数学家教你 100 试 100 灵的创新解题技巧……

1

每当我们看到质数无穷多的证明或者高斯计算1+2+3+…+100的技巧时,内心多少也会想:我怎么没有想到呢?也许我也可以想到……

那么,我们为什么没有想到呢?我们又该如何找到这些聪明的解答方法?

我们或许不具备高斯、康托尔、欧拉的才能,但当面对问题迷迷糊糊,不知道用哪种方法解答时,这里有一些小窍门。

当然,没有一招鲜吃遍天的方法,也就是说没有模板。解题也需要点运气,数学之所以有趣也是因为这个原因……

阿达马在他的论文中对解题分成了四个阶段:

准备——有意识地思考题目,寻求解答;

酝酿——当没有立刻找到解答时,我们的潜意识也在思考这个问题;

领悟——从潜意识里想出来的解答出现在我们的意识中;

验证——检验凭直觉得到的答案。

接下来我们看 2 个问题,利用一些小窍门,再加上一点点运气,便能培养好的数学意识。

这些窍门很多,今天谈论的是系统化方法!

2

数学家的儿子

在一架飞机上两个数学家在谈论。

“你有三个儿子,是吗?”一个数学家问道,“他们现在到底多大了?”

“他们年纪的乘积是 36.“另一个数学家答道,“年纪总和正好是今天的日期。”

“呃,这还不够,我猜不出来。”

“哦,对了,我忘记提了,我最大的儿子是一条狗。”

这三个儿子年纪是多大?

从题目中,我们可以看到最后一个提示非常重要,年纪总和是今天的日期,由于日期知道后,还确定不了,可是告知了最大的儿子是条狗后,答案就有了。

说明可能存在双胞胎……乘积组合里和相等的存在多种情况……

没有好的办法,我们将所有乘积是 36 的3个数组合写出来:

1、1、36   38

1、2、18   21

1、3、12   16

1、4、9     14

1、6、6     13

2、2、9     13

2、3、6     11

3、3、4     10

第一个组合被排除了,日期不会超过31;

由于数学家知道了日期还确定不了,那么这个日期对应的组合至少有 2 种,因此,只有 13 符合要求,即今天的日期是 13 号;

1+6+6=2+2+9=13;

其中只有 2 2 9组合里有一个大儿子,组合 1 6 6 中有两个大儿子,故答案是2 2 9.

3

将自然数 1 到 15 写成一行,使得这 15 个数字中的每一个数字都恰好出现一次,并且每两个相邻的数字之和是一个平方数,请你找出所有的可能性!

这题看着真难!

连续的15个数字有太多种可能性了!

两个相邻数加在一起是平分数,哪些数字适合呢?

我们想一想:1+3=4=2^2, 8+1=3^2, 15+1=4^2, 3+13=4^2……

我们再制定一个所有可能性,兴许能得到一些灵感……

1   组合数字:3、8、15

2   组合数字:7、14

3   组合数字:1、6、13

4   组合数字:5、12

5   组合数字:4、11

6   组合数字:3、10

7   组合数字:2、9

8   组合数字:1

9   组合数字:7

10   组合数字:6、15

11   组合数字:5、14

12   组合数字:4、13

13   组合数字:3、12

14   组合数字:2、11

15   组合数字:1、10

有趣的是,几乎所有数字都有两个搭档,1和3有3个搭档。

只有8 和 9 有一个搭档,那么 8 和 9 就不可能位于中间的位置,只能位于两端。

也就是说这行数字要么8 开头,要么 9 开头。

我们假设 8 开头(如果成功,翻转过来就是 9 开头了……)

8、1、3(8)(15)……

将 8 排除,

8、1、3(15)……

如果选3,

8、1、3、6(13)……

8、1、3、6、10、15、?无解

8、1、3、13、12、4、5、11、14、2、7、9、?无解

因此第三个数不能是3,只能是15,

8、1、15、10、6、3、13、12、4、5、11、14、2、7、9

你可能发现了,解答此类问题需要细致缜密的思维。你必须考虑所以可能性。我们可以在数学中学到像这样的系统防范,还可以将之用之于日常生活和工作中。

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END

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