图的定义

顶点集V={v1, v2, v3, ... ,vn}，边集E={(u,v)|u∈V, v∈V} G（V，E）
图不可以是空图，V一定非空
1.有向图（弧）
<v, w>
2.无向图（边）
3.简单图
不存在重复边，且不存在顶点到自身的边
4.多重图（相对于简单图）
5.完全图
无向完全图：任意两个顶点之间都存在边 n(n-1)/2
有向完全图：任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧 n(n-1)
6.子图
G'(V', E')
若V(G')=V(G)则为生成子图
7.连通，连通图和连通分量
无向图中，若v到w有路径存在，则v和w连通
若图G中任意两个顶点都是连通的，则G为连通图
无向图中的极大连通子图称为连通分量
若一个图有n个顶点，且边数小于n-1，则此图一定是非连通图
极大连通子图：（1）极大顶点数：再加一个顶点就不连通了
（2）极大边数：包含子图中所有顶点相连的所有边
极小连通子图：保持图连通且边数最少
8.强连通图，强连通分量
有向图中，若v到w和w到v之间都有路径，则这两点强连通
9.生成树，生成森林
连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图
对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路。
非连通图中，连通分量的生成树构成生成森林
10.顶点的度，入度和出度
度：以该顶点为一个端点的边的数目 TD
入度：以该顶点为终点的有向边数目 ID
出度 OD
11.边的权和网
边上带有权值的图为网
12.稠密图，稀疏图
|E|<|V|log|V|
13.路径，路径长度和回路
路径长度：路径上边的数目
14.简单路径，简单回路
路径序列中，顶点不重复出现
15.距离
最短路径长度
16.有向树
一个顶点的入度为0，其它顶点的入度均为1的有向图
17.欧拉回路
一个恰好经过每条边一次的回路
图是连通的且每个顶点的度数都是偶数
18.哈密尔顿回路
在无向图中寻找一个简单回路，该回路通过图的每个顶点

图的存储

1.邻接矩阵法

邻接矩阵.JPG

#define MaxVertexNum 100  //顶点最大数目
typedef char VertexType;  //顶点类型
typedef int EdgeType;    //权值类型
typedef struct{
    VertexType Vex[MaxVertexNum];
    EdgeType Edge[MaxVertexNum][MaxVertexNum;
    int vexnum, arcnum;
}MGraph;

稠密图适合用邻接矩阵表示
设图G的邻接矩阵为A，A^n的元素An[i][j]为i到j的长度为n的路径的数目

2.邻接表法
为每个结点建立一个单链表，单链表的结点来存以该结点为起点的边顶点的data与对应的边表的头指针采用顺序存储

邻接表.JPG

#define MaxVertexNum 100
typedef struct ArcNode{
    int adjvex;
    struct ArcNode *next;
    //还可存权值
}ArcNode;

typedef struct VNode{
    VertexType data;
    ArcNode *first;
}VNode, AdjList[MaxVertexNum];

typedef struct{
    AdjList vertices;
    int vexnum,arcnum;
}ALGraph;

3.十字链表
有向图的链式存储结构
弧结点：tailvex（起点）,headvex（终点），hlink（终点相同的下一个弧结点），tlink（起点相同的下一个弧），info
顶点结点：data，firstin，firstout
若要找以某个结点为起点的所有弧：firstout->tlink->tlink....
若要找以某个结点为终点的所有弧：firstin->hlink->hlink....

十字链表.JPG

#define MaxVertexNum 100
typedef struct ArcNode{
    int tailvex, headvex;
    struct ArcNode *hlink, *tlink;
    //InfoType Info;
}ArcNode;

typedef struct VNode{
    VertexType data;
    ArcNode *firstin, *firstout;
}VNode;

typedef struct{
    VNode xlist[MaxVertexNum];
    int vexnum, arcnum;
}GLGraph;

4.邻接多重表
无向图的链式存储结构
边结点：mark（标记该边是否被搜索过），ivex（该边依附的顶点在图中的位置），ilink（指向下一条依附于ivex的边），jvex，jlink（指向下一条依附于jvex的边），info
顶点结点：data，firstedge
每条边只有一个结点，而邻接表中每条边有两个结点

邻接多重表.JPG

#define MaxVertexNum 100
typedef struct ArcNode{
    bool mark;
    int ivex, jvex;
    struct ArcNode *ilink, *jlink;
    //InfoType info;
}ArcNode;

typedef struct VNode{
    VertexType data;
    ArcNode *firstedge;
}VNode;

typedef struct{
    VNode adjmulist[MaxVertexNum];
    int vexnum,arcnum;
}AMLGraph;

基本操作

Adjacent(G, x, y)
Neighbors(G, x)
InsertVertex(G, x)
DeleteVertex(G, x)
AddEdge(G, x, y)
RemoveEdge(G, x, y)
FirstNeighbor(G, x)
NextNeightbor(G, x, y)
Get_edge_value(G, x, y)
Set_edge_value(G, x, y, v)