数学分析理论基础11：无穷小量与无穷大量

无穷小量与无穷大量

无穷小量

定义：设f在 $U^\circ(x_0)$ 上有定义,若 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0$ ,则称f为当 $x\to x_0$ 时的无穷小量

若g在 $U^\circ(x_0)$ 上有界,则称g为当 $x\to x_0$ 时的有界量

注：任何无穷小量必是有界量

性质：

1.两个相同类型的无穷小量之和差积仍是无穷小量

2.无穷小量与有界量的乘积为无穷小量

函数极限与无穷小量

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow f(x)-A是当x\to x_0的无穷小量$

无穷小量阶的比较

用以判断收敛速度

设当 $x\to x_0$ 时,f与g均为无穷小量

1.若 $\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)\over g(x)}=0$ ,则称当 $x\to x_0$ 时f为g的高阶无穷小量,或称g为f的低阶无穷小量,记作 $f(x)=o(g(x))(x\to x_0)$

特别,f为当 $x\to x_0$ 时的无穷小量记作 $f(x)=o(1)(x\to x_0)$

2.若 $\exists K,L\gt 0$ 使在 $U^\circ(x_0)$ 上有 $K\le |{f(x)\over g(x)}|\le L$ ,则称f与g为当 $x\to x_0$ 时的同阶无穷小量

特别, $\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)\over g(x)}=c\neq 0$ 时f与g为同阶无穷小量

例： $x\to 0$ 时x与 $x(2+sin{1\over x})$ 都是无穷小量, $1\le |2+sin{1\over x}|\le 3$ , $\therefore x与x(2+sin{1\over x})$ 为当 $x\to 0$ 时的同阶无穷小量

3.若 $\exists L\gt 0$ 使在 $U^\circ(x_0)$ 上有 $|{f(x)\over g(x)}|\le L$ ,记作 $f(x)=O(g(x))(x\to x_0)$

特别,若f在 $U^\circ(x_0)$ 内有界,则记作 $f(x)=O(1)(x\to x_0)$

注：

1.当 $f(x)=o(g(x))(x\to x_0)$ 时也有 $f(x)=O(g(x))(x\to x_0)$

2.等式中,左边为一个函数,右边为一个函数类,中间的等号含义是"属于"

例： $1-cosx=o(sinx)(x\to 0)$

其中 $o(sinx)=\{f|\lim\limits_{x\to 0}{f(x)\over sinx}=0\}$

等式表示1-cosx属于此函数类

4.若 $\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)\over g(x)}=1$ ,则称f与g是当 $x\to x_0$ 时的等价无穷小量,记作 $f(x)\sim g(x)(x\to x_0)$

注：不是任何两个无穷小量都可以进行阶的比较

例： $x\to 0$ 时, $xsin{1\over x}与x^2$ 都是无穷小量,但它们的比

${xsin{1\over x}\over x^2}={1\over x}sin{1\over x}或{x^2\over xsin{1\over x}}={x\over sin{1\over x}}$

当 $x\to 0$ 时都不是有界量,所以不能比较

定理：设函数f,g,h在 $U^\circ(x_0)$ 上有定义,且有 $f(x)\sim g(x)(x\to x_0)$

1.若 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)h(x)=A$ ,则 $\lim\limits_{x\to x_0}g(x)h(x)=A$

2.若 $\lim\limits_{x\to x_0}{h(x)\over f(x)}=B$ ,则 $\lim\limits_{x\to x_0}{h(x)\over g(x)}=B$

例：求 $\lim\limits_{x\to 0}{tanx-sinx\over sinx^3}$

解：

$原式=\lim\limits_{x\to 0}{sinx(1-cosx)\over cosxsinx^3}$

$=\lim\limits_{x\to 0}{1\over cosx}{x{x^2\over 2}\over x^3}={1\over 2}$

注：只能对式中相乘或相除的因式用等价无穷小量代换,而对式中相加或相减部分则不可随意代换

无穷大量

非正常极限

定义：设f在 $U^\circ(x_0)$ 上有定义, $\forall G\gt 0,\exists \delta\gt 0$ 使得 $x\in U^\circ(x_0;\delta)\subset U^\circ(x_0)$ 时有 $|f(x)|\gt G$ ,则称f当 $x\to x_0$ 时有非正常极限 $\infty$ ,记作 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$

若上式换成 $f(x)\gt G$ 或 $f(x)\lt -G$ ,则称f当 $x\to x_0$ 时有非正常极限 $+\infty$ 或 $-\infty$ ,记作 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=+\infty$ 或 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=-\infty$

其他情况：

$\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$ ： $\forall G\gt 0,\exists M\gt 0$ 使得 $x\gt M$ 时有 $f(x)\lt -G$

$\lim\limits_{n\to \infty}a_n=+\infty$ ： $\forall G\gt 0,\exists N\gt 0$ 使得 $n\gt N$ 时有 $a_n\gt G$

无穷大量

定义：对x的某种趋向(或 $n\to \infty$ ),所有以 $\infty$ , $+\infty$ 或 $-\infty$ 为非正常极限的函数(包括数列)都称为无穷大量

注：

1.无穷大量是具有非正常极限的函数

2.若f为 $x\to x_0$ 时的无穷大量,则f为 $U^\circ(x_0)$ 上的无界函数,但无界函数不一定是无穷大量

例： $f(x)=xsinx$ 在 $U(+\infty)$ 上无界, $\forall G\gt 0$ ,取 $x_n=2n\pi+{\pi\over 2}(n\in Z_+,n\gt {G\over 2\pi})$ 则有

$f(x_n)=(2n\pi+{\pi\over 2})sin(2n\pi+{\pi\over 2})=2n\pi+{\pi\over 2}\gt G$

但 $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)\neq 0$ ,取数列 $x_n^*=2n\pi(n=1,2,\cdots)$ 则 $x_n^*\to +\infty(n\to \infty)$ , $\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n^*)=0$

例：设f(x)为 $x\to x_0$ 时的无穷大量,g(x)在 $U^\circ(x_0)$ 上满足 $|g(x)|\ge K\gt 0$ ,证明：f(x)g(x)为 $x\to x_0$ 时的无穷大量

证：

$\because \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$

$\therefore \forall G\gt 0,\exists \delta\gt 0$

$0\lt |x-x_0|\lt \delta时有$

$|f(x)|\gt {G\over K}$

$\therefore |f(x)g(x)|\gt {G\over K}K=G$

$即\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)=\infty\qquad\mathcal{Q.E.D}$

无穷小量与无穷大量的关系

定理：设f在 $U^\circ(x_0)$ 上有定义且 $f\neq 0$ ,若f为 $x\to x_0$ 时的无穷小(大)量,则 ${1\over f}$ 为 $x\to x_0$ 时的无穷大(小)量

曲线的渐近线

定义：若曲线C上的动点P沿着曲线无限地远离原点时,P与某定直线L的距离趋于0,则称直线L为曲线C的渐近线

斜渐近线： $y=kx+b$

垂直渐近线： $x=x_0$

斜渐近线

设曲线 $y=f(x)$ 有斜渐近线 $y=kx+b$ ,曲线上动点P到哦渐近线的距离为

$|PN|=|PMcos\alpha|=|f(x)-(kx+b)|{1\over \sqrt{1+k^2}}$

按渐近线的定义, $x\to +\infty$ 时, $|PN|\to 0$

即 $\lim\limits_{x\to +\infty}[f(x)-(kx+b)]=0$

或 $\lim\limits_{x\to +\infty}[f(x)-kx]=b$

又 $\lim\limits_{x\to +\infty}[{f(x)\over x}-k]=\lim\limits_{x\to +\infty}{1\over x}[f(x)-kx]=0$

$\therefore \lim\limits_{x\to +\infty}{f(x)\over x}=k$

注：若曲线 $y=f(x)$ 有斜渐近线 $y=kx+b$ ,则常数k与b可由 $\lim\limits_{x\to +\infty}{f(x)\over x}=k$ 和 $\lim\limits_{x\to +\infty}[f(x)-kx]=b$ 来求

垂直渐近线

定义：若f满足 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$ ,或 $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=\infty,\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\infty$ ,则曲线 $y=f(x)$ 有垂直于x轴的渐近线 $x=x_0$ ,称为垂直渐近线

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