超级传播者

1906年8月，银行家沃伦一家正在纽约的避暑别墅度假。没多久沃伦的女儿感染了伤寒，紧接着这所别墅里的11人有6人被感染。很快将人们将目标锁定在了厨师玛丽·梅伦（Mary Mallon）身上，玛丽此前工作过的地点都曾暴发过伤寒，而且玛丽不是一个爱干净的厨师，上完厕所及做饭之前从来不洗手，玛丽最擅长不戴手套手工制作“桃子冰激凌”。玛丽看起来健康壮实、面色红润，完全不像是一个感染者，但研究人员在她的胆囊中发现了大量活性伤寒杆菌。作为历史上第一个被发现的“健康带菌者”，玛丽与当地卫生部门达成和解并取消隔离，条件是她不再做厨师。几年后，固执的玛丽再次以“布朗夫人”的名义重操旧业，并再次使25人感染。玛丽最终被隔离在一座岛上直到去世。玛丽一生中直接传播了52例伤寒，其中7例死亡，间接被传染者不计其数。作为历史第一位“超级传播者”，她拥有了一个与伤寒紧紧联系在一起的名字“伤寒玛丽(Typhoid Mary)”

伤寒玛丽

假如我们每个人都是“超级玛丽”，每天传染10个人，只要不到10天时间，全世界的人都会被感染。如果传染病的致死率为10%的话，很快地球上将减少7.5亿人口。幸运的是，这是传染病传播最简陋的模型，实际上还没有哪一种传染病能在这么短时间内让这么多人死亡。

早期的传播模型

天花病毒是催生人类研究传染病模型的最早动力，尽管我国在宋代就已经开始接种人痘以预防天花，但人痘法依然具有让人感染上天花并死亡的风险。当这种方法传到欧洲的时，对这种风险的担忧开启了对传染病模型的研究。英国科学家詹姆斯•尤林(James Jurin)统计量很多天花病例，结论证明自然感染天花的死亡概率为10-20%，接种天花疫苗后仍然死亡人数的人数2%，这是有关传染病最早的统计数据。

詹姆斯•尤林(James Jurin)

然而，在欧洲大陆的法国，对接种的怀疑态度比英国更为强烈，物理学家和数学家丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli)试图从从另一个角度证明天花疫苗的长期利益大于眼前的风险——即人痘究竟能够将预期寿命将增加多少。

丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli)

他把人群分为两组:一组是天花易感人群（Susceptible），另一组是之前感染过天花的人群（Infective）。作为流体力学的开山鼻祖，他的模型一开始就考虑了时间的作用，并用两个方程来描述这个问题。一个方程描述了人口随时间的变化; 另一组给出了易感染天花的人数。在这种简化模型下，如果所有人口在出生时接种疫苗，预期寿命将增加3年以上。丹尼尔·伯努利开创了传染病模型研究的先河，他在模型中引入的流体力学的描述方法至今仍在使用。

最经典的模型

一百多年以后，流行病学研究逐渐发展成为一门专门的学科。发现蚊子是疟疾的传播媒介的 Ronald Ross 爵士成为第一个因为流行病学研究获得诺贝尔奖的人。

罗纳德·罗斯爵士

Ross 爵士的助手安德森·麦肯德里克（Anderson  McKendrick）与其同实验室的化学家威廉·克马克（William Kermack），在1927年共同发表了流行病研究中最经典、最基本的“SIR”模型，为传染病动力学的研究做出了奠基性的贡献。

麦肯德里克和克马克

SIR模型从所有人的总数N出发，将人群分为三类：

易感者（Susceptible）：还没有被感染，但是可能被感染的人，数量用S表示

感染者（Infective）：已经被感染且依然能接触易感人群的人，数量用I表示

移除者（Removal），由于被隔离或接受治疗产生免疫能力，以及那些因病去世的人被称为移除者，数量用R表示

在最开始的时候，所有人都是易感者，即S=N；然后S以每天有α的可能性被感染，感染者I又以每天β的概率转化为移除者R（康复或死亡）。

SIR模型

这三种人的数量都与时间有关系，在不同时刻t下，这三者的关系为：

N(t) =S(t) +I(t) +R(t)

总人数= 易感人数+感染人数+移除人数

S(t+1) =S(t) -αS(t)

下一时刻的易感人数=当前易感人数-新感染人数

I(t+1) =I(t)+αS(t)-βI(t)

下一时刻的感染人数 = 当前感染人数+新感染人数-新移除人数

R(t+1) =R(t) +βI(t)

下一时刻的移除人数=当前移除人数+新移除人数

从这四个简单到小学生就能懂的关系式出发，McKendrick和Kermack研究了S，I，R三类人随时间的变化率。他们采用了一种被称为连续时间马尔可夫链的随机过程最终推导出三类人员的变化率(具体过程比较复杂，暂且可以忽略)：

我们最关心的是第二个式子，即感染人群数I的变化率。当I的变化率I'为负值，则表明感染的总人数I是在下降的。当I'为正值时，感染的总人数I在上升。因此，科学家们将αS(t)I(t)与βI(t)的大小关系定义为一个特殊的量：

R0表示的是基本传染数（Basic Reproduction Rate），它代表了感染者在死亡或康复之前被他感染的人数。尽管形式上有些类似，但R0与移除者R（Removal）本身并没有关系。当R0<1时，每个感染该疾病的人在死亡或康复之前感染的人数少于1人，因此疫情将逐渐消失(I'<0)。当R0>1时，意味着每个人感染者将再感染不止一个人，因此该流行病将传播开来(I'>0)。上面的R0只适用于基本的SIR模型，不同的传染病具有不同的R0。

R0可能是流行病学中最重要的一个量，是研究传染病群体生物学的核心问题。下图展示了季节性流感（Seasonal Flu），埃博拉(Ebola)，SARS，麻疹（Measles）以及艾滋病病毒（HIV）的R0。尽管麻疹具有最强的传染性，但是大家不用担心，中国从1965年开始普种麻疹减毒活疫苗后发病显著下降。

最早的SIR模型奠定了传染病模型研究的基础，但它毕竟是一种简化的模型。影响传染病实际传播的因素非常复杂，自身免疫状况，传播方式，人群聚集情况，医疗保障措施（疫苗）等等都会影响传播。SIR的缺陷也非常明显的，它并没有考虑许多传染病存在潜伏期，已经被感染但是没有表现出来的人群被称为潜伏者。当潜伏期趋近于无穷的时候，被感染的人就会像”伤寒玛丽“那样，很容易作为超级传播者。潜伏期越长，传染病越难控制。考虑到这些因素，SIR模型衍生出了SEIR模型，其中E代表潜伏者(EXPOSED)。

SEIR模型

注意这些模型之间的那些实线和虚线，表示不同类别之间转化的可能性，虚线表示也可能这种转化不存在。像艾滋病这种传染病，感染者目前并没有机会获得治愈，也就是没有移除者（Removal），SIR模型并不适用。描述艾滋病传播的模型模型被称为SI模型（易感-感染者模型）。

SI模型

借助这些传染病模型，我们将能验证隔离或注射疫苗确实是制止传播的有效手段。假如感染者，能够每天接触10个人，

假如有20%的机会使周围的人感染，则R0 =2：

可是如果那10个人中，有5个都打了疫苗：

则R0就会降到R0=1.

疫苗实际上与隔离的作用差不多，也将会降低R0.

我们也可以将SIR三类人在不同时间的人数用曲线表示出来。例如总人数为 1000 的大学或公司，刚开始只有一个人感染感冒，其他 999 个人很健康但属于易感人群。假设感染者每天将传染其他五人，并且人们一般会在生病一到三天后决定去医院或隔离。因此，我们假设每天移除 1/3的感染者。曲线如下所示，其中蓝色，绿色，红色分别表示易感者S，感染者I以及移除者R.

上例中，疫情会在五天后达到高潮，一半的人群会被感染，疫情大爆发了。如果我们再来分析如果每天80%的感染者被送进医院或隔离，将得到：

尽管它在第六天才达到顶峰，但只有不到200人感染。数据证明感染后就医与隔离是正确的做法。

结束语

SIR模型简要的反映了群体中不同类别之间的动态转换。这种基于流体力学的状态演变方程用途十分广泛，它们不仅能够描述捕食者和猎物之间的动态关系，描述经济周期的动态变化，还能描述舆论传播等很多领域。

所有这些最基础的模型并不深奥，只需要基本的微积分知识就能深刻了解数学带来的神奇力量！

参考资料

https://www.quantamagazine.org/flu-vaccines-and-the-math-of-herd-immunity-20180205/

https://www.jhunewsletter.com/article/2018/12/bernoulli-jurin-and-the-math-behind-smallpox

https://thatsmaths.com/2012/09/20/the-end-of-smallpox/

https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/McKendrick,_Anderson_Gray

http://mathworld.wolfram.com/Kermack-McKendrickModel.html

http://networksciencebook.com/chapter/10#introduction10

https://cn.comsol.com/blogs/analyze-the-spread-of-epidemic-diseases-with-simulation/

https://harvardmagazine.com/2007/03/the-sars-scare.html

https://www.wired.com/2015/04/see-diseases-spread-mesmerizing-graphics/

http://eureka.criver.com/flu-hype-is-always-rampant-but-this-year-its-understandable/

https://www.quantamagazine.org/the-unforgiving-math-that-stops-epidemics-20171026/

www.stat.columbia.edu/~regina/research/notes123.pdf

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