蟾圆几度，分袂未遥。暌违风采，时殷企念。季冬寒甚，不审诸君动止何似?对于上回的文章，很多朋友表示讲得太慢了。对此我以为，不是讲得慢，实在是你们乐理基础太好了。

图1（我把微笑送给你。来源：百度图片）

先澄清一个错误。上一篇文章纯律中a1的音高，以及c1到a1的频率比都是错的，不小心把五度相生律中的数据给粘上去了。这一错误将会在下一篇文章中更正。在此特别感谢飞天合唱团中的中坚力量、活泼可爱的@严程皓同学。

上回介绍的是十二平均律，其特点就是十二、平均（不明白的朋友请自行复习前一篇）。可见，只要一个人有小学水准的语文素养、初中水平的逻辑分析能力、稍微高一点的数学知识储备（得会做对数、指数运算），那么学习律学根本就不是问题。

接下来说五度相生律。先要说明，这里的五度是指纯五度。在十二平均律中，纯五度音程对应的是7个半音，意即，两音频率比为2^(7/12)。而现在既然不使用十二平均律了，对纯五度的定义方法自然也要换个方式。

早在遥远的春秋时代，毕达哥拉斯及其学派发现当认为弦乐器的弦长比分别为2:1、3:2、4:3时，可以发出很和谐的声音。用当代术语描述就是，2:1、3:2、4:3的现场比分别对应纯八度、纯五度、纯四度的音程。现在我们得出结论：

结论1：（非十二平均律下的）纯五度是指弦长比分别为3:2的相同琴弦发出的声音的音程。

图2（吉他的琴弦。来源：百度图片）

等等，好像哪里不对。我们明明讲的是律学，为什么突然蹦出一个弦长比？全然分からない。

那我们继续分（chě）析（dàn）。稍微涉及一点高中知识以外的内容，没有兴趣的朋友请直接跳到结论。根据高中物理，我们知道当紧张的琴弦振动发声的时候，弦上各处在平衡位置附近做简谐振动（不考虑阻尼）。这是典型的横波，具体来说，是一种典型的双端固定的一维波动。用方程来描述是：

其中，u(x,t)指x处在t时刻偏离平衡位置的位移，F(x,t)是垂直弦的外力，k=√(T/ρ)为一常数（有很直观的物理含义，后面会说），T为弦上的张力，ρ为弦的密度。经计算，其通解为（通解的物理含义是弦的自由振动分量，特解对应受迫振动的振动分量）：

其中，f1、f2为任意具有连续二阶连续偏导数的函数。考虑到真实情景为一根长为L的双端固定的琴弦，带入边界条件

可以求出f1、f2的更为精确的形式。

然而我们并不需要这么做。只需要分析式(2)的物理含义，可以很容易地发现，x+kt、x-kt的形式暗示了横波在弦上能够向两个方向传播。那么，这个处核心地位的k有什么物理含义呢？

答案已经呼之欲出了，是波速。观察双端固定琴弦的的驻波形状，易知，稳定驻波的波长是

图3（定长的双端固定的一维振动的驻波。来源：百度图片）

回忆高中物理，振动的频率

其中振动的基频（此时N取1）为

我们发现，弦长和频率（基频）成反比关系。再联系前文（我知道你们肯定都忘了）纯五度的3:2关系，我们可以得出结论：

结论2：（非十二平均律下的）纯五度下，两音的频率比为2:3。

顺便一提，在这种规律下，纯八度频率比仍然是1:2，这和我们前一篇的结论是不相违背的。好了，经过繁复的推导，我们知道了一些结论，但是这有什么用呢？

根据(6)易得，琴弦的振动不会是简单的简谐振动，而是应当写成类似于

的形式。等等，这个形式好像在哪里见过……

图4（全tm是套路。来源：百度图片）

显然，根据傅氏级数的相关知识，F(t)是一个以为频率的周期函数。也就是说，每一个单音，实际上都是一组以Nω为频率的正弦波的叠加。根据小学数学知识，如果两个单音的基频的最小公倍数小，那么其各次谐波中有很多频率是重叠的，因此听起来和谐。反之则听上去不和谐。试想，如果某甲唱1000Hz，而某乙唱998Hz，那么几乎两个人声音中的每一次的谐波成分都在坚定地打着架（拍现象，篇幅原因这里不展开说了），这样的听觉效果将是多么的惨绝人寰。难怪我们敬爱的程哥（北航飞天合唱团常任指挥）总会让某些唱不准的人闭嘴（比如我）呢。

书归正传（今天好像格外地爱跑题呢），我们发现用2:3频率比来定义纯五度（以及1:2的纯八度，3:4的纯四度），得到的音程是非常和谐的。

图5（要和谐。来源：百度图片）

那既然你这么和谐，就用纯五度（上方纯五度就是下方纯四度，反之亦然）和纯八度来标定其余的一切音程吧。——五度相生律就是这样的思路。

比如说，C上方五度是G，那么频率比就是3/2。再五度相生一次可以生出上一组的E，那么C和E的关系就是（注意要降一个八度）

其余以此类推，通过这种方法可以得出所有的音程之间的关系。现在回头再看表1

表1（五度相生律的频率比关系。来源：自制）

是否会有了新的感受呢？希望朋友们能在这篇文章中得到收获。下面给出五度相生律的定义：

结论3：五度相生律是根据复合音的第二分音和第三分音的纯五度关系，即由某一音开始向上推一纯五度，产生次一律，再由次一律向上推一纯五度，产生再次一律，如此继续相生所定出的音律叫做五度相生律。

值得说明的是：（1）第几分音的概念我会在下一篇文章的介绍，这里我们只要知道这和结论2中所阐述的结论是一致的就可以了。（2）五度相生律是从任意一个音开始相生都可以的（方便起见，文中从C开始生。实际上从任意一个音开始生，得到的音程的频率比都是一样的）。

说了这么多，大家也累了吧。下一篇文章将介绍第三种律制——纯律，以及三种律制之间的一些关系。

放张美图给诸君养养眼。

图6（泄矢诹访子。来源：百度图片）

                       深渊之蛙

                      2017.1.17