第十一章：期权的组合交易

我们已经介绍了单个期权的的盈利特点。本章我们将主要研究期权与其他资产组合交易的结果。主要分析以下三种：

期权和零息债券组合
期权和标的资产组合
同一标的资产的 2 个以上的期权组合

11.1 期权和零息债券组合

期权常常被用于和零息债券组合构建保本票据(principal-protected notes)。投资者的收益取决于有风险的资产的表现，但是初始本金不会受损失。

例

某个股票 portfolio 价值 $1000 并且每年提供 1.5% 的股息。3 年内的无风险利率是 6%。某银行的一个理财产品（保本票据）价格为 $1000，由以下两者组成：
(a) 3 年期票面价值为 $1000 的零息债券
(b) 一份该股票 portfolio 的 3 年期 ATM 欧式看涨期权

该理财产品存在的前提是 (b) 中的看涨期权价值应该小于 $1000(1-e^{-0.06*3}) = 164.73$ ，否则银行是亏本的。

对于 (a)，3 年后固定提供 1000 的现金流（保本）
对于 (b)，3 年后如果该 portfolio 价格上涨，则获益上涨的额度。若下跌，则获益为 0。

因此保本票据的最大吸引力是投资者不损失本金。最坏情况不过是该投资者本金在这个期间内没有任何收益。

11.2 期权和标的资产组合

以下是四种常用的组合：

编号	股票头寸	期权头寸
a	long	short call
b	short	long call
c	long	long put
d	short	short put

显然，由表格可知 a 和 b 对称，c 和 d 对称。下图绘制了的收益曲线：

stock combined with option

我们发现，(a) 与卖出看跌期权的收益曲线相似，而 (c) 与买入看涨期权的收益曲线相似。这可以用 put-call parity 来解释：

对于 (a)，它相当于一个看跌期权短头寸外加 $Ke^{-rT} + D$ 现金：
$S_0 - c = -p + Ke^{-rT} + D$

对于 (c)，它相当于一个看涨期权长头寸外加 $Ke^{-rT}+D$ 的现金：
$p + S_0 = c + Ke^{-rT} + D$

11.3 价差

价差交易 (spread trading) 策略需要 2 个或以上的同种期权仓位（例如， 2 个或以上的 call）。

11.3.1 牛市价差

牛市价差 (bull spread) 可以买入一个低执行价格的 call 再卖出一个高执行价格的 call 组成。这两个 call 应该具有同样的到期日和标的资产。显然，由于低执行价格的 call 价值高于高执行价格的，这个交易是需要初始资金的。

假设两个执行价格分别为 $K_1$ 和 $K_2$ 且满足 $K_1 < K_2$ ，牛市价差的 payoff 如下所示，可以看出它总是大于或者等于 0：

Stock Price	long call option payoff	short call option payoff	total payoff
$S_T <= K_1$	0	0	0
$K_1 < S_T <= K_2$	$S_T - K_1$	0	$S_T - K_1$
$K_2 < S_T$	$S_T - K_1$	$K_2-S_T$	$K_2 - K_1$

其收益曲线如下所示：

profit from bull spread created by call options

我们可以根据风险偏好选择不同的 $K_1$ 和 $K_2$ 。例如，我可以选择 deep OTM 的两个 call。这样成本非常低，但是同时获利的概率也很低。

利用 put-call parity，我们也可以用两个 put 来构造牛市价差。
$p_1 + S_0 = c_1 + K_1e^{-rT} + D$

$p_2 + S_0 = c_2 + K_2e^{-rT} + D$

相减有：
$p_1 - p_2 = c_1 - c_2 + (K_1-K_2)e^{-rT}$

因此可以通过购买一个低执行价格的 put，并卖出一个高执行价格的 put 来构造。与用 call 构造的不同之处在于，这样无需初始资金，但是 payoff 必然为负数或者0。

11.3.2 熊市价差

与牛市价差相反，当投资者认为股票价格会下跌时，他会选择熊市价差(bear spread)。熊市价差可以通过卖出一个低执行价格的 put，并购买一个高执行价格的 put 来构造。这两个 put 应该具有同样的到期日和标的资产。显然，由于低执行价格的 put 价值低于高执行价格的，这个交易是需要初始资金的。

假设两个执行价格分别为 $K_1$ 和 $K_2$ 且满足 $K_1 < K_2$ ，熊市价差的 payoff 如下所示，可以看出它总是大于或者等于 0：

Stock Price	short put option payoff	long put option payoff	total payoff
$S_T <= K_1$	$S_T - K_1$	$K_2 - S_T$	$K_2 - K_1$
$K_1 < S_T <= K_2$	0	$K_2 - S_T$	$K_2 - S_T$
$K_2 < S_T$	0	0	0

其收益曲线如下所示：

profit from bear spread created using put options

类似的，熊市价差也可以通过卖出低执行价格的 call，并买入高执行价格的 call 来构造。由于低执行价格的 call 价值较高，这样的交易不需要初始资金。但是 payoff 将小于或者等于0。

11.3.3 箱式价差

利用执行价格为 $K_1$ 和 $K_2$ 构造的牛市价差以及熊市价差可以组合为箱式价差。它涉及到了 4 个期权。即，买入 $K_1$ 的 call，卖出 $K_2$ 的 call，卖出 $K_1$ 的 put，买入 $K_2$ 的 put。

箱式价差的 payoff 固定为 $K_2 - K_1$ ，因此贴现得出它的价值一定为 $(K_2 - K_1)e^{-rT}$ ，否则存在套利机会。

Stock Price	bull call spread payoff	bear put spread payoff	total payoff
$S_T <= K_1$	0	$K_2 - K_1$	$K_2 - K_1$
$K_1 < S_T <= K_2$	$S_T - K_1$	$K_2 - S_T$	$K_2 - K_1$
$K_2 < S_T$	$K_2 - K_1$	0	$K_2 - K_1$

11.3.4 蝶式价差

蝶式价差可以由 3 种不同执行价格的期权构造。我们首先购买一份 $K_1$ 的 call 和一份 $K_3$ 的 call，再卖出两份 $K_2$ 的 call，其中 $K_1 < K_2 < K_3$ 且 $2K_2 = K_1 + K_3$ 。

其 payoff 见下表：

Stock Price	$K_1$ long call payoff	$K_2$ short calls payoff	$K_3$ long call payoff	total payoff
$S_T <= K_1$	0	0	0	0
$K_1 < S_T <= K_2$	$S_T - K_1$	0	0	$S_T - K_1$
$K_2 < S_T <= K_3$	$S_T - K_1$	$2(K_2-S_T)$	0	$K_3 - S_T$
$K_3 < S_T$	$S_T - K_1$	$2(K_2-S_T)$	$S_T - K_3$	0