我们上回书说到，线性时不变系统（LTI）也可以被叫做线性滤波器。
如果系统的输入信号是一系列正弦波的和，那么系统的输出还是几个正弦波的和。我们可以通过调整某一频率的正弦波对应的参数 lambda，来改变该频率的正弦波的幅度。
傅里叶级数
输入信号是正弦波的叠加的情况我们已经了解了，那么输入信号不是正弦波的叠加怎么办？
巧了！正好有一种神奇的方法可以将任意一个周期函数 x(t) 转换为三角函数的和的形式，这个神奇的方法就是傅里叶级数。
（如果想了解傅里叶级数的原理及推导过程，请参见《高等数学》无穷级数的章节。）
其中，T 是原函数的周期，omega-0 是原函数的角频率。
那么，我们又遇到了一个问题，如果输入信号不是一个周期函数该怎么办？——那就把它看做周期是无穷大的周期函数好了。（这是什么流氓操作？）
傅里叶变换
我们给出如下定义：
那么，可以做出如下推导：
当周期 T 趋近于无穷大时，角频率 omega-0 趋近于0，因此
可以看出 X(omega) 就是将 x(t) 分解时，角频率为 omega 的正弦波前面的系数。我们只需要计算出 X(omega) 就可以将 x(t) 分解了。
因此，我们就称 X(omega) 为 x(t) 的傅里叶变换。记做：
终于出现了，有没有很激动！
频率域
提到傅里叶变换，我们最常说的就是：傅里叶变换把信号从时间域转换到了频率域。下面，我们就来解释一下频率域的问题。
我们已经知道了，傅里叶变换就是把一个信号转换成许多正弦波的叠加。想象一下，这时候这些正弦波已经按照频率由小到大乖乖地站成一列了，等待着你的审阅……你从前往后走过去，发现这些正弦波的频率各不相同，于是你决定用频率作为他它们的 id。另外，每一个正弦波还有幅度和相位两个属性，这三个参数就确定了一个正弦波。
于是，我们可以写出幅度随频率变化的函数，以及相位随频率变化的函数。幅度和相位，这不正好是一个复数在极坐标中的表示吗？所以，我们可以用一个复数函数 F(omega) 来表示这一系列正弦波。自变量就是频率，函数值是一个复数，表示了幅度和相位。用公式描述就是这样的：
所以说，正经的傅里叶变换应该是复数形式的。但是我们往往只需要关注幅度，而不太关注相位，所以一般只写成 A(omega) 就可以了。上一节说到的 X(omega) 就是这里的 A(omega)，一般被称为原函数的频谱。而以角频率 omega 为横坐标，幅度 A 为纵坐标的函数图像，则被称为频谱图。
我们把由幅度、相位、频率三个参数构成的，用来表示正弦波的域，称为频率域。
直观理解
细心的小伙伴可能会发现，我上面说的“频率”这俩字儿都指的是：把 x(t) 分解为正弦波后，正弦波的频率。如何从原函数的“频率”的角度理解傅里叶变换呢？
我们从图像的角度直观的去理解。显然，下图中图 (a) 表示的函数有图 (b) 中的正弦分量，没有图 (d) 中的正弦分量；而图 (c) 表示的函数既有图 (b) 中的正弦分量（不是很明显），也图 (d) 中的正弦分量。
用频谱图就可以很好的表示原函数变化的剧烈程度了。高频分量越多，幅度值越大，表示函数变化的越剧烈（如图 (c) ）；高频分量越少，幅度值越小，表示函数越平缓（如图 (a) ）。
这一节写的好艰难，每句话都要想好久该怎么说……
傅里叶变换还有一点点没写完，下次就可以写完啦！
