Applications to Physics and Engineering 应用物理和工程
一些扯淡的，略
Hydrostatic Pressure and Force 水压和力
一些表示：
体积 V：（底面积 x 深度）
质量m： （密度 x 体积 = 密度 x 底面积 x 深度）
所以，有：
对应的单位面积压力为：
例如：
水的密度为：
我们在2米深度的压力为：
流体压力重要原则：
any point in a liquid the pressure is the same in all directions
液体中任何点在任何方向收到的压力是相同的。
例子1
图2中，大坝收到的水的压力
应该就是每一段收到的压力的和：
根据图，我们可以得到简单的式子：
化简得到：
这个时候，我们可以知道
第i段，对应的水坝的宽度为：
纵切面积为：
对应的压力：
所以，第i层压力Fi 为：
最后，F为 所有力的求和：
（其实，个人觉得，坝的压力，不应该是这一面的.....）
Moments and Centers of Mass 瞬时和质量的中心
（这个moment自己也不知道怎么翻译....暂时就翻译为瞬时， 因为后面感觉对应的mass质量， 都表示的是 瞬时质量。 或者之前有瞬时速度）
一个平面，一般都会有一个中心点：
如果是一个rod杆子， 则会遵循
m1d1 = m2d2
也就是 阿基米德 发现的 杠杆定律
这个时候，如果对应的支点在x轴上
例如：
化简，可以得到：
这里，只是m1 和 m2 这2个点的重量
而这个rod杆子，是n个点的组合体
如果按n个点去计算，可以得到：
这里， m是所有点质量的和
如果 M 用下面表示：
则，上面的式子，可以写成：
上面只是 x轴方向的
因为只是一个rod杆子，也可以理解为 围绕y轴平衡（y轴系统）
如果是一个平面（例如这个图）
则需要考虑2个方向的平衡
也就是 y轴系统的瞬时质量， x轴（方向）瞬时质量
【y轴系统 就和 上面那个rod杆子一样， x轴系统，可以旋转90度理解】
这个时候， 如果对应的中心点为
则有：
例子3
这个时候，我们只通过 Mx My ，再去求即可：
总质量为：
分别求出中心点 坐标，
所以，对应的中心点为：
图像大体为：
其实，对应的平面上，会遵循一个 The symmetry principle 对称原则
也就是前面有说到的
如果在 一条线上，左右对称
如果在 一个平面上，需要在2个区域单独确认对应瞬时的和
假设在 区域R中（图a）
如果，我们把[a, b]区间， 分为 n 份（图b）
这个时候，对应 第i个小矩形， x的中点为：
对应的面积为：
对应的质量为：
我们先来看一下 y轴的系统（我们知道y轴系统，需要看x值）
所以
其实也很好理解， 和上面一样
这个时候，我们把所有y轴系统的瞬时值求和：
同理，我们可以看一下x轴系统（对应的质量都是一样的，只是 x值换成了f(x) ）
因为之前质量已经有了一个f(x) 这个时候，就会有一个 平方了
这个时候，我们把所有x轴系统的瞬时值求和：
而整个质量m为：
所以：
和上面表示一样，只是把分母用A表示了
一般可以表示为（分母的积分，其实就是面积A）
例子4
找出这个半径为r的半圆的质量中心位置
- 由于半圆x轴方向是对称的，所以，质量的中心点的x值，肯定为x方向的中点，也就是 x=0
- 容易知道 面积A 为 πr^2/2
所以，我们有：
所以中心点为：
例子5
我们可以知道，对应 x是从 0 到 π/2， y是从 cosx 到 0
首先，我们可以求出面积A
再分别求出 x ， y 方向的中点：
所以，质量中心点为：
两个函数组合成的中心点
同理，和上面的方式一样，分别在2个方向去找质量中心，可以得
例子6
可以知道大体图像为：
我们可以知道，它们的交点为(0,0) 和 (1,1)
首先，我们还是先求面积A
再分别求出 x ， y 方向的中点：
所以，对应的中点为：
(1/2 , 2/5)
Theorem of Pappus 冠毛定理...
大体也就是：
一个面 围绕 一条直线 旋转，形成一个体积V
这个时候， 那个面的面积为A， 旋转后对应面中心点移动的距离为d
则， V = Ad
简单证明
第6章，我们简单有一个公式
这个时候，如果是由2个函数组成的，则有
其实，这个时候化简后
就已经得到证明。
其中
例子7
我们得到上面的结论以后
就不用按原来的方式去求积分了
直接可以通过V = Ad
也就是
得到体积。
