1.2 数列极限

1、什么叫数列？

数列是一种非常特殊的函数，它是间断的，定义域只能是自然数{0,1,2,3,4,5,6......n }。可以是递增，递减，摇摆，周期，常数。数列在高数中没有什么研究性，只是为了过度到函数。所以重要性不是很大。

2、数列极限如何理解？

先看下定义：

设 $a_{n}$ 为数列， $A$ 为常数， $if \forall \varepsilon >0,\exists N>0$ 当 $n>N$ 时有 $|a_{n}-A | < \varepsilon$ ,则称数列极限为 A, 记做 $\lim\nolimits_{n\to \propto } a_{n} =A$ 。

如何理解定义？

$\varepsilon$ 的意思是误差。 $\forall \varepsilon >0$ ，指明了误差的范围，任意误差都大于0，理解到这里还不够。且注意这里有两点是灵魂，1、任意性：随便取，只要保证大于0就行，想多大多大，想多小多小。2、大于0：我们一般逆向思维，你越让我大于0，但我就想走极端，我让它就比0大一点点点点，我让它等于无穷小，无穷小是一定大于0的记住啦。结合1和2 两点，就表明了这个不等式的核心信息， $\varepsilon$ 就是一个误差，且这个误差可以无限小（>0）,无限接近于0.

然后如果找到一个 N （n和N都是自然数，假如N = 8），当 n>N 时（从8以后开始，9,10,11......）如果无一例外发现 $|a_{n}-A | < \varepsilon$ ，则A 就是数列极限。好了说到这有点废话， $|a_{n}-A |$ 表示 n>N 后 $a_{n}$ 与A的差距，前面我们说了 $\varepsilon$ ，现在让差距 $|a_{n}-A |$ 小于 $\varepsilon$ ，这里更好理解了， $\epsilon$ 要多小有多小， $|a_{n}-A |$ 也就是比无穷小还小，达到极限状态， $a_{n}$ 与 $A$ 就无限接近了。对了，这里看n趋近无穷，说明了数列极限讨论的是n接近无穷的时候的极限值。这里与函数是不一样的，函数可以趋近任何值。数列只能说 n 趋于无穷时

3、几个性质：

唯一性：数列有极限必定唯一（函数也是）。

有界性：

有界 $\Leftrightarrow$ 有上界并且还有下界

$|a_{n} | < =M$ $\Leftrightarrow$ $a_{n} >=-M 且 a_{n} </p><h3>即：上面下面各画一条线，将数列取值封死在两条线之内。</h3><h2>保号性：</h2><h3>讲的是：如果数列的极限是正数，则一定可以找到一个N，N的右边全部是正数，左边全部是负数。极限负，N 右边全是负，左边全正。N就是这个分界点。如下如 N=2：</h3><p><br></p><div class=$

保号性：

讲的是：如果极限是正数，可以找到一个N，如下图N=2，然后N的右边所有的值都是正数。负数一样，极限负，界限点右边全是负，左边全是正。如下图。这个知道就行，作用不是很大。

最后编辑于：2019.07.18 21:07:11