一、概述
本系统拟完成一个图形系统，对多种常见图形进行基本操作

系统功能

二维图形的输入：可输入或全部清除不同颜色的直线、矩形、圆、椭圆、多边形、曲线、铅笔工具
二维图形的编辑：对于直线、矩形、圆、椭圆、多边形、曲线，可以通过鼠标拖拽标出的控制顶点来进行编辑
二维图形的剪裁：可通过拖拽编辑矩形的剪裁窗口对当前直线进行剪裁
二维图形的变换：在直线、矩形、圆、椭圆、多边形、曲线内部可通过鼠标拖拽进行平移，通过按钮进行左右旋转和翻转，以及缩放
二维图形的存储：可将图形存储在选择的路径下
三维模型的显示：可选择加载OFF文件，显示对应的三维模型，并通过鼠标拖动转换视角
环境说明

IDE：Qt Creator 4.8.0
Qt版本：Qt 5.4.0 (mingw491_32)
开发语言：C/C++
Debuggers：GNU gdb 7.8 for MinGW 4.9.1 32bit

二、算法介绍
系统包括的算法主要是二维图形的操作、三维模型的显示和用户操作的响应。

2.1 二维图形
2.1.1 基本图形
对于各种图形，虽然其具体的实现细节有所不同（主要体现在图形的绘制），但它们都有一些公共的属性和操作，比如计算图形的范围和中心点的位置，以及图形平移、旋转、缩放操作。这些属性和方法的算法是相同的。

1. 图形范围
   对于直线、矩形、圆、椭圆、多边形、曲线，遍历其控制点的值，获得minX、maxX、minY、maxY。上述图形绘制后形成的所有点，不会有点的x值不在[minX, maxX]或y值不在[minY, maxY]中。四个值可以确定图形的范围，同时用于边框的绘制。

2. 中心点
   中心点位置为(centerX, centerY)，其中centerX = (minX + maxX) / 2，centerY = (minY + maxY) / 2。中心点可用做旋转、缩放的基准点。

3. 平移
   图形的绘制依赖于控制点，因此只要更新每个控制点的信息即可。在图形平移方法中，传入的参数为x轴方向移动距离的值tx和y轴方向移动距离的值ty。对于(x, y)经平移(tx, ty)向量后的坐标为(x + tx, y + ty)。

4. 旋转
   图形旋转传入的参数为角度数θ。控制点(x, y)顺时针旋转θ后，是以中心点(centerX, centerY)为基准的，坐标变为(centerX + (x - centerX) cosθ - (y - centerY) sinθ, centerY + (x - centerX) sinθ + (y - centerY) cosθ )。

5. 缩放
   图形缩放传入的参数为在x方向上缩放比例为sx、在y方向上缩放比例为sy。控制点(x, y) 在x方向上缩放比例为sx、在y方向上缩放比例为sy后，坐标变为(x sx + centerX (1 - sx), y sy + centerY (1 - sy))。

2.1.2 直线
对于直线，只需要确定两个顶点的坐标作为控制点。直线生成有DDA算法、中点画线算法和Bresenham算法。

1. 线生成DDA算法
   线生成的DDA算法，主要是在x和y中选择“变化得快”的方向，在这个方向上选取等距的一个个值，计算出每个值对应的另一方向的值。介于x和y的值都是整数，因此每次的“增量”至少为1，计算得到的另一个值往往不是整数，是需要四舍五入的，同时后者也可能是不精确的。如果选择“变化得慢”的方向作为基准，则每次迭代，另一方向上的变化幅度就会大于1，可以想象这种算法下点会比较“稀疏”，不如“稠密”的点组成的线精密。

具体来说，当直线的斜率(m)的绝对值大于1时，就是所谓的y轴“变化得快”，选取y轴进行取样，当斜率绝对值小于1时则要选取x轴。或者在实现上，可以直接比较两个顶点x轴上和y轴上的差值的绝对值，在差值绝对值较大的方向上取样，计算差值较小的方向上的取值。确定方向后可以得到两个方向上每次取样的增量，结果应该是取样方向上增量为1，计算方向上增量为[-1, 1]之间的值(绝对值为min( |m|, |1/m|))。

迭代计算出直线上每个点的位置。由于c++语言的特性，取值可以是加0.5再取整。部分伪代码如下：

dx=x2-x1;
dy=y2-y1;
e=(fabs(dx)>fabs(dy))?fabs(dx):fabs(dy);
dx/=e;
dy/=e;
for(int i=1;i<=e;i++)
{
SetPixel((int)(x+0.5), (int)(y+0.5));
x+=dx;
y+=dy;
}
2. 中点画线算法
根据直线的两个点，得到直线的方程f(x, y) = ax + by +c。取样方向的选择同DDA算法，下面讨论在x轴上取样、斜率为正的情况，y轴同理。

对于第i个选择的像素(xi ,yi)，其下一位置的候选像素点为(xi+1, yi)和(xi+1, yi+1)，取其中点(xi+1, y+1/2)代入直线方程，计算出来的决策参数为d = a * (xi+1) + b * (yi+1/2) +c。当d < 0时，中点是在直线的下方的，则靠上位置的(xi+1, yi+1)更靠近直线，如果d <= 0则选取(xi+1, yi)作为下个像素点。

根据上述方法进行迭代，至到达顶点。

3. 直线生成的Bresenham算法
   Bresenham算法中对于两个候选的“下一个”像素点的选取是与中点画线算法相同的。△y和△x分别为线段端点的垂直和水平偏离量(整数)在第k步，决策参数为pk = 2△y • xk - 2△x • yk +c,第k+1步的决策参数为pk+1 = 2△y • xk+1 - 2△x • yk+1 +c，根据决策参数的符号来决定像素的选取。

4. 直线的裁剪 - Cohen-Sutherland算法
   根据如图所示的方法对直线段的两个端点进行编码，得到两个编码结果进行比较。完全在窗口边界内的线段，两端点区域码均为0000；完全在裁剪矩形外的线段，对两个端点区域码进行逻辑与操作，结果不为0000；不能确定完全在窗口内外的线段，进行求交运算，求出线段与裁剪框的交点坐标，作为线段的新端点坐标。

2.1.3 矩形
矩形由四个点首尾相连而成。事实上，只需要对角线的两个控制点，就可以组合出四个顶点的信息。矩形的绘制利用2.1.2中实现的直线生成算法，绘制出四条直线。

2.1.4 圆
圆可以根据两个控制点形成的矩形来框定，选取了两个控制点x轴、y轴上差值较大的一个作为圆的直径。圆的函数为f(x, y) = x^2 + y2^2 - r^2。其画法可以看作是下述椭圆的特例，不再具体描述。只不过因为对称性，只需要画出1/8的部分，即只需要画出区域1，且区域1和区域2的分界点就是x = y的时候。

2.1.5 椭圆
椭圆可以依靠两个控制点形成的一个矩形来规定范围，生成的椭圆内切在其中。椭圆的圆心就是中心位置(centerX, centerY)，x轴上的直径ra和y轴上的直径rb分别是两点x轴、y轴上差值的。

根据图形平移的理论，可以以原点为圆心计算出椭圆上的点(x, y)，再变换成(x + centerX, y + centerY)。因为椭圆的对称性，可以在以原点为圆心的基础上，只进行第一象限的计算。椭圆的绘制采用中点椭圆生成算法。

中点椭圆生成算法
如图所示，定义椭圆函数f(x, y) = ry^2 * x^2 + rx^2 * y^2 - rx^2 * ry^2。以圆切线斜率绝对值为1作为划分，第一象限可以分为区域1和区域2。实际上，第一象限的切线斜率为负数，斜率dy/dx = -2ry^2 * x / (rx^2 * y)，因此区域1进入区域2的条件是2ry^2 * x >= rx^2 * y。区域1中x轴“变化得快”，在x轴上取样，区域2则在y轴上取样。从(0, ry)或(rx, 0)开始，进行迭代，计算出椭圆上每个点的位置。下面指出区域1中的计算方法，区域2中同理。

椭圆上的点的决策参数的初始值为p0 = ry^2 - rx^2 * ry + rx^2 / 4。假设第k次选择的像素为(xk, yk)，为确定下一次选择的像素，计算x(k+1)位置两个候选像素点的中点，即(xk+1, yk)和(xk+1, yk-1)的中点(xk+1, yk-1/2)，将其代入椭圆函数求出决策参数。

若p1k < 0，则这个中点在圆内，(xk+1, yk)更接近真实的圆；若p1k >= 0，中点在不在圆内，选取(xk+1, yk-1)作为下一个像素点。迭代至循环结束，最后将第一象限的每个像素点映射到其余三个象限，再从原点将圆心移动到原本的中心位置。

2.1.6 多边形
多边形的生成也以直线生成为基础，利用直线的绘制将各个多边形的顶点作为控制点首尾相连起来。在实现上，多边形还需要一个额外的变量来记录控制点是否输入完全（首尾共点）。

2.1.7 曲线
曲线的绘制需要若干控制点，通过计算各个像素点的位置，将所有控制点按照顺序平滑地连接起来。曲线分为Bezier曲线和B样条曲线。

1. Bezier曲线
   给定Pk=(xk,yk,zk)，(k=0,1,2,…,n)共n+1个控制点，这些点混合产生位置向量BEZk,n(u)是Bernstein多项式，BEZi,n(u)=C(n,i)ui(1-u)n-i，其中C(n,i)=n!/[i!(n-i)!] (i=0,1,…,n) 。利用Bernstein基函数的降(升)阶公式，可使用递归计算得出Bézier曲线上点的坐标位置：BEZk,n(u)=(1-u)BEZk,n-1(u)+uBEZk-1,n-1(u)，其中BEZk,k(u)=uk, BEZ0,k(u)=(1-u)k。

2. B样条曲线
   给定n+1个控制顶点{Pi}(i=0,1,…,n)，P0P1…Pn为控制多边形 n+k+2个参数节点向量：Un,k={ui|i=0,1,…,n+k+1，ui≤ui+1}。称如下形式的参数曲线P(u)为k+1阶(k次)B样条曲线：其中，Bi,k+1(u)为k+1阶(k次)B样条基函数。Bi,k+1(u)双下标中下标k+1表示k+1阶(k次)数、下标i表示序号。

2.1.8 填充区域
填充区域需要先有一个像素包围的封闭图形框架，然后计算出其内的所有像素点的位置。算法有扫描填充图元生成和区域填充图元生成。

1. 扫描填充图元生成
   扫描填充的核心是“扫描”，一般从多边形的顶点出发，移动一条横越图形的扫描线，每次求交点，从左至右配对存储这些交点。扫描线每与两条线相交，这条线的交点表上就会有添加两个交点。需要处理共享顶点两条边位于扫描线同侧和异侧的情况。交点表的存储可以利用活化边表、排除不必要的求交测试的有序边表。

2. 区域填充图元生成
   区域填充需要从一个连通的图形内的一个种子点开始，扩展到整个区域，直至遇到了边界。该算法比较适合实现“油漆桶”类似的功能。

由于区域填充有着“递归”的思想，递归的结束条件至关重要，即对于“遇到边界”的判断。在此用到了图形4连通和8连通的内容，对于像素4连通的区域，其边界像素只需要是8连通的，也可以是过约束的4连通边界；而8连通的区域，边界像素只能是4连通的，如果边界是8连通，则欠约束，内部的点会通过对角线位置上没有填充像素的边界的空缺，泛滥到边界之外，造成全局的填充。

此外，像素4连通区域定义的图形相对简单，8连通区域可以定义更复杂的图形，比如两个像素间只通过对角线形成连通的图形。

2.1.9 铅笔工具
铅笔工具的控制点是鼠标移动的轨迹，每个点都是控制点需要记录。为了保持轨迹的连贯性，可以在每两个距离很小的相邻点间用直线连接。

2.2 三维模型
取读OFF文件并显示其表示的三维模型，重点是在了解OFF文件存储的格式以及其表示的内容。

OFF文件第一行为“off”字符串，第二行是三个整数，分别表示了这个模型的点数量numV、面数量numF、边数量numE。接下来的numV行是点的信息，每行都是每个点的x、y、z值，值的定义域为[-1,1]的浮点数，同时也确定了点的编号（从0开始）。然后是numF行的面信息，每行第一个整数表示这个面拥有的点的数量，接下来的几个整数是点的编号。

在三维模型中，需要将面打印出来，也就是将每个面的顶点按顺序输出。

2.3 主界面
主界面是实现用户各种操作的接口，主要对于不同的鼠标事件进行响应。

在这里插入图片描述

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完整的源码和详细的文档，上传到了 WRITE-BUG技术共享平台 上，需要的请自取：

https://www.write-bug.com/article/2996.html