D - 最短路径·一
HihoCoder - 1081
描述
万圣节的早上，小Hi和小Ho在经历了一个小时的争论后，终于决定了如何度过这样有意义的一天——他们决定去闯鬼屋！
在鬼屋门口排上了若干小时的队伍之后，刚刚进入鬼屋的小Hi和小Ho都颇饥饿，于是他们决定利用进门前领到的地图，找到一条通往终点的最短路径。
鬼屋中一共有N个地点，分别编号为1..N，这N个地点之间互相有一些道路连通，两个地点之间可能有多条道路连通，但是并不存在一条两端都是同一个地点的道路。那么小Hi和小Ho至少要走多少路程才能够走出鬼屋去吃东西呢？
提示：顺序！顺序才是关键。×Close
提示：顺序！顺序才是关键。
小Ho想了想说道：“唔……我觉得动态规划可以做，但是我找不到计算的顺序，如果我用f[i]表示从S到达编号为i的节点的最短距离的话，我并不能够知道f[1]..f[N]的计算顺序。”
“所以这个问题不需要那么复杂的算法啦，我就稍微讲讲你就知道了！”小Hi道：“路的长度不可能为负数对不对？”
“那是自然，毕竟人类还没有发明时光机器……”小Ho点点头。
于是小Hi问道：“那么如果就看与S相邻的所有节点中与S最近的那一个S'，并且从S到S'的距离为L，那么有可能存在另外的道路使得从S到S'的距离小于L么？”
“不能，因为S'是与S相邻的所有节点中与S最近的节点，那么从S到其他相邻点的距离一定是不小于L的，也就是说无论接下来怎么走，回到L点时总距离一定大于L。”小Ho思考了一会，道。
“也就是说你已经知道了从S到S'的最短路径了是么？”小Hi继续问道。
“是的，这条最短路径的长度是L。”小Ho答道。
小Hi继续道：“那么现在，我们不妨将S同S'看做一个新的节点？称作S1，然后我就计算与S相邻或者与S'相邻的所有节点中，与S最近的哪一个节点S''。注意，在这个过程中，与S相邻的节点与S的距离在上一步就已经求出来了，那么我要求的只有与S'相邻的那些节点与S的距离——这个距离等于S与S'的距离加上S'与这些结点的距离，对于其中重复的节点——同时与S和S'相邻的节点，取两条路径中的较小值。”
小Ho点了点头：“那么同之前一样，与S1（即S与S'节点）相邻的节点中与S'距离最近的节点如果是S''的话，并且这个距离是L2，那么我们可以知道S到S''的最短路径的长度便是L2，因为不可能存在另外的道路比这个更短了。”
于是小Hi总结道：“接下来的问题不就很简单了么，只需要以此类推，每次将与当前集合相邻（即与当前集合中任意一个元素）的所有节点中离S最近的节点（这些距离可以通过上一次的计算结果推导而出）选出来添加到当前集合中，我就能够保证在每一个节点被添加到集合中时所计算的离S的距离是它与S之间的最短路径！”
“原来是这样！但是我的肚子更饿了呢！”言罢，小Ho的肚子咕咕叫了起来。
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输入
每个测试点（输入文件）有且仅有一组测试数据。
在一组测试数据中：
第1行为4个整数N、M、S、T，分别表示鬼屋中地点的个数和道路的条数，入口（也是一个地点）的编号，出口（同样也是一个地点）的编号。
接下来的M行，每行描述一条道路：其中的第i行为三个整数u_i, v_i, length_i，表明在编号为u_i的地点和编号为v_i的地点之间有一条长度为length_i的道路。
对于100%的数据，满足N<=103，M<=104, 1 <= length_i <= 10^3, 1 <= S, T <= N, 且S不等于T。
对于100%的数据，满足小Hi和小Ho总是有办法从入口通过地图上标注出来的道路到达出口。
输出
对于每组测试数据，输出一个整数Ans，表示那么小Hi和小Ho为了走出鬼屋至少要走的路程。
Sample Input
5 23 5 4
1 2 708
2 3 112
3 4 721
4 5 339
5 4 960
1 5 849
2 5 98
1 4 99
2 4 25
2 1 200
3 1 146
3 2 106
1 4 860
4 1 795
5 4 479
5 4 280
3 4 341
1 4 622
4 2 362
2 3 415
4 1 904
2 1 716
2 5 575
Sample Output
123
解法：Dijkstra算法，计算从一个确定结点到所有其他结点的最小距离，设源点为k，数组a用来存放所有节点到k的距离，如果k和i之间有边则a[i]为边长，否则设置成无穷大。再找与k相邻的结点，找到这些结点相邻的结点j，如果a[j]>a[i]+b[i][j]则a[j]的值更新，直到找到目的结点。
代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<limits.h>
using namespace std;
int a[1005];
int b[1005][1005];
bool vis[1005];
int main()
{
int n,m,s,t;
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
for(int i=0;i<m;i++){
int x,y,z;
cin>>x>>y>>z;
if(b[x][y]==0){
b[x][y]=z;
b[y][x]=z;
}
else if(b[x][y]>z){
b[x][y]=z;
b[y][x]=z;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(i==s)
a[i]=0;
else if(b[s][i]!=0)
a[i]=b[s][i];
else
a[i]=INT_MAX;
}
vis[s]=1;
while(1){
int dis=INT_MAX,now;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(vis[i]==0&&a[i]<dis){
dis=a[i];
now=i;
}
}
vis[now]=1;
if(now==t){
cout<<dis<<endl;
break;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(b[now][i]!=0&&b[now][i]+dis<a[i])
a[i]=b[now][i]+dis;
}
}
}
