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康托展开的公式是 X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 其中，ai为当前未出现的元素中是排在第几个（从0开始）。
这个公式可能看着让人头大，最好举个例子来说明一下。
例如，有一个数组 s = ["A", "B", "C", "D"]，它的一个排列 s1 = ["D", "B", "A", "C"]，现在要把 s1 映射成 X。n 指的是数组的长度，也就是4，所以
X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0!
关键问题是 a4、a3、a2 和 a1 等于啥？
a4 = "D" 这个元素在子数组 ["D", "B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，"D"是第3大的元素，所以 a4 = 3。
a3 = "B" 这个元素在子数组 ["B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，所以 a3 = 1。
a2 = "A" 这个元素在子数组 ["A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"C"是第1大的元素，所以 a2 = 0。
a1 = "C" 这个元素在子数组 ["C"] 中是第几大的元素。"C" 是第0大的元素，所以 a1 = 0。（因为子数组只有1个元素，所以a1总是为0）
所以，X(s1) = 3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
A B C | 0
A C B | 1
B A C | 2
B C A | 3
C A B | 4
C B A | 5
通过康托逆展开生成全排列
如果已知 s = ["A", "B", "C", "D"]，X(s1) = 20，能否推出 s1 = ["D", "B", "A", "C"] 呢？
因为已知 X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! = 20，所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1？如果不考虑 ai 的取值范围，有
3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
2*3! + 4*2! + 0*1! + 0*0! = 20
1*3! + 7*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 10*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 0*2! + 20*1! + 0*0! = 20
等等。但是满足 0 <= ai <= n-1 的只有第一组。
可以使用辗转相除的方法得到 ai，如下图所示：
知道了a4、a3、a2、a1的值，就可以知道s1[0] 是子数组["A", "B", "C", "D"]中第3大的元素 "D"，s1[1] 是子数组 ["A", "B", "C"] 中第1大的元素"B"，s1[2] 是子数组 ["A", "C"] 中第0大的元素"A"，s[3] 是子数组 ["C"] 中第0大的元素"C"，所以s1 = ["D", "B", "A", "C"]。
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<string>
#include<cstdlib>
using namespace std;
class Cantor
{
private:
string str;//要康托展开的字符串
char *indexStr;//str排序后的字符串
int len;//字符串长度
int *fact;//阶乘
void Init();
void toCharArray();
public:
Cantor(string str):str(str),len(str.length())
{
Init();
};
int encode(string ss);
string decode(int val);
};
void Cantor::Init()
{
fact=new int[len];
fact[0]=fact[1]=1;
for(int i=2;i<len;i++)
{
fact[i]=i*fact[i-1];
}
toCharArray();
}
void Cantor::toCharArray()
{
indexStr=new char[len];
for(int i=0;i<len;i++)
{
indexStr[i]=str[i];
}
sort(indexStr,indexStr+len);
}
int Cantor::encode(string ss)//返回字符串在全排列中的字典位置，从0开始
{
int cnt,pos=0;
for(int i=0;i<len;i++)
{
cnt=0;
for(int j=i;j<len;j++)
{
if(ss[i]>ss[j]) cnt++;
}
pos+=cnt*fact[len-i-1];
}
return pos;
}
string Cantor::decode(int val)//通过字符串在全排列中的字典位置找到相应的字符串
{
div_t divResult;//求商和余数的数据结构
string order,res;
vector<int> num;
for(int i=0;i<len;i++)
{
num.push_back(i);
}
for(int i=len-1;i>=0;i--)
{
divResult=div(val,fact[i]);
order.push_back(num[divResult.quot]);
num.erase(num.begin()+divResult.quot);
val=divResult.rem;
}
for(int i=0;i<len;i++)
{
res.push_back(indexStr[order[i]]);
}
return res;
}
int main(){
Cantor cantor("ABCD");
cout<<cantor.encode("DBAC")<<endl;
cout<<cantor.decode(cantor.encode("DBAC"))<<endl;
cout<<cantor.encode("BCAD")<<endl;
cout<<cantor.decode(cantor.encode("BCAD"))<<endl;
}
