概述
执行效率是考量一个算法是否高效的主要指标。然而时间、空间复杂度又是衡量算法执行效率的主要维度
一、事后统计法的局限
以前通过统计、监控实际代码的运行就能够获取算法执行的时间和占用的内存大小。这种事后统计方法虽然能够评估算法的执行效率，但还是存在诸多缺陷。
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测试结果非常依赖测试环境
测试环境中硬件配置的不同对测试结果会产生很大的影响。
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测试结果受数据规模的影响较大
对于同一个算法而言，测试数据量的大小不同，其所得出的性能测试结果也会不同。
二、大 O复杂度表示法
如下一段代码：
public int sum(int n){
1 int sum = 0;
2 for(int i = 0; i<n ; i++){
3 sum = sum +1;
}
return sum;
}
假设每一段代码的执行时间单位为Ｔ，那么第１行代码执行时间为Ｔ，第３行代码由于执行了ｎ次，那么执行时间为ｎＴ所以这段代码的总执行时间为（ｎ＋１）Ｔ，由此可知：所有代码的执行时间T(n)与每行代码的执行次数n成正比。
接下来再看一段代码
public int sum(int n){
1 int sum = 0;
2 for (int i = 0 ; i<= n ; ++i){
3 for (int j = 0 ; j<= n ; ++j){
4 sum = sum + i*j;
}
}
return sum;
}
这里每行代码的执行时间单位仍旧为T，那么第1行代码的执行时间为T，第4行代码由于执行了n2次，所以执行时间为n2T。因此，整段代码的执行时间为：（n2+1）T 。
将以上规律总结成一个公式，就是我们所知的大O表达式。
T(n) = O ( f (n) )
其中：T(n)代表代码所执行的时间；n表示数据规模的大小；f(n)表示每行代码执行的次数总和。而公式中的O则表明了代码的执行时间T(n)与 f(n) 表达式成正比。
大O复杂度分析表示法，并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，一般叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity)，简称时间复杂度。同时，当n趋于无限大的时候，我们就可以忽略公式中的低阶、常量、与系数三部分。只需记录一个最大的量级，如 T(n) = O(2n2 + 2n +3) 我们省略掉其中的低阶、常量、与系数所得出的最终结果为：T(n) = O(n2)。因此以上两段代码的时间复杂度就可以记为 ： T(n) = O(n) ；T(n) = O(n2)。
三、时间复杂度分析
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只关注循环执行次数最多的一段代码：
关于这一点，之前的代码示列就是很好的说明，这里不再赘述。
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加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
比如如下一段代码：
public int sum(int n){ int sumOne = 0; for (int i = 0; i <= 1000 ; ++i){ 1 sumOne += i; } int sumTwo = 0; for (int i= 0; i< n ; ++i){ 2 sumTwo += i; } int sumThree = 0; for (int i = 0; i< n ; ++i){ for (int j = 0 ; j < n ;++j){ 3 sumThree = sumThree + i *j; } } return sumOne + sumTwo + sumThree; }这段代码共分为三个部分，分别求sumOne、sumTwo、sumThree。我们可以分别解析每一个部分的时间复杂度，然后再从他们之中选取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。
第一段代码执行了1000次，所以其代表的是一个常量级的执行时间，跟n的规模无关，可以将其忽略掉。
第二段代码和第三段代码分别执行了 n 次和 n2次，所以他们的时间复杂度分别为O(n) 和O(n2)。
综合这三段代码的时间复杂度，我们取其中最大的量级，那么整段代码的复杂度就为：O(n2)
因此将上述这个公式抽象一下就可以得出：
如果：T1(n) = O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n) = T1(n)+T2(n) = max(O(f(n)),O(g(n)))=O(max(f(n),g(n)))
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乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
如果T1(n) = O(f(n))，T2(n) = O(g(n))；那么 T(n) = T1(n) x T2(n) = O(f(n)) x O(g(n) = O(f(n) x g(n))
public int sum(int n){
int result = 0;
for (int i = 0 ; i < n ;++i){
1 result = result + subSum(n);
}
return result;
}
public int subSum(int n){
int subSum = 0;
for (int j = 0 ; j < n ; ++j){
2 subSum += j;
}
return subSum;
}
其中：第一段，第二段代码都是执行了n次，时间复杂度都是 T(n) = O(n)。但由于第二段代码是嵌套在第一段代码之中执行的，因此整个代码的时间复杂度应为：T(n) = T1(n) x T2(n) = O(n) x O(n) = O(n2)
四、常见时间复杂度
| 多项式量级 | 非多项式量级 |
|---|---|
| 常量阶O(1) | 指数阶O(2n) |
| 对数阶O(logn) | 阶乘阶O(n!) |
| 线性阶O(n) | |
| 线性对数阶O(nlogn) | |
| 平方阶O(n2)、立方阶O(n3)、··· 、k次方阶O(nk) |
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常量阶 O(1)
一般来说，只要算法中不存在循环语句、递归语句、即使有成千上万行代码，其时间复杂度仍旧是O(1)
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对数阶O(logn)，线性对数阶O(nlogn)
int i = 1; while( i <= n){ i = i * 2; }如上一段代码中，i 的取值为 20， 21， 22，···· ， 2x-1， 2x 成等比队列。要想知道这段代码执行了多少次，求出 2x = n 的结果就行。 x = log2n，所以这段代码的时间复杂度就是 O( log2n)，这里忽视掉底数，那么所有的对数阶时间复杂度可以表示为O(logn)。
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O(m+n)、O(m * n)
public int sum(int m , int n){ int sumOne = 0; for (int i = 0 ; i<= m ; ++i){ sumOne += m; } int sumTwo = 0; for (int j = 0 ; j<= n ; ++j){ sumTwo += j; } return sumOne+sumTwo; }上述代码中，复杂度取决于两个数据规模 m 与 n，因此无法事先评估m 与 n 谁的量级更大，因此加法法则在这里不适用。因此上段代码的时间复杂度即为O(m+n)。但是乘法法则依旧适用：T1(m) x T2(n) = O(f(m) x f(n))。
五、空间复杂度分析
空间复杂度就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity）,表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。
public void initArray(int n){
1 int[] arr = new int[n];
for (int i = 0 ; i<= n ; ++i){
arr[i] = i * i;
}
}
如上述代码所示，我们在第一行代码中申请了一个大小为n的int类型数组，除此之外其他的代码都没有占据更多的空间，因此整段代码的空间复杂度就是O(n)，相对于时间复杂度而言，空间复杂度的分析要更为简单。
