八、了解OpenGL中的向量、矩阵

向量

了解向量之前，先了解什么是标量

单位向量
单位向量是长度为1的向量，向量长度通过下列公式计算

向量的模的计算

如果一个向量不是单位向量，可以通过单位化将其转化为单位向量，即非零向量除以向量的模，如下图所示

向量单位化

向量点乘

OpenGL中针对相应点乘，提供了两个函数
- m3dDotProduct3：获得2个向量量之间的点乘结果，即余弦值 = cosα
- m3dGetAngleBetweenVector3：获取2个向量之间夹⻆的角度，即α = arccos(余弦值)

向量叉乘

OpenGL中向量

math3d库中的数据类型	说明
M3DVector3f	表示⼀一个三维向量量(x,y,z)
M3DVector4f	表示⼀一个四维向量量(x,y,z,w) w是缩放因子，在典型情况下，w一般设置为1.0，x、y、z值通过除以w，来进行缩放，当w=1.0时，想xyz的值本质上不会发生变化

单位矩阵

矩阵分类

矩阵分类

矩阵的点乘

矩阵的叉乘

OpenGL中的矩阵

- 通过方法`m3dLoadIdentity44f`创建单元矩阵

void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m);

OpenGL中的4X4矩阵

数学角度

数学中为了方便计算，都是以行矩阵为标准，从左到右的顺序进行计算，所以在数学中，顶点将以行向量的方式表示
从数学角度理解mvp矩阵的计算，由于顶点是行向量，要满足矩阵相乘的规定条件（即叉乘的前提），必须将mvp矩阵放在右边，属于右乘
- 顶点向量 = V_local * M_model * M_view * M_pro
- 顶点向量 = 顶点 * 模型矩阵 * 观察矩阵 * 投影矩阵
  
  数学角度

OpenGL角度

OpenGL中的矩阵规定是以列为主，所以顶点以列向量的方式表示
从OpenGL角度理解mvp矩阵的计算，由于顶点是列向量，如果项进行矩阵规则，就需要满足矩阵相乘的条件，需要将mvp矩阵的顺序颠倒为pvm，且放在列向量的左边，属于左乘

OpenGL角度

OpenGL矩阵堆栈中矩阵相乘源码分析
从OpenGL矩阵堆栈中矩阵相乘源码分析，主要有以下3步
-从栈顶获取栈顶矩阵，复制到mTemp

而我们在观察者不动、物体动的观察方式中，根据之前Demo代码可知

代码中矩阵堆栈变化

ChangeSize函数中，得到投影矩阵，将投影矩阵压入投影矩阵堆栈栈顶，并与模型视图矩阵栈顶相乘，将结果覆盖栈顶，即投影矩阵 * 单元矩阵 = 投影矩阵
RenderScene函数中，将栈顶矩阵copy一份，然后将观察者矩阵与模型视图矩阵堆栈栈顶相乘，其结果覆盖栈顶矩阵，即投影矩阵 * 视图矩阵 = 视图投影矩阵
得到模型矩阵，将模型矩阵与栈顶矩阵相乘，其结果覆盖栈顶矩阵，即栈顶 = 模型视图投影矩阵

上述代码，矩阵堆栈的变化过程如下

堆栈变化过程

由此可知，在实际的代码中，mvp矩阵的计算顺序是pvm，最后再将mvp矩阵与顶点矩阵相乘，得到物体变换后的顶点和位置。