作者：杨之勇’’
微分也称为微分法，是分析和计算的一种数学方法；常量数学只能处理静止数学问题，社会生产实践发展到一定阶段常量数学就不够用了，是社会生产的需要，于是变量数学应运而生，产生了微分法这门与社会生产实际结合紧密的微分学，提到了函数的微分就不能丢掉其函数的导数：因为函数的导数等于函数的微分除以自变量的微分之商：=f′(x) 函数微分的通俗概念定义：函数的微分等于函数的导数与自变量微分之积。函数的导数等于函数的微分与自变量微分之比。这也是把导数叫做微商的道理所在。习惯上人们把计算函数导数与微分的方法叫做微分法。简称微分。也就是函数的自变量的增量与其函数的导数的乘积是微分；导数是函数的因变量的增量与自变量的增量之商。
导数是微分学基本概念之一，是客观实践现象中抽象出来的数学理论，列如力学的速度、加速度；电学中的电流密度；化学中的反应速度’；生物学中的繁殖率；几何学中的切线斜率。
实际问题抽象出的函数关系一点处的微小改变量的所关联的函数关系在理论与实际中均有重要意义，将其用数理关系提出来，规律归纳出来就得到微分的概念。学习的目的全在于应用，微分在数学理论中的定义及与导数关系从微商定义中可以理解，看书上的应用详解都能看明白，轮到自己的能动和实际结合去应用也不是那样容易：有的把微分用在机械制造中的夹具计算定位误差上，祥见《微分在夹具计算定位误差中的应用》一文在机械设计与制造87.1期；微分法可用于解决各种形式的定位误差计算问题，而应用微分法且不必讨论工件在夹具中的任何状态（注：为分析问题的直观和方便，常以公称尺寸为零的自变量存在误差时的状态来建立工序尺寸关系图，以免遗忘该自变量尺寸）如何建立实际状态的函数关系式是关键，再应用微分法。
在物质世界的变化中，几乎都有微小变化的过程，这种自变量变化可以引起因变量的变化，都有用无限细小变化的微分处理。
微分的应用：1.求近似值2.计算误差3.利用导数和微分列解潍坊方程求解有关问题的变化规律。
函数的增减量一般不易计算，而对于初等函数的导数就容易计算，所以利用微分法求解导数是计算函数增减量的得力工具。
1.(1)利用函数微分法进行近似计算：计算函数增量Δy的近似值，即Δy≈dy=f＇(x)dx，利用微分定义去反求其值。
1.(2)计算函数的近似值，即f(X+Δx)≈f(x)+f＇(x)dx
1.(3)按照误差精度要求进行近似计算：列已知函数y=的自变量x由π/6 变到61π/360,如何求函数增量Δy的近似值？∵Δy≈dy=f＇(x)Δx, 且61π/360=π/6 +π/360 ∴Δx=π/360,
∵f＇(π/6)= =
=-2/
·3/4 ， ∴ Δ≈dY =f＇(π/6)·(π/360)= [-2
·3/4］·(π/360) ≈ －0.0089
1.（3）例1：半径为R的球被加热，如果球的半径增大为ΔR求球的体积增加多少？
解：球的体积V=4π/3 ,当自变量R的增量ΔR比较小时。则有 ΔV≈dv, ∵ dv=
·ΔR =4π·ΔR
1.(3)例2如何计算函数的近似值，例2.1 已知f(x)=x/ ,求f(0.03) ;例2.2已知f(x)=
,求f(0.998)
解：应用微分求函数近似值，首先应适当确定自变量的初值与增量。
例2.1设 X=0, Δx=0.03 x+Δx=0=0.03=0.03 ∵ f(0.03)=f(0+0.03),即：f(X+Δx)≈f(x)+f＇(x)dx
∵ f(0.03)=f(0+0.03)≈f(0)+f＇(0) x0.03, 而 f＇(0)=(X/ )＇
=1/3
∴ f (0.03)≈0+(1/3 )X0.03=0.1
例2.2 解：∵ 0.998=1-0.002= 1+（-0.002）
取 x=1 , Δx =－0.002, ∵ f (1) =1, f＇(1)= 1/3 ,∴ f (0.998)= f ［1+ (-0.002)≈f (1)+f＇(1)x(-0.002)
=1+ 1/3 x(-0.002)≈0.9993
实际问题应用题：
例：将一直径为1尺的圆木，锯成截面为方形型材材料，如何下尺寸截面积最大（省材料）。
解：把这个问题变成几何问题，形数结合分析是求圆的内接4边形问题，已知圆的直径为1,的四边形的对角线为D,,设正自边形边长为x,则另一边长为,所求得面积S(x)=X
,,为了简化数学形式将此式两边平方则得：
=
(1－
),将两边微分得：
[
(X)]=2x(1-
) 故临界点X=±
，0，但X=－1/
,0对本体无意义，X=1/
，当截面锯成正方形时面积最大，节省材料。
