** 機率量化了「可能性」**

機率是數學中最生活化的數學單元，也是不少人覺得就算三角函數學爛了，也可以扳回一城的地方。

我們每天都接觸到各種「可能」，用數學一點的話來說就是接觸到各種「機率」。許多機率很簡單，用經驗培養出來的直覺便能處理：丟骰子出現任何一點的機率相等（1/6）。用味覺來譬喻，這類的機率像喝可樂，一口下去清涼暢快。但生活中不只有可樂，還有咖啡這類味道豐富多層次的飲品。不同豆子酸、苦、甘程度；木質、柑橘、泥土的香氣，只有受過訓練或天賦異稟的人才能察覺出箇中微妙的差異。同樣地，面對複雜事件，直覺很難正確評估對應的可能性，這時，你就需要機率的數學訓練了。

請想像這樣的小劇場，主角是世杰，以及他的暗戀對象班昭。

找出可能的情敵

六月，T 大校園裡瀰漫期末考的氛圍，總是熱鬧、動不動遇到熟人的廣場此刻靜悄悄，一台腳踏車經過，碾到鬆脫的地磚，發出框隆聲響。

「變態筋肉男。」
「偷看陌生人臉書的人才變態。」
「打赤膊的自拍照還設公開，檢舉色情相片。」

世杰與孝和坐在陰涼處吃霜淇淋，世杰滑著手機看到筋肉男剛在班昭最愛的咖啡廳打卡，。班昭是世杰修跨校課程認識的 N 大女孩，兩人偶爾一起去看電影、喝咖啡，一切都很好，但也僅止於很好。世杰不敢跨出告白的那條線，理由很簡單：班昭太受歡迎了。

N 大有一則校園傳說：在校園祭典當天可以「光明正大的告白」。這一天，班昭宿舍門口排隊的人潮，一度讓路人以為熱門日本連鎖餐廳進駐宿舍。

「排隊這件事一做就沒勝算了。你看過白馬王子排隊去拉長髮公主頭髮，或拎玻璃鞋去試灰姑娘的尺寸嗎？」

世杰的理論是：愛慕者跟種性制度一樣有階級區分：只能遠望，偶爾在夢中說上一句話就開心到半夜失眠的後援會階級；被女孩叫得出名字，在路上遇到會打招呼但也僅止於打招呼的「再聊下去我就要說先去洗澡囉」階級；還有一起念書、互相用 LINE 傳有趣文章的最高階級。

根據世杰近乎變態地小數據分析班昭臉書，他發現除了自己，還有兩位同樣在最高階級的對手——姑且稱為筋肉男與真文青。

情敵告白機率怎麼算？

「想去小昭的愛店想來個不期而遇嗎？他不知道這樣一打卡，所有人都不想去了嗎？」

竟然自行幫對方取暱稱了，孝和在心裡咋舌。

世杰氣呼呼說：「我肯定，他跟真文青至少有一個喜歡小昭。」
「別人喜歡你的女神，有這麼重要嗎？」孝和不以為然地問
「當然！雖然小昭喜歡他們任何一個人的機率都很低，比方說 1/10。但倘若兩個人都告白，小昭都拒絕的機率是 (1-1/10) × (1-1/10) = 81%。要是這種人有 N 個，都拒絕的機率是 0.9的N次方
，給定 N=10，都拒絕的機率低到只剩 35%，不是很危險嗎！」

浪漫的告白在世杰的描述下，彷彿變成了戰爭畫面，一群男子前仆後繼用告白作為武器，「小昭城」岌岌可危。孝和聽了只好安慰世杰：

「往好的方面想，現在 N=2。而且，真文青跟筋肉男同時喜歡班昭的機率只有 1/3。也不會太高。」
「1/3？數學天才你在說什麼？」

世杰露出不解的神情。剛認識孝和，世杰就覺得他的名字很眼熟，逛書店看到《超展開數學教室》，才想起以前翻過這本書，是講孝和的高中故事。「人生好端端的幹嘛跟數學有這麼多牽扯。」這是他當時的心得。沒想到上大學後認識書中主角，自己也漸漸受到影響，越來越有「數感」。
孝和舔掉霜淇淋融化的下緣，開始解釋：

「我們用喜歡 = O，不喜歡 = X 來表示（筋肉男，真文青）對小昭的狀態——」
「小昭是你叫的噢。」

孝和不理會世杰繼續說：

「至少有一個人喜歡，所以共有 (O，X)、(X，O)、(O，O) 三種狀況，最後一種是兩人都喜歡你的小昭昭。假設兩個人喜歡小昭的機率都是 1/2，且是獨立事件，則三種狀況的機率均等，所以各佔了 1/3，跟丟只有三面的公平骰子一樣。」
「只有 1/3 嗎？我還以為是 1/2，真怪。」

世杰搔搔頭，兩人起身回系館繼續準備期末考。六月的陽光用力打在皮膚上，走沒幾步，霜淇淋的冷卻效果失效，從後面望去，他們的背部濕了一大塊。

一個情敵告白失敗，戰局一下就變了

入夜後沒有變得涼爽，柏油路吐出白天儲存的熱氣，孝和跟世杰踩在上頭，走向 T 大後門的簡餐店。

「噢噢噢！爽啦，考前還告白，妨礙準備考試的人會被馬踢，活該失敗。」

世杰大叫，孝和湊過去看他的手機，發現小昭在臉書上隨手以張街景搭配文字，發了一則新的動態：

「或許，只有謝謝是不夠的。但在這個時刻，也只有謝謝。」

他們兩個立刻明白有人告白被拒絕了，不知道是筋肉男還是真文青。

「謝謝卡二連發，哈哈。」

世杰開心的不得了，明天考試怎樣都無所謂了的樣子。一旁孝和潑冷水：

「這下子，另一位對手喜歡小昭的機率從 1/3 提升到 1/2 了。」
「為什麼？！你剛不是說筋肉男跟真文青同時喜歡小昭的機率是 1/3，為什麼一個告白了，會影響到另一個對手喜歡的機率？」

孝和用問題來回答世杰的問句：

「你記不記得高中機率有兩道題目：
已知某家有兩個孩子，且至少有一個兒子。求兩個都是兒子的機率？
已知某家有兩個孩子，登門拜訪，開門的是兒子，求兩個都是兒子的機率？」

兩人走進簡餐店，被冷氣冰鎮過的空氣迎面而來。世杰想也沒想就回答

「第一題是 1/3，第二題是 1/2。」
「為什麼第二題是 1/2？」
「廢話，生男生女的機率各一半且各自獨立。所以另一個是男生的機率就 1/2 啊。」
「那為什麼第一題是 1/3？」
「就像你剛剛列的，有三種狀況 (男，女)、(女，男)、(男，男)——」

世杰閉嘴，他意識到「兒子女兒問題」和「告白問題」在數學上是一樣的。孝和解釋

「不管筋肉人或真文青，只要有人告白就增加了新資訊。」

孝和頓了頓

「來看看 (筋肉人，真文青) 的三種感情狀況，原本 (O，X)、(X，O)、(O，O) 的機率都相等，新資訊會讓 (O，O) 的機率提升。你想想，『一個人喜歡的前提下，有人告白』跟『兩個人喜歡的前提下，有人告白』，哪個機率比較大。」

世杰伸出手比了個2，臉上的迷霧依然沒褪去。

「假如告白的是筋肉男，就是 (O，X)、 (O，O) 這兩種狀況。如果是真文青告白，就是 (X，O)、(O，O)。不管是誰告白都有兩種可能的狀況，而且 (O，O) 都重複出現在其中，所以是 (O,O) 的機率是 1/2。」
「還是高中那種解法，直接男生女生的出生機率各是 50% 最簡單了。」世杰放棄思考。

那樣的解法固然沒錯，但當兩個問題排在一起看，就得被迫用不同解釋方法。孝和的老師雲方說過，數學很柔軟，很有彈性，一個問題可以從不同角度切入，大家常只看某個角度誤以為自己會了。

「唯有從不同角度切入都能理解，才算是真的理解。」

算了，反正期末考也不會考這個，孝和把以前老師的話暫時放到一邊，不打算繼續跟世杰解釋。他說：

「比起煩惱潛在對手多不多，不如想想自己該怎麼努力吧。」

或許是一連串的機率討論，孝和腦海裡忽然浮現了一個想法：

「你要不要用數學設計一場浪漫的告白？」
「嘎？」

作者：赖以威

數學作家、譯者，作品散見於聯合報、未來少年、國語日報，與各家網路媒體。師大附中，台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。