在FRM考试中，将VaR定义为VaR is the maximum loss over a target horizon and for a given confidence level，即在特定时间，给定的置信水平下的最大损失，用其来衡量风险，类似的衡量的风险的指标很多，FRM中主要包括：ES, D, β，σ等等。
既然指标怎么多，那又是根据哪些原则来挑选风险衡量指标的呢？
FRM中给出了四条原则：
(1)Monotonicity 单调性
R1>=R2, then ρ(R1) <= ρ(R2)
收益越高，风险越低。单调性和之前所知的常理不符，其实也好理解，换个角度，即收益越高，资本越充足，越能抵抗风险。
(2)Subadditivity 次可加性
ρ(R1 + R2)<= ρ(R1) + ρ(R2)
同时投资两种资产的风险要小于等于单独投资两种资产的风险之和。
(3)PositiveHomogeneity 正齐性
ρ(βR) = βρ(R)
投资一支股票的风险为ρ(R)，那么投资β支风险相同的股票的风险为βρ(R)。
(4)TranslationInvariance 平移不变性
ρ(R + c) = ρ(R) - c
c是常数，相当于在投资组合中加入现金，现金是具有风险缓释作用的，那么计算风险时就可以减掉这个c。
我们通常认为，符合上述四条原则的风险指标即为一个好的风险衡量指标。
VaR的优缺点：
VaR自被发明以来一直饱受争议，但时至今日仍被投资界所使用，必有其自身的优越性。
优点：
(1)Used for risk control and performance assessment.
(2)Easy to understand.
(3)Advanced method.
(4)Single instrument or portfolio
缺点：
(1)Did not contain worst conditions,did not describe tail loss.
根据VaR的定义，其只能告诉我们在特定时间，给定置信水平下的最大损失，即其在设计之初，就忽略了极端情况的存在，一天内，在95%的置信区间下，最大损失为100万美金，其意义为在一天时间内，最大损失有95%的可能性不超过100万美金。VaR能描述95%，99%的情况下的最大损失，但忽略了5%，1%的情况，即忽略掉了尾部风险（tail loss），忽略了肥尾的情形，如果发生黑天鹅，VaR岂不是害人不浅！尾部风险是指在巨灾事件发生后，直到合约到期日或损失发展期的期末，巨灾损失金额或证券化产品的结算价格还没有被精确确定的风险。
假设100days的时间里，收益分别为-200,-50,-10,-6.5,-5,-1,-0.5,0,1,2,5,...在95%的置信区间下，运用非参数法，VaR为5万，但其尾部的损失却远远大于5万。100天里91天盈利，但还比不上一天的亏损。
『尾部风险』就是所谓的黑天鹅事件的风险，资产a和b在500天里收益最大的495天损失最大的是10万元，那它们的VaR99%都是10万元，但有可能在剩下5天里资产a平均损失20万，资产b平均损失50万。看上去风险一样的资产，尾部风险完全不一样。现实生活里的风险资产很多是像资产b这样的不符合正态分布的，用基于正态分布假设的VaR来估算很容易低估风险。（此段文字摘自知乎，作者：chifung cheung）
(2)Not sub-additive.
不满足次可加性（一般非常离散的模型不满足次可加性）同时投资两种资产的风险要小于等于单独投资两种资产的风险之和，比如说资产a风险是10万，资产b风险是20万，那资产a与b的投资组合的风险必须小于等于30万。但VaR不具备这个性质，不但不好评价资产组合，还很难进行投资组合最优化。
在置信水平为99%的情况下，投资于单个资产，其var值为0万（从左向右数，概率累计大于1%时为止）；投资于A,B,C三个资产时，其var值却为10万(从左向右数，概率累计大于1%时为止)，不满足次可加性的原则。
(3)illiquid Assets
流动性较差的资产不能用VaR来衡量，VaR极度依赖交易数据，如果某种资产10,20天才产生一次交易，我们是没法用它的VaR来衡量风险的，即使计算出来也是不准确。
VaR的计算：
计算VaR的方法有很多，FRM中将按照full valuation和local valuation进行了划分。
local valuation主要指Delta-Normal Approximation，Delta-Gamma Approximation。
为了方便给理解，下面主要介绍非参数法和参数法。
(1) 非参数法
略。。。
(2)参数法
①相对VaR(relative VaR)
相对于均值，比如95%的置信水平，那么VaR = 1.65σ
②绝对VaR(absolute VaR)
相对于0，VaR = |1.65σ - E(R)|
这里求出的为百分比（即percent var），如果是求数值（dollar var），再乘以整个投资组合的价值即可。
举个例子：
给定一个价值$100,000,000 portfolio，一周的期望投资回报率为0.00188，标准差为0.0125，给定95%的置信水平，求VaR？
ρ为天与天之间的关系。
① With trends→positive correlation→VaR increase
市场的变化是有趋势的，此时ρ>0, VaR会变大。
②With mean reversion→negative correlation→VaR decrease
均值回归，此时ρ<0,VaR会变小。
（总是围绕-0.5这个轴波动，均值是回归的）
VaR的应用：
(1)Delta-Normal Approach：
仅考虑线性关系
①债券的VaR
②期权的VaR
(2)VaR of Nonlinear Derivatives–Delta-Gamma Approximation
///推导为两边同时取VaR///
①债券的VaR
②期权的VaR
VaR模型的补充
对于VaR模型，由于其未考虑尾部风险，所以金融学界又发明了许多方法，对VaR模型进行补充，比方说conditional VaR（ES），worst case scenario(WCS，最差情景分析)，StressTesting（压力测试）等。这些方法主要考虑极端情况的发生，在一定程度上弥补了VaR未考虑尾部风险的弊端。
最后附上一篇实战文章，加深对VaR的认识。
在险价值(Value at Risk)风险度量下的资产组合前沿 https://uqer.io/community/share/57aa83f8228e5b9b95a88894
