【开篇】抽象代数的历史背景与内容总览

一、抽象代数的发展历史

在大多数人的印象中，数学就是用来计算的，因为大部分的数学应用都是为了得到某个值。但如果深入到数学对象这个角度，计算有时并不是主角。最简单的例子就是大家熟悉的平面几何，它很多时候只是在研究点线之间的关系。代数学刚开始被用作计算对象的符号表示，但随着其使用范围的扩大，人们发现它还可以表示各种各样的关系。在集合论中，我们已经看到过“关系”的精确定义，在这一系列我们将开始对它的深入讨论。“关系”存在于非常多的应用模型中，它们之间在本质有着非常类似的结构，抽象代数就是研究这些结构的科学。

故事还得从解方程说起，说到一元二次方程，想必大家不会忘记那个韦达定理。韦达率先将简洁的代数符号引入到公式的表达中，并给出了二次到四次方程解的代数式表示。你可能不知道，任意一元三次、四次方程解其实也是有完整的公式的，它们早在欧洲中世纪末期就被完全解决了。但奇怪的是，一元五次方程或更高次的方程，人们怎么努力都无法找到它们的根式解。正如“三大作图难题”一样，大家刚开始还是以为我们只是没有找到正确的方法，却从未想过它们根本是作不出来的！

五次方程的解一直拖到了十九世纪，拉格朗日首先发现了置换在方程解的问题中的关键作用，年轻的阿贝尔（Abel）沿着这条路证明了：五次方程并无一般性的根式解。而同样年轻的伽罗瓦则走得更远，它首先提出了群的概念，并彻底给出了方程有根式解的充要条件，将这个问题彻底解决。群的提出及伽罗瓦的理论标志着抽象代数的诞生，它将以压倒性的优势取代微积分而成为数学的支柱，它也为了近代数学和传统数学的分水岭。抽象代数是数学中的万能钥匙，它的引入几乎改变了所有数学分支的面貌，它以全新的视角重新打开了分析、几何、数论、拓扑等学科。当然，抽象代数的完全建立经历了漫长的时间，是通过无数优秀的数学家搭建起来的，关于它的详细历史概况，可参见互联网，这里就不多说了。关于伽罗瓦的传奇故事以及二十几岁就结束了自己的一生，据说下面这个图片是他留在世上的唯一的影像，用它镇楼，哈哈 ····

Galois（1811-1832)

抽象代数是一个应用很广的基础数学方法，它不仅在纯数学里起着支柱性的作用，它的思想其实有着普遍性的价值，在物理学、结晶学、密码学里都有着用武之地。抽象代数有点像数学里的哲学，不断地去思考其本质才是最有价值的事情，它对抽象思维的锻炼和科学方法论的建立也是有很大帮助的。

二、内容概览以及学科思想把握

这个系列我们将会介绍如下内容：

基本代数结构
- 群论
- 环论
- 域论
伽罗瓦理论
以及实例与应用这几大部分

我们知道数学中真正参与运算的对象其实有很多，比如数、多项式、矩阵等等。上述三个数学对象的出现是为了刻画一些物理量和几何量，比如长度、面积、速度、物理定律、空间中点的位置、平面的运动和几何变换等，它们的表现能力是很强的。在伽罗瓦没有提出群的概念之前，使用数、多项式、矩阵足以刻画许多我们遇到的物理量和几何量，然而当人们想要或者企图刻画<font color=red>对称性</font>时，人们发现数、多项式、矩阵都很难以刻画对称。于是为了刻画对称这一概念或现象，人们发现了群。现在我们发现群是研究对称的有力工具。而正是因为我们生活的现实物理世界中存在着大量的对称现象，如物理、集合、数学领域、再如晶体群、群与量子力学，于是以群环域模为代表的代数结构便成了人们研究对称时的重要工具与基础。所以，我们在学习群的概念的时候，应该注意到群与对称的对应关系。甚至有学者提出了群即对称的观点。

如何理解 对称即群 ？

那么我们怎么理解对称即群这句话呢，除了自然界中的对称性外，从数学中的度量空间来说，比如欧几里得空间的所有刚体运动的集合对于线性变换（复合）的乘法构成刚体运动群，因为刚体运动是等距运动，任何一个刚体运动都可以看成是欧几里得空间的一种对称性，所有的对称性放在一起就构成一个群。在比如欧几里得平面，如果我们不考虑整个平面的对称性，只考虑一个平面图形，在保持图形不变的刚体运动也构成一个群。比如一个普通的三角形，如果三边都不等，我们发现可以构成的群只有一个元素恒等映射，如果是一个等腰三角形，发现构成的群或对称性由两个元素，除恒等映射外还有等腰对折。如果是等边三角形，构成的群为 $S_3$ ，以此类推，正多边形，我们会发现群越来越大，即对称性越来越多。如果是圆的话，就是无穷多种对称性了。即<font color=red>群越大代表着的对称性越多，即群可以度量对称的对少</font>。再比如有限维的线性空间所有的可逆线性变换也构成一个群。虽然它没有度量，但可以看成是这个线性变换本身具有的对称性。在比如数域的本身对称性与伽罗瓦解高次方程导出来的伽罗瓦群。而在根式解中，如韦达定理， $x_1 + x_2 = - b/ a, x_1 \times x_2 = c/a$ 其中关于 $x_1, x_2$ 也是具有对称性的，即通过上述的公式，我们是不能区分 $x_1, x_2$ 背后到底对应着哪一个特定的解的，比如，3, 5 我们不知道谁是 3 ，谁是 5。实际上都可以。但我们可以通过加约束条件后就能区分了，比如说通过构造 $x_1 - x_2$ 后，就打破了这种对称性，而我们要求根式解的过程，就是要打破这种对称性，我们才能区分出解，得到根式解。

正如上所述，数学中的基本对象除了数外，还有向量、力以及多项式、函数、矩阵和线性变换。数的基本运算是加减乘除。虽然上面提到的其他对象不是数，但它们也可以像数那样来运算，虽然这些对象千差万别，各有特点。但是我们从运算的角度看时，它们却有很多共同的性质。从一般集合出发研究各种运算性质便是抽象代数的任务。一个抽象集合，如果有一种或数种代数运算，就称为一个代数系统。由于集合和运算都是抽象的，故也将近世代数称为抽象代数。

三、推荐书籍与资料

【参考资料】

[1] 《近世代数》，（3nd）杨子胥，2010

一本不错的国内教材，内容全面，结构清晰。习题具有启发性。非常适合入门选用。
[2] 《代数学引论》（2nd)，聂灵绍，2009

介绍了抽象代数的重要结论，取材广泛而深入，表达严谨而精炼，有大量的习题，部分高级内容较难。

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