题，或许不适合在课堂上统一讲，但回顾自己的思考过程，感觉可以从中提炼出一些不一样的内容——不只是识别几何模型，然后选择相应的方法去证明——而是有利于培养学生真正的几何核心素养的思路。
将问题再进一步延伸，就是自己一直在思考的问题：数学中的难题到底应该怎么教（对初中而言，比较典型的，就是几何证明、二次函数等大题了）？
（1）承认题目的难度，从效率的角度选择性放弃——不在课堂上统一讲，对可能接受的学生进行针对性的单独讨论。这并非传统意义上的开小灶，而是承认学生客观的差异性。
（2）对难题做适当的处理，也就是有意帮助学生搭一些台阶，将题目改编为一定开放性的题目，力争能让更多的学生参与进来。
很明显，第二种方法更好一点，但难度也会大一些，具体的分析留到结尾处详细讨论，继续看这道题。
第一、分析图形是如何形成的
之所以思考这个，是因为如果能分析出原题的图是如何形成的，就能找到一般规律，自然会便于找到思路。
（1）题意中△ABC为等腰三角形，那就随意先画一个等腰三角形，如下图1所示；
（2）由∠DBC = 120°，我们可以确定射线BD，但无法确定D点具体位置，如下图2；
（3）如果任意确定一点D，会出现图3的情况，即∠D的另一边不过A点，可见此时D点的位置由等腰三角形顶点A与条件120°共同决定；
（4）经过上述步骤，我们可以得到这样一个结论：如果等腰△ABC确定了，那么满足要求的图形也确定了，线段DC、DE也确定了，那么它们之间也确实存在一定的关系。
第二，改变等腰△ABC
根据上述分析，我们自然会想到一个问题，如果等腰△ABC发生变化，线段DC、DE还会不会存在关系呢？同样用图表示，具体如下：
（1）图4为上图中的原图，用来作对比；
（2）保持底边上的高不变，增大等腰三角形底角的大小，得到了图5；
（3）保持底边上的高不变，减小等腰三角形底角的大小，得到了图6；
（4）继续减小等腰三角形底角的大小，出现了∠D无法与顶点A相连的情况，如图7所示。这是为什么呢？原因出在120°的条件上，那当底角小于多少度时会出现这种情况呢？即等腰三角形底角的极限度数是多少？简单分析可以知道，当∠2+∠3＞180°时，∠D的另一边将无法过A点。因为∠3=120°，所以此时∠2＞60°。又因为∠1+∠2=120°，所以此时∠1小于60°。也就是说，当等腰△ABC的底角小于60°时，将不会存在满足要求的图形（推导过程有些省略）。
经过上述过程，我们可以发现：当等腰△ABC发生变化，线段DC、DE也随之变化，那么它们之间的关系会不会保持不变呢？既然我们一定有了猜想，那么问题就应该变为：当等腰△ABC发生变化，线段DC、DE也随之变化，那么它们之间的关系真的会保持不变吗？
退一步，无论之前有没有想法，分析到这里，都应该有了这样的初步判断：原图并非一成不变，线段DC也会随之改变，那么DC=10这个条件，就没有那么关键了，一定是DC与DE之前存在某种联系，而且是倍数关系。若能适当分析、总结，以后再碰到这种只给一个线段长度+其他条件，求另一个线段长度，那么多半就是这种情况了，也就是做题经验。
分析到这里，我们就可以利用一些“做题小聪明”了：我们可以画出一种特殊情况——极限情况之一，即∠1=60°，如果是这种情况，原图会发生什么变化呢？具体如下图所示：
对比图5与图6，我们会发现，随着∠ABC度数的减小，线段BD的长度也逐渐减小，当∠ABC=60°时，要想满足题中要求，则BD两点重合，此时E则为AB边的中点。具体如图8所示。那么在这种情况下，等腰△ABC将会变为等边三角形，而E点位于AB边的中点，显然DE=1/2CD=5。
多说一句，这种极限情况，学生能不能由图5、图6自然地联想到？或许需要一定的动态想象能力，而这个能力，多半还是要借助具体的题目培养。
相比最开始的盲猜，此时前进了一大步，如果这是道填空题，用这种取巧的办法（取特殊值）就可以解决，而且可以确定结果的正确性。
要严格证明的话，该怎么办呢？
第三、再看原图
通过前面的讨论，不知道学生能否感受到：这道题中的结论，其实就是在一个等边三角形中的一般规律。我们可以重新换一种方式还原原图是如何被构造的，具体如下图。
（1）图9是一个等边三角形——字母编号的奇怪是为了与原题相同；
（2）任意画一条与AN平行的直线，分别交AF、FN于点D、B——也不是完全任意，交点B需要在底边的左半部分，如图10所示；
（3）连接AB，并以AB为腰，作等腰△ABC（操作过程省略），如图11所示；
（4）连接DC，取AB的中点E，连接DE，完毕，如图12所示。
至于学生能不能轻易感受到，还真不好说。不过，这种动态想象能力，还是挺重要的，就多扯一点吧。
以下真的是在扯，而且是乱扯——————————
对于一个几何题而言，有些条件是固定不变的，但有些条件没固定，是可以变化的。在看图做题时，受视觉限制，一些学生会人为添加一些并不存在的条件，原因嘛，问起来就是看着像。几何直观，应该是好事，给我们提供思路和方向，但毕竟属于猜想，不能当作确定的条件，可有些学生就仿佛先入为主般，认定了这个“条件”，如果不对，就陷入其中难以自拔。此时，视觉几何直观，反而变成了障碍。
有没有好办法处理这个矛盾呢？那就是在审题时，注意哪些条件能变，哪些条件不能变，对于不固定，可以适当变动的条件，最好变一变，看看那些猜想还成立不成立。
还记得我的初中，那时我对几何中的结论特别感兴趣，觉得特别神奇，有时候即便是严格证明了，还是会适当改变一下那些不固定的条件，验证一下结论是不是还成立。这当然不是怀疑结论的正确性，就是单纯的感到好奇。一开始是在纸上画，后来就在脑子里想，把图想象成一个动图，看其中的结论还是不是这样。
时间长了以后，额外的好处会慢慢显露出来，我的空间想象能力很好。并且对于图像类的题目，我不容易先入为主，思维定势，会快速从已知条件开始，在大脑中重新生成一遍，思考着变一变会怎么样。结果就是对那些决定性的条件把握非常好，也就是到底是什么条件限制，导致了最后的结果。
当习惯成自然以后，这渐渐让我意识到一个更加普遍的道理：一些事情的结果（结论）与自己所看到的表象（条件）之间并非那么严格的因果关系，比如这个条件可能是多余的，还可能只是一种特殊情况，背后说不定还隐藏着更为本质的原因或更本质的一般规律。
如果再扯远点，扯到生活中，对于同一件事，不一样的人会看到不一样的前因后果，原因何在呢？人们总说看待问题要看本质，那到底什么才是本质？又如何才能看到本质呢？有没有一般的思考方式呢？还有就是犯了错要反思，到底反思什么呢？反思的方向到底对还是不对？……或许，首先意识到表象与结果之间并非自然而然的因果关系，需要对其进行深入分析，一定是先有这个意识，不要想当然；其次才是具体的分析方法，哪怕最初没有方法，但只要意识到要反思，学习时间久了以后，自然就会琢磨出一定的分析方法了。
就比如说，我能意识到这个问题，到底与做几何题时爱瞎想相关性多大呢？其实我自己也不知道。思维真的很复杂，根本就不是线性的，自然也没办法说清楚。只是现在回想起来，这种方式，或许可以有助于培养这种意识及思考方式，而这，才是我扯这么远的原因：如何帮助学生也能有这样的意识（or能力？）？
说到这里，不知道大家想没想过一个问题，学生为什么要学习？都是在学习些什么？如何学这些东西？这三个问题，哪个最重要？随着智能时代的到来，越来越多的人能够意识到，学习具体的知识已经不再是最重要了，相比之下，学习各种能力，才是在变化越来越快，充满各种不确定性的人工智能时代的首选。那么，这些能力到底是些什么能力？这些能力到底该如何培养呢？每当想到这个问题，我都要先问问自己，你知道未来需要什么样的能力长啥样子吗？你自己具备这些能力吗？你又该怎么教给学生这些能力？
课堂之上，我经常跟学生讲，这个世界没有一门叫做能力的课，学习、考试、达标，然后就具备了这项能力，这是不可能的。真的能力首先需要具体的载体，这个载体可以是一门课，可以是一项活动，或者其他形式的具体内容。但无论如何，载体都是外在的，由外向内，由知识消化成能力，必须由自己经过不断的反思、总结后得到。一言以蔽之，学习是学生自己的事情，任何人都不可能代替。老师，在其中的作用更多的是引导。
之所以扯这么远，其实是为了思考如何对待难题这个问题——什么样的题算“难”？难题有没有，有多大意义？要不要引入，引入到什么程度？既然是结合一道具体的题目分析，还是先把题讨论完吧。
第四、严格证明
有了等边三角形的这个大背景，剩下的证明就会容易一些，但即便如此，还需要强调2点：
（1）做证明题，尤其是较难的几何证明题，还是需要带着猜想去尝试的。如果没有猜想怎么办？那就是无头苍蝇乱撞了，运气好能撞到，运气好就会无功而返。
就本题而言，正如之前所说，这种只给一条线段长度+其他条件，求另一条线段的长度的题目，图形多半不是固定的，而是存在一般规律。这样的话，待求线段与已知线段基本上都是倍数关系。
那有没有例外情况呢？有，关键就在于已知条件是否把图形限定在一个确定的图形中，如果发现在条件的限定下，图形是确定的，即存在一般规律，而是一种特殊情况，那就不能直接猜想待求线段与已知线段的关系了。这一类题目还是挺常见的，有机会了也详细死磕一道。
（2）看见中点延长一倍，还是一种比较基础的思路，即倍长中线，有事没事延长画一画，说不定会有奇效。这也是非常常见的所谓分析方法——固定的题型、固定的套路。我个人不是很满意，总觉得机械，有些知其然不知其所以然，但也只能这样子，路就这么几条。如果学生能够有心，应该可以感受到，在做几何辅助线时“对称”的方便，这里的对称可以是轴对称，也可以是中心对称。无论哪种对称，都会得到很多有用的推论。倍长中线，其实就是构造中心对称，构造之后是一个平行四边形，平行四边形的性质就全部都可以用到了（各种平行、相等、全等）。既然做辅助线的目的是为了增加条件，那在没有确定思路的前提下，按照对称思想做，似乎也就更顺理一些了，尤其是遇到中点、角平分线、垂线、二倍角等。
考虑到倍长中线与平行四边形联系紧密，不要太早的涉及，放在学完平行四边形之后引入，效果估计会好一些，换个角度，提升三角形与平行四边形关系的理解。
在这个题里，我们会猜DC=2DE，正好题里E又是中点，看似凑巧，其实都是有意为之。
证明：延长线段AD、CB，相交于点F，以AF为边，∠F为内角，补完等边△AFN，延长DE交AN于M，连接CM。
（有了前面的分析，为什么要补完等边△AFN，，就容易理解了。如果没有前面的探索怎么办？在后面，还会继续分luo析suo。另外，线段CM没有必要连，我自己在做题时，顺手连上了，不过，后面在拓展结论的时候会有用）
∵ ∠DBC +∠N = 180°
∴DB∥AN
∴ ∠AME =∠BDE
又∵AE =BE，∠AEM =∠BED
∴ △AEM≌△BED
∴ DE=EM，AM =DB
(因为是带着猜想证明，而DM=2DE，到此，思路转换成求证DM=DC，开始寻找全等三角形，最终锁定△ADM，△CDF。首先两个60°角非常明显，剩下两个边也可以)
∵DB∥AN
∴∠DBF=∠N=60°，
∴△DFB是等边三角形
∴AM=DB=DF
∵对称，易得CN=FB=FD，
又∵△AFN是等边三角形
∴ FC=FN-CN=AF-FD=AD
∴△ADM≌△CDF
∴ DM=DC
∴ DE = 1/2DM = 1/2DC=5
吐槽一下，详细的过程，真的好复杂。但在证明过程中，应该可以比较容易地联想到△AMD≌△FDC≌△NCM。其实，△DCM也是等边三角形！那么∠CDE=60°，连接CE，则CE三线合一！
我们再来看第二种证明方法
第五、证明方法2
这种证明方法，是在没有探索一般规律的情况下的思考方式。
（1）看到中线，无脑延长一倍，构造中心对称图形平行四边形——当然我们前面分析过，依据对称思想做辅助线，可作为没有思路下的一种普遍做法。这种做法下，会得到更多的有用推论，碰上死耗子的概率要大很多——再当然，几何证明题有意为之的意图一直都很明显。
需要注意的是，倍长中线以后，并不能得到∠DAM=60°，即并不一定马上想到M在一个等边三角形的一条边上。可以得到的是，四边形ADBM是平行四边形，AM∥DB，此时可知道∠DAM=60°，还有的推论包括DM=2DE，AD=BM，AD∥BM，∠DBM=CBM=60°。
（2）此时，依据对称原则继续做辅助线，反正没思路，就随便画呗（当然，找些稍微简单一点的题目，让学生意识到这点，打好基础，还是很有必要的）。把等边三角形AFN画出来，得到下图。也就是说，如果学生具备一定的几何题做辅助线经验，其实是可以把出题人的意图“补”出来的。
如果思维够灵活，在图15中，还可以继续得到其他推论：三角形DBF是等边三角形，AM=DB=DF=FB，因为对称，所以FB=CN，这几个线段都串起来了，并且三角形BMN也是等边三角形。
（3）此时此刻，如果有DE=1/2DC的猜想，就可以尝试构造全等三角形了。其实，这个思路应该一直伴随着做辅助线，不然真的解释不了为什么要这样，要那样。对思维较一般的学生来说，岂不是就如天书一样，然后反问一句：你是怎么想到要这样做的？
猜想+上面的推论，△ADM≌△CDF是很容易凑够条件的。
第六、证明方法3
提前说明，3种证明方法并非截然不同，而是在推导某一个条件时，采取的方法略有不同。这种方法的区别在于：没有补出完整的等边三角形，而是选择其他方法，推导AD=FC，从而凑够△ADM≌△CDF的条件。
具体过程，不再详细分析，看下图。
这种方法，是我在网上搜答案时看到的，不确定是不是标准答案，反正看到之后，我表示很神奇。
第七、再看极限情况
前面提到了一种极限情况，就是等腰△ABC的底角∠B=60°，那另一个极限就是∠B=90°。此时等腰△ABC成为一条线段，也就是三线合一的那条。具体如下图所示：
这样思考有没有意义呢？是不是闲得慌？我觉得不是。从做题的角度看，把问题解决就意味着结束，但学习不等于做题，这点要充分认识到。学习到底在学什么，这个问题并没有想象中那么简单，其内可大有学问。
总结
（1）洋洋洒洒，扯了这么几千字，可不是闲得慌，而是思考一个非常重要的问题：难题的意义何在？展开来说就是——有没有意义？有多大意义？意义体现在哪些方面？要不要引入？怎么引入？引入到什么程度？
（2）如果考纲的难度就放在那里，学生避无可避，终归要面对，那就不说那么多了，硬着头皮也要上。可是，为了做题而做题，花费那么多时间，真的很不划算，如果能够搂草打兔子，把更重要的能力以某种合适的方式引入，无疑会好很多。
（3）如果难题超过了考纲难要求，或者对学生个体而言难度过大，那就要谨慎引入，看情况决定，不宜过多。一个可行的办法是，给学生搭适当的台阶，引导启发学生自行探索。至于具体形式，可以是挑战作业，或者组织小组学习。
（4）“能力”的重要性毋庸置疑，可“能力”到底指什么？数学的核心素养；探究式学习；探索研究的一般思路、方法、能力等等，经常挂在嘴边，可说起来容易，做起来又是另外一回事，这一点，切不可想当然。
（5）目前的我，还不能很好的解决这个问题，或许这是一条没有尽头的路。但我相信，只要有这个意识，假以时日，一定可以有所突破。作为老师，要怀有一颗敬畏之心，不断思考，充实自己。
（6）就几何难题而言，我不满足于识别模型，然后按照固定的套路去解题。我希望，向前一步，引导学生自己发现、总结，给学生足够的成长空间。再向前一步，我希望通过适当改编题目或问法，以更好的帮助到学生。
（7）回到这道题，从一开始分析是否存在一般规律，能不能培养学生的空间想象能力？能不能有助于培养学生透过现象看本质的意识与能力？在这样具体的一步步分析中，是否有助于培养学生的猜想与推导能力？总之，这一切，是否给学生提供了机会，从而引发学生更多的思考，并在思考中有所收获与成长？
（8）如果真的太难，能不能适当改编？或者选择一道难度合适的题目？
（9）路漫漫其修远兮，吾将上下而求索……
