iOS 绘制贝塞尔曲线

1. 贝塞尔曲线的原理

以三阶为例:设P0、P02、P2是一条抛物线上顺序三个不同的点。过P0和P2点的两切线交于P1点,在P02点的切线交P0P1和P2P1于P01和P11,则如下比例成立:

这是所谓抛物线的三切线定理

当P0,P2固定,引入参数t,令上述比值为t:(1-t),即有:

当P0,P2固定,引入参数t,令上述比值为t:(1-t),即有:

t从0变到1,第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条边,它们是两条一次Bezier曲线。将一、二式代入第三式得:


当t从0变到1时,它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。

并且表明:

这二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。

依次类推,

由四个控制点定义的三次Bezier曲线P03可被定义为分别由(P0,P1,P2)和(P1,P2,P3)确定的二条二次Bezier曲线的线性组合,由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合:

由此得到Bezier曲线的递推计算公式

Bézier curve(贝塞尔曲线)是应用于二维图形应用程序的数学曲线。 曲线定义:起始点、终止点(也称锚点)、控制点。通过调整控制点,贝塞尔曲线的形状会发生变化。 1962年,法国数学家Pierre Bézier第一个研究了这种矢量绘制曲线的方法,并给出了详细的计算公式,因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名,称为贝塞尔曲线。
以下公式中:B(t)为t时间下 点的坐标;

P0为起点,Pn为终点,Pi为控制点

一阶贝塞尔曲线(线段):

意义:由 P0 至 P1 的连续点, 描述的一条线段

二阶贝塞尔曲线(抛物线):

原理:
由 P0 至 P1 的连续点 Q0,描述一条线段。
由 P1 至 P2 的连续点 Q1,描述一条线段。
由 Q0 至 Q1 的连续点 B(t),描述一条二次贝塞尔曲线。

经验:P1-P0为曲线在P0处的切线。

三阶贝塞尔曲线:

通用公式:


高阶贝塞尔曲线:

4阶曲线:
5阶曲线:
贝塞尔曲线的推到过程:

2. 用Swift进行贝塞尔曲线绘制

2.1 普通线条绘制

用Swift进行普通线条的绘制代码,如下:

import UIKit

class BezierPathView: UIView {

    override init(frame: CGRect) {
        super.init(frame: frame)
    }
    
    required init?(coder: NSCoder) {
        fatalError("init(coder:) has not been implemented")
    }
    
    override func draw(_ rect: CGRect) {
        super.draw(rect)
        
        self.drawLine()
        self.drawCommonCurve()
        self.drawSmoothPath()
    }
    
    func drawLine() {
        
        let offset:CGFloat = 50.0
        
        // 绘制矩形
        //let rectpath = UIBezierPath(rect: CGRect.init(x: 15, y: offset, width: 300, height: 60))
        let rectpath = UIBezierPath(roundedRect: CGRect.init(x: 15, y: offset, width: 300, height: 60), cornerRadius: 5.0)

        rectpath.lineWidth = 5.0
        UIColor.green.setStroke()
        rectpath.stroke()
        UIColor.red.setFill()
        rectpath.fill()
        
        // 绘制直线
        let path = UIBezierPath()
        path.move(to: CGPoint(x: 25.0, y: offset + 130.0))
        path.addLine(to: CGPoint(x: 300.0, y: offset + 130.0))
        path.lineWidth = 5.0
        UIColor.cyan.setStroke()
        path.stroke()
    }
    
    func drawCommonCurve() {
        
        let offset:CGFloat = 260.0
        
        let curvePath = UIBezierPath()
        curvePath.move(to: CGPoint(x: 30.0, y: offset))
        curvePath.addQuadCurve(to: CGPoint(x: 350.0, y: offset), controlPoint: CGPoint(x: 350.0, y: offset + 100))
        UIColor.blue.setStroke()
        curvePath.stroke()
    }
    
    func drawSmoothPath() {
        
        let offset:CGFloat = 430
        
        let pointCount:Int = 4
        let pointArr:NSMutableArray = NSMutableArray.init()
        for i in 0...pointCount {
            let px: CGFloat = 15 + CGFloat(i) * CGFloat(80)
            let py: CGFloat = i % 2 == 0 ? offset - 60 : offset + 60
            let point: CGPoint = CGPoint.init(x: px, y: py)
            pointArr.add(point)
        }
        
        let bezierPath = UIBezierPath()
        bezierPath.lineWidth = 2.0
        var prevPoint: CGPoint!
        
        for i in 0 ..< pointArr.count {
            let currPoint:CGPoint = pointArr.object(at: i) as! CGPoint
            
            // 绘制绿色圆圈
            let arcPath = UIBezierPath()
            arcPath.addArc(withCenter: currPoint, radius: 3, startAngle: 0, endAngle: CGFloat(2 * Double.pi), clockwise: true)
            UIColor.green.setStroke()
            arcPath.stroke()
            
            // 绘制平滑曲线
            if i==0 {
                bezierPath.move(to: currPoint)
            }
            else {
                let conPoint1: CGPoint = CGPoint.init(x: CGFloat(prevPoint.x + currPoint.x) / 2.0, y: prevPoint.y)
                let conPoint2: CGPoint = CGPoint.init(x: CGFloat(prevPoint.x + currPoint.x) / 2.0, y: currPoint.y)
                bezierPath.addCurve(to: currPoint, controlPoint1: conPoint1, controlPoint2: conPoint2)
            }
            prevPoint = currPoint
        }
        UIColor.red.setStroke()
        bezierPath.stroke()
    }
}

运行结果:


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