本章我们主要研究标的资产远期价格、期货价格与即期价格的关系。
远期合约相比期货合约更容易分析,因为它不需要每天结算。幸运的是,相同到期日的远期价格和期货价格非常接近。
因此我们首先学习远期价格的确定方法。
5.1 投资资产与消费资产
投资资产:有足够多的投资者持有它的唯一目的就是为了投资。
例如,黄金,白银,股票,证券(金融类)
消费资产:持有资产的主要目的是为了消费。
例如,铜,原油,猪肉(商品类)
对于投资类资产,我们可以从无套利假设出发,由即期价格与其他市场变量得出远期价格和期货价格。
而对于消费资产无法做到这点。因为他有使用价值,一般情况现货价格会高于期货价格。
5.2 卖空
一些套利策略需要用到“卖空”(short selling)操作。也就是说卖出不属于自己的资产。部分投资类资产允许卖空操作。我们以股票为例介绍如何进行卖空操作。
假设某投资者通过 broker 卖空 500 股 IBM 股票。broker 会通过“借用”其他客户的股票来卖出。在之后某个时期,这个投资者需要再买入 500 股 IBM 股票来平仓。这 500 股股票用于归还其他客户之前借出的股票。
在这个过程中,如果股票价值下跌了,那么这个投资者就实现了“高卖低买”从而获利,反之则遭受损失。
这个投资者在卖空期间需要支付资产所带来的收益给 broker。例如股息或者利息。broker 将这些收益转发给“借出”资产的客户。
5.4 投资资产的远期价格
5.4.1 不提供中间收入的资产
考虑一个投资类资产的远期合约,它不提供任何收入,即期价格为。距离到期日时间为,无风险利率为,远期价格为。则我们有:
下面以一个简单的例子来说明定价的原理。
考虑一个 3 个月期无股息股票的远期合约。假设股票当前价格为 40 美元,3 个月期无风险利率为每年 5% (连续复利)。
则可以计算得到 3 个月无风险投资的收益为 。
远期价格 | 现在的交易 | 三个月后的交易 |
---|---|---|
43美元 | 以 5% 利率借入 40 美元买入股票,并进入远期合约空头 | 以43 美元价格卖出股票,偿还利息40.5美元,无风险收益2.5美元 |
39美元 | 卖空一只股票,将40美元收益以 5% 利率投资三个月。进入远期合约的多头 | 获得 40.5 美元投资收益,以39美元买入股票对卖空交易平仓,无风险收益1.5美元 |
因此,为了保证无套利机会,远期价格必须为 40.5 美元。
5.4.2 提供已知中间收入的资产
考虑某个债券,当前价格为900美元,假定远期合约期限为9个月,在4个月后有 40 美元的券息付款,并假定 4 个月期及 9 个月期的利率分别是 3% 和 4%。
- 借入 900 美元,买入债券
具体借款额度,可以根据 2. 得到 - 在 4 个月收到 40 美元券息付款,用于偿还债务
贴现得到 ,故可偿还 39.6,期限为 4 个月,利率为 3% 的债务。因此当初借款时最优方案为借 39.6 美元 4个月期,860.4 美元 9 个月期。 - 在 9 个月时卖出债券并还款。
还需还款 。
因此只要该远期合约定价不等于 886.60,都存在套现机会。若低于 886.60,可以卖空套利。
假设 为期限, 为无风险利率(连续复利), 为折现后总的中间收入, 为即期价格,则远期价格 可通过以下公式计算:
商品期货可以看作此类情形,由于商品期货存在存储费用等花销,可以认为是 为负的情况。
例如,假定黄金的即期价格为 450 美元,无风险利率为 7%,存储费用为 2 美元,年末支付。则 1 年期黄金的远期价格为:
5.4.3 收益率为已知的情形
该结果类似于 5.4.1,假设收益率 也是以连续复利形式给出, 为期限, 为无风险利率(连续复利),则远期价格 可通过以下公式计算:
直观上非常好理解,因为收益率与无风险利率都是以连续复利形式计算的,两者其实作用是一样的。
复杂点说,假设我们在 0 时刻以利率 借入 买入资产,同时进入远期空头,卖出价格为 。
此外,我们将收益立刻用于还款,以降低利息支出。由于两者都是连续复利,可以认为我们实际借款利率变成了 。因此,利用 5.4.1 结论可以得出上面的公式。
股指期货价格就是利用该公式确定的,因为它具有固定的股息收益。
例1
一家银行向客户提供两种选择:一种是按 11% 利率(每年复利 1 次)借入现金,另一种是以 2% 利率(每年复利 1 次)借入黄金(当借入黄金时,必须以黄金形式支付本息)。无风险利率是 9.25%,贮存费用为每年 0.5%,均是连续复利。讨论哪种方案利率更高?
假设该借款人直接将黄金卖出,并进入远期多头。
贮存费用可以看作是固定的负的收益率。因此可以算出一年后黄金的远期价格为(假设当前黄金价格为 ):
此外,还需额外支付 2% 的黄金利息,即最后需要还 102%。则利率为 。显然大于现金的 0.11。
5.7 远期合约的定价
假设 是事先商量好的交割价格, 是现在新签订远期合约的交割价格, 是无风险利率, 是距离到期日时间。则远期合约的价值为:
该式的意义是显然的,即目前对未来现金流的最好估计为 ,将其以无风险收益率 贴现至现在的价值即为远期合约的价值。
在刚刚进入远期合约时,其价值为 0。这是显然的,因为协商的交割价格 ,否则交易双方无法达成一致。随着时间推移,新签订的交割价格 会变动,而 维持不变, 所以上式会波动。
以一道例题说明。
例1
股票预计在 2 个月和 5 个月时支付 1 美元股息。股票当前价格为 50 美元,对应所有期限的连续复利无风险利率为 8%。某投资者刚刚进入了 6 个月期限的远期合约空头。
(a) 远期价格与远期合约的初始价值为多少?
(b) 在 3 个月后,股票价格变为 48 美元,无风险利率仍为每年 8%,这时远期价格和远期合约空头价值为多少?
(a)
远期价格套用公式即可:
远期合约多头、空头初始价值为 0。
(b)
这里注意不能直接不能直接用 (a) 中的远期价格,因为 是随时间变化的。
3 个月后,变为:
而该合约交割价格依然是3个月前商定的 50.01,带入公式计算合约价值:
5.10 货币的远期和期货合约
以两个例题说明。
例1
假设澳元和美元 2 年期无风险利率分别为 5% 和 7%。且澳元对美元汇率为 1 : 0.62。则 2 年期的远期汇率应该为多少?
由于美元利率较高,我们假设将澳元兑换为美元获取收益,再通过2年远期合约换回澳元。假设远期汇率为 ,若期望无套利机会,则应该有:
即在澳洲收益(在未来换算成美元)等于立即兑换为美元后收益。
解得 ,否则可以通过上述方式套利。
例2
一家美国公司想通过期货合约来对冲澳元的风险敞口。假定美国和澳洲的无风险利率分别为 和 ,公司利用 时刻到期的合约来对冲时间 的风险敞口()。则最佳对冲比率为多少?
该题与第三章结合起来了。首先计算在 时刻的现货和期货价格关系。假设 时刻约定的 时刻远期合约的交割汇率(美元/澳元)为 , 时刻即期汇率为。若要保证无套利机会,则从 至 期间,有以下关系(澳洲收益=美国收益):
可以得出
而最佳对冲比率计算方法为:
最小方差对冲比率 = 相关系数 * (即期价格变化标准差 / 期货价格变化标准差)
相关系数显然为1,标准差之比与 相同,故最佳对冲比率为