第十二章：二叉树（binomial tree）

一个非常有用的期权定价方法就是构造一个 binomial tree。这个树状图表示在期权期限内可能会出现的股票价格变动的路径。

在树的每一步（可能按时间来划分），股票价格都有一定的机会上行或者下行。当步长足够小时，股票价格趋于对数正态分布，也就是 Black-Scholes-Merton 模型的假设。因此，用二叉树估计的期权价格收敛于 Black-Scholes-Merton 模型的定价。

12.1 无套利假设下的一步二叉树模型

现在我们来推导一下期权的二叉树定价公式。

我们考虑如下 portfolio A：

一定数量的股票
一个 short call，在 T 时刻到期，执行价格为 K

我们将要用到的符号约定如下：

$S_0$ : 期权在 0 时刻价值
$u$ : 股票在 T 时刻上涨幅度，满足 $S_u = S_0u$
$d$ : 股票在 T 时刻下跌幅度，满足 $S_d = S_0d$
$c$ : 在 0 时刻，期权的价格，即我们需要求得的变量
$f_u$ : 在 T 时刻，股票价格上涨时的 payoff，对于欧式看涨期权是 $\max(S-K, 0)$
$f_d$ : 在 T 时刻，股票价格下跌时的 payoff，对于欧式看涨期权是 $\max(S-K, 0)$
$\Delta$ : 使得 portfolio A 无风险的股票仓位

所谓无风险，即无论股票价格上升还是下降，都不影响 portfolio A 的价值。

因此，我们可以得到：

$\Delta S_0 u - f_u = \Delta S_0 d - f_d$

注意，由于是看涨期权的空头，因此都是减去 payoff。
我们可以解出 $\Delta$ ：

$\Delta = \frac{f_u - f_d}{S_0 u - S_0 d}$

由于不存在套利机会，而这个 portfolio 是无风险的，因此它的收益必然等于无风险利率 $r$ 。否则，可以借钱买入该 portfolio，或者卖空来套利。

$\Delta S_0 u - f_u = (\Delta S_0 - c)e^{rT}$

即

$c = (1 - ue^{-rT}) \Delta S_0 + f_u e^{-rT}$

我们将 $\Delta S_0 = \frac{f_u - f_d}{u - d}$ 带入，有

$c = \frac{(1 - de^{-rT})f_u - (1 - ue^{-rT})f_d}{u - d}$

我们引入 $p = \frac{e^{rT} - d}{u - d}$ ，则可以将上式写为：

$c = e^{-rT}[p f_u + (1-p) f_d]$

例 1

我们可以用一个实际例子来说明如何使用这个公式。

假设目前的无风险利率是12%。一个股票现在价值为 $20，我们已知 3 个月后它可能上涨到 $22，也可能下跌到 $18。则期限是 3 个月，执行价格是 $21 的欧式看涨期权价格是多少？

我们可以得到 $u = 1.1$ ， $d = 0.9$ ， $r = 0.12$ ， $T = 0.25$ ， $f_u = 1$ ， $f_d = 0$ 。

于是计算得出 $p = 0.652$ ，call 的价格为 $c = 0.633$ 。

12.2 风险中性定价

我们对风险的态度可以分为以下三种类型：

风险厌恶
投资者期望从风险更高的投资中获取更高的收益。这也是现实世界中大部分投资者的态度。
风险中性
投资者并不要求从风险更高的投资中获取更高的收益。
风险偏好
投资者愿意从高风险的投资中获取更少的收益。

用抛硬币的赌局来举例，假设一枚均匀硬币，正面则投资者获益 100，背面则损失本金。因此该赌局期望获益 50 块。那么：

风险厌恶的投资者最多愿意花低于 50 块本金参与。
风险中性的投资者最多愿意花 50 块本金参与。
风险偏好的投资者最多愿意花高于 50 块本金参与。

我们常常假设一个风险中性的世界来简化衍生品定价：

投资品的期望回报率等于无风险利率
期权 payoff 的折现率等于无风险利率

我们再来看之前得到的期权定价公式：

$c = e^{-rT}[p f_u + (1-p) f_d]$

我们来计算一下股票价格在 $T$ 时刻后的期望：

$E(S_T) = p S_0 u + (1-p) S_0 d = p S_0 (u - d) + S_0 d$

代入 $p = \frac{e^{rT} - d}{u - d}$ 得到：

$E(S_T) = S_0 e^{rT}$

我们发现，假设 $p$ 是股票价格上涨到 $S_u$ 的概率， $1-p$ 是股票价格下跌到 $S_d$ 的概率，则股票收益率的期望就是无风险利率。也就是说，股票这种存在风险的投资产品的期望收益率与无风险利率相等，这与 风险中性 的世界相符。

12.2.1 风险中性假设下的一步二叉树模型

在 12.1 中，我们使用无套利的假设得到 $p = \frac{e^{rT} - d}{u - d}$ 。基于风险中性假设，我们可以使用另一种方法，即根据股票的期望价值来计算。

$p^{*} S_{u} + (1-p^{*}) S_{d} = 20 e^{rT}$

带入公式也可以得到 $p^{*} = 0.652$ 。

对于 call 的价值，因为它在 $T$ 时刻有 $p$ 的几率价值 $S_u - K$ ，也有 $1-p$ 几率价值0，因此其当前价值为其 payoff 期望折现后的结果：

$c = p (S_u - K) e^{-rT} = 0.633$

与 12.1 中的结果相同。即利用无套利假设和风险中性假设获得的结果相同。

12.2.2 Real World

需要指出的是， $p$ 是 风险中性 假设下股票价格变为 $S_u$ 的概率。一般情况下，这和现实中并不相等。因为现实世界是风险厌恶型的，因此对于高风险的股票会有更高的收益期望。

现实中当无风险收益率是 12% 时，假设对股票的收益期望是 16%，则

$22 p^* + 18(1 - p^*) = 20e^{0.16*3/12}$

计算得知 $p^* = 0.704$ 。

在 12.2.1 中我们计算期权价格时，我们采用了与股票相同的利率对 payoff 进行贴现，然而由于期权风险比股票大，我们对期权收益的贴现率应该大于 16%。我们无法知道实际的贴现率因此无法计算。

只有在风险中性假设下，我们对所有的资产回报率的期望值才能都等于无风险利率，从而可以计算期权的价格。

12.3 两步二叉树

Stock prices in a two-step tree

假设在上图中，每一步时间为 3 个月，股票可能上涨或者下跌 10%。

我们希望计算一个执行价格 21，期限 6 个月的 call 的价值。

由于每一步上涨/下跌幅度是一致的，因此计算所得的上涨/下跌的概率也是一致的。

我们直接从最终状态入手，
$f = e^{-2r \Delta t}[p^2 f_{uu} + 2p(1-p)f_{ud} +(1-p)^2f_{dd}]$
其中 $p = \frac{e^{rT} - d}{u - d}$ 。

12.3.1 Delta

我们之前在一步二叉树中已经用到了 $\Delta$ ，它是当我们卖出一份期权时，为了构造无风险组合需要持有的标的资产数量。它代表了期权价格变化与股票价格变化的比率。

因此，对于 12.1 例 1 中的 $\Delta$ ，我们用如下式子计算：

$\Delta = = \frac{f_u - f_d}{S_0 u - S_0 d} = \frac{1-0}{22-18} = 0.25$

在两步二叉树中，我们发现 $\Delta$ 是随时间变化的。因此无法构造一个 portfolio 使它在到期日前都保持风险中性。在实际中，我们需要不断调节持有股票的数量来进行对冲。

12.5 美式期权

我们之前讨论的都是欧式期权，因此可以只依赖最终状态来确定价格。但是对于美式期权，由于可以提前行权，在每一步，期权的 payoff 都应该取以下两个值的最大值：

通过 $f = e^{-r \Delta t}[pf_u + (1-p)f_d]$ 计算出的 payoff
立即行权的 payoff

假设股票价格变化如下图。每步时间为 1 年，可能有 20% 的上涨或者下跌。无风险利率为 5%。

Using a two-step tree to value an American put option

注意上图的 C 点。

我们首先计算 $p = \frac{e^{rT} - d}{u - d} = 0.6282$ ，则在 C 点时， $f = 9.4636$ 。然而，假设选择在 C 点时立即行权，我们可以获得 $12。因此在 C 点期权的价值为 12 而非 9.4636。

在 B 点，期权价值为 1.4147，在 A 点，期权价值为 5.0894。

12.7 使 $u$ 和 $d$ 与波动率吻合

在实际中，当我们构造二叉树来表示股票价格变化时，我们需要选取恰当的 $u$ 和 $d$ 使股票的变化和波动率 $\sigma$ 一致。那我们究竟需要匹配现实中的波动率，还是风险中性的波动率呢？

我们马上将要证明，现实世界中的波动率和风险中性世界中的波动率是相等的。

Stock price changes in real world and risk neutral world

股票价格变化如上图所示，假设股票的波动率 $\sigma$ ，则股票回报率的方差为 $\sigma^2 \Delta t$ 。

对于现实世界，股票有 $p^*$ 的概率回报率为 $u -1$ ，同时有 $1-p^*$ 的概率回报率为 $d - 1$ 。由于 +1 并不影响方差，我们可以转为计算股票 终值/初值 的方差。

$D(x) = E(x^2) - [E(x)]^2$

因此有

$[p^* u^2 + (1-p^*)d^2] - [p^*u + (1-p^*)d]^2 = \sigma^2 \Delta t$

化简得到

$p^* (1-p^*)(u-d)^2 = \sigma^2 \Delta t$

另一方面，假设现实中我们对股票收益的期望回报率是 $\mu$ ，则有：
$p^{*} S_0 u+ (1-p^{*}) S_0 d = S_0 e^{\mu \Delta t}$
$p^* = \frac{e^{\mu \Delta t} - d}{u - d}$

从而得到

$(e^{\mu \Delta t} - d)(e^{\mu \Delta t} - u) + \sigma^2 \Delta t = 0$

将上式 Taylor 展开并忽略 $\Delta t$ 的高次项，可以得到 $u, d$ 的一组解：

$u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}$
$d = e^{- \sigma \sqrt{\Delta t}}$

（我好像没有办法通过泰勒级数得到同样的结果，暂且先留着）