1. 贝塞尔曲线的原理
以三阶为例：设P0、P02、P2是一条抛物线上顺序三个不同的点。过P0和P2点的两切线交于P1点，在P02点的切线交P0P1和P2P1于P01和P11，则如下比例成立：
这是所谓抛物线的三切线定理。
当P0，P2固定，引入参数t，令上述比值为t:(1-t)，即有：
当P0，P2固定，引入参数t，令上述比值为t:(1-t)，即有：
t从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条边，它们是两条一次Bezier曲线。将一、二式代入第三式得：
当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。
并且表明：
这二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。
依次类推，
由四个控制点定义的三次Bezier曲线P03可被定义为分别由(P0,P1,P2)和(P1,P2,P3)确定的二条二次Bezier曲线的线性组合，由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：
由此得到Bezier曲线的递推计算公式
Bézier curve(贝塞尔曲线)是应用于二维图形应用程序的数学曲线。 曲线定义：起始点、终止点（也称锚点）、控制点。通过调整控制点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。 1962年，法国数学家Pierre Bézier第一个研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名，称为贝塞尔曲线。
以下公式中：B(t)为t时间下 点的坐标；
P0为起点,Pn为终点,Pi为控制点
一阶贝塞尔曲线(线段)：
意义：由 P0 至 P1 的连续点， 描述的一条线段
二阶贝塞尔曲线(抛物线)：
原理：
由 P0 至 P1 的连续点 Q0，描述一条线段。
由 P1 至 P2 的连续点 Q1，描述一条线段。
由 Q0 至 Q1 的连续点 B(t)，描述一条二次贝塞尔曲线。
经验：P1-P0为曲线在P0处的切线。
三阶贝塞尔曲线：
通用公式：
高阶贝塞尔曲线：
4阶曲线：
5阶曲线：
贝塞尔曲线的推到过程：
2. 用Swift进行贝塞尔曲线绘制
2.1 普通线条绘制
用Swift进行普通线条的绘制代码，如下：
import UIKit
class BezierPathView: UIView {
override init(frame: CGRect) {
super.init(frame: frame)
}
required init?(coder: NSCoder) {
fatalError("init(coder:) has not been implemented")
}
override func draw(_ rect: CGRect) {
super.draw(rect)
self.drawLine()
self.drawCommonCurve()
self.drawSmoothPath()
}
func drawLine() {
let offset:CGFloat = 50.0
// 绘制矩形
//let rectpath = UIBezierPath(rect: CGRect.init(x: 15, y: offset, width: 300, height: 60))
let rectpath = UIBezierPath(roundedRect: CGRect.init(x: 15, y: offset, width: 300, height: 60), cornerRadius: 5.0)
rectpath.lineWidth = 5.0
UIColor.green.setStroke()
rectpath.stroke()
UIColor.red.setFill()
rectpath.fill()
// 绘制直线
let path = UIBezierPath()
path.move(to: CGPoint(x: 25.0, y: offset + 130.0))
path.addLine(to: CGPoint(x: 300.0, y: offset + 130.0))
path.lineWidth = 5.0
UIColor.cyan.setStroke()
path.stroke()
}
func drawCommonCurve() {
let offset:CGFloat = 260.0
let curvePath = UIBezierPath()
curvePath.move(to: CGPoint(x: 30.0, y: offset))
curvePath.addQuadCurve(to: CGPoint(x: 350.0, y: offset), controlPoint: CGPoint(x: 350.0, y: offset + 100))
UIColor.blue.setStroke()
curvePath.stroke()
}
func drawSmoothPath() {
let offset:CGFloat = 430
let pointCount:Int = 4
let pointArr:NSMutableArray = NSMutableArray.init()
for i in 0...pointCount {
let px: CGFloat = 15 + CGFloat(i) * CGFloat(80)
let py: CGFloat = i % 2 == 0 ? offset - 60 : offset + 60
let point: CGPoint = CGPoint.init(x: px, y: py)
pointArr.add(point)
}
let bezierPath = UIBezierPath()
bezierPath.lineWidth = 2.0
var prevPoint: CGPoint!
for i in 0 ..< pointArr.count {
let currPoint:CGPoint = pointArr.object(at: i) as! CGPoint
// 绘制绿色圆圈
let arcPath = UIBezierPath()
arcPath.addArc(withCenter: currPoint, radius: 3, startAngle: 0, endAngle: CGFloat(2 * Double.pi), clockwise: true)
UIColor.green.setStroke()
arcPath.stroke()
// 绘制平滑曲线
if i==0 {
bezierPath.move(to: currPoint)
}
else {
let conPoint1: CGPoint = CGPoint.init(x: CGFloat(prevPoint.x + currPoint.x) / 2.0, y: prevPoint.y)
let conPoint2: CGPoint = CGPoint.init(x: CGFloat(prevPoint.x + currPoint.x) / 2.0, y: currPoint.y)
bezierPath.addCurve(to: currPoint, controlPoint1: conPoint1, controlPoint2: conPoint2)
}
prevPoint = currPoint
}
UIColor.red.setStroke()
bezierPath.stroke()
}
}
运行结果：
