上一篇埋了几个小坑，这里给他填完。本专题内容既然是有关数字的，其他的方面就不多谈论了。费马的主要研究范围和贡献就在数论范围，但是欧拉则不同，据说欧拉命名的各种定理、曲线、函数多就达到20个左右，且领域横跨数论、曲线、图论、微积分等；但是如果你觉得欧拉只是数学天才就大错特错了，欧拉的的领域还有声学、工程力学、天文学、光学等范围。但是这里仅仅探讨欧拉的数论范围。康托的最大贡献在于用一己之力建立了超限王国，作为简单介绍（其实主要是我也太懂，没法继续探讨下去，啊哈哈），本文仅仅就康托的超限理论的简单认知。
费马---- 恶搞大师
如果说费马是数学界的恶搞大师，恐怕无人能够质疑。最严谨逻辑的数学硬生生的让费马变成了打麻将掷骰子一样的赌徒游戏。费马的特点在于：第一，他说很多都不对，但是也有一些对的。第二，他总是说页面太小或者是证明太冗长，我就不写了，你们琢磨去吧。费马信誓旦旦的说的东西，后人（其实多数时候都是欧拉）会证明是错的。当然也有对的，比如费马不经意间挖的大坑，让人类高智商的人群硬生生的折腾三百多年才搞定---- 著名的费马猜想终于改名为“费马大定理”。
比如费马说这样的数字一定是质数：
在数字较小的时候，我们可以验证如下：
要验证一个巨大的数字，在当时的条件是无疑是非常困难的，并且，万一费马是对的呢？那么所做的一切工作都将毫无意义，你甚至可以想象费马在遥远处冷冷的微笑“看，我早就说了，一定是质数”。
但是欧拉不相信，欧拉用一种抽丝剥茧的方式来验证。事实上欧拉仅仅验算了几个数字，就断定了这个巨大的数字一定是合数，因为欧拉已经成功的证明了费马小定理，并且应用费马小定理，欧拉轻而易举的否定了“费马质数公式”。
费马小定理如下：如果p是质数，并且a与p是互质的整数，那么p能够整除a^(p-1)-1。
比如：p=5，a=6 (a不一定是质数，两者互质即可，当然如果a是质数，肯定满足上述条件)
6^(5-1) -1= 6*6*6*6-1 = 1295，5确实能够整除1295。经过一些验算发现，确实如此。欧拉就是用费马小定理验证了费马猜想，结果费马质数公式是错误的。
欧拉的证明：2^32+1不是质数。2^32+1=4294967297，它有一对唯一的因子： 641*6700417。
比费马小定理更要命的当然就是费马大定理。
回想一下直角三角形的勾股定理满足如下：X^2+Y^2=Z^2
费马针对该公式，琢磨了几天，然后写下如下的句子：
Cubem culem in duos cubos, aul quadraloquadralum in duos quadraloquadratos, el generaliter nullam in infinitum ultra quadratum polestalem in duos eiusdem nominis fas esl diridere.
简单的意思就是说：不可能将一个立方数写成两个立方数之和，4次幂亦然，或者说，高于3次幂的情况该方程无正整数解。
费马一如既往的写下了他的千古名言：这一页空白太小了，我无法写下我的美妙证明。
这就是费马大定理，今天人们倾向于认为费马没有找到合理的证明，或者说，即便有费马自己的证明，应该也是不完备的证明，或许存在逻辑漏洞或者存在偏差。
费马死后的第358年，怀尔斯终于完整的证明了费马大定理的正确性。
有关怀尔斯的证明，印象中BBC曾经做过专辑节目。这中间还有日本数学家的巨大贡献，谷山和志寸两人，后来谷山这哥们还自杀了，原因未知，不过由此还发生了日本现代版的“孔雀东南飞”。谷山自杀后，他的未婚妻铃木也随后自杀，她在写下如下文字后自杀“我们曾经承诺，永不分开，无论哪里。既然他已经走了，我也必须和他在一起”。
谷山也许不是殉情，或许是为数学而死；但是他的未婚妻确实是殉情而死。
事实上就连大哲学家罗素都曾经这样说“我经常独自一个人去看落日，并想到自杀”。然而，罗素终于还是没有自杀，他的后半句是“因为我需要更多的了解数学”。
每一个人为了科学和自己信念献身的都永远值得尊敬。
费马大定理的成功证明是人类集体智慧的结晶，更是朴素、执着的数学家怀尔斯的个人胜利。犹如我们上一篇提到的中国数学家张益唐一样，他们用天才的智慧和朴素的执着坚守人类的另一块阵地---- 永不服输，一直向前，百折不回。这一点从我们的祖先走出非洲，我们就注定如此，人类之所以为人类或许也正因为如此。
应该公正的评价费马的贡献。他是一个贵族，一个律师，一个数学爱好者，也可以说是一个数学家，他开创性的贡献主要在数论方面，虽然他没有提供完美的证明，甚至他的猜想有的是错的，但是他勤勉、低调的研究数学，并且与当时的大数学家保持通信，促进了数论的发展。
费马虽然是一个挖坑大师，恶搞大师；但是他终究还是数学大师。
欧拉：大师中的大师
谈论欧拉的伟大贡献显得如此力不从心，不如从别的角度谈谈欧拉。
欧拉是瑞士人，精通四国语言，并且用这四国语言写下了无数的论文，其中包括拉丁文。他的论著共计约80卷，整整可以摆满一个标准的图书馆的书架。出版商在欧拉逝世后的半个世纪才全部出版完毕他的著作。
如果我们知道欧拉有大约三分之一的论著是在他失明之后创作的，毫无疑问，最科幻的小说也不一定能这样编写。另一位大师贝多芬也是在失聪之后，创作了伟大的交响乐。真正的大师总是在不经意间感动世界。他们没有屈服了客观条件，而是越挫越勇。
欧拉的记忆力惊人，他能记住前三百个质数，当然这不算什么，他甚至还可以记住这些质数的三次方、四次方的值。而对于一个五位数和另外一个五位数的乘积的问题，欧拉总是脱口而出答案。欧拉更惊人的天才在于，他像机器一样思考，在他反复的推演过程中，他能够准确的回想起之前几十步的逻辑关系以及数值，并且在这些数值背后和当时的验算数值建立联系，从而像一个超级侦探一样，探究其中的蛛丝马迹，进而抽丝剥茧，看到本质。欧拉的惊人记忆力不仅仅在于数学，而是体现在各个方面。在他70岁的时候，他还能够一字不差的背诵在他6岁时候背诵过的长诗全篇----那个时候，年幼的欧拉在牧师父亲的催促下背诵文学篇目。欧拉在数学中，犹如法国物理学家所说的一样：“just as men breathe, as eagles sustain themselves in the air.”
1783年，欧拉在圣彼得堡（今天的列宁格勒）病逝，在他病逝前一天，他还在和助手一起工作，研究数学。并且在一天的工作之后，他还在和他的孙辈们一起玩耍，在树荫下出一些数学小问题给孩子们。
如果想到伟大的艾萨克·牛顿的怪癖，或者概率论的划时代大师卡尔达诺的孤独悲催的一生，欧拉就更加难能可贵。牛顿尖酸刻薄，对人不屑一顾，终身未娶，他孑然一身，晚年的牛顿陷入了研究“上帝之手”。后来做了大英帝国造币局局长，投身在非科学领域。当然据说局长做的很不错，但是与其共事的人都觉得这个早产儿神经质，或许童年的经历让他如此。早产的牛顿没有见过他的亲生父亲，母亲因为生活拮据而另嫁他人，祖母带着他成长，年幼的牛顿看到远远的城堡，母亲就在哪里，他却无法相见。悲伤的童年也许令牛顿性格怪异。欧拉更像是一个慈爱的长者，天才的智慧并没有让欧拉成为其他方面出现缺陷。他既孤单的研究数学，又和家人一起共享快乐时光。并且，面对最尖端、最顶级的数学难题，欧拉披荆斩棘，自由翱翔。同时他也普及大众数学，和孩子们互动，讲授最基本的数学课程，他的普及型著作“无穷小分析引论”，数学界评价也许可以比肩最大的《几何原本》。
今天人们论述数学问题的方式和欧拉的论文没有什么区别，这并不是偶然，而是因为欧拉创立了这种论述的逻辑和标准。欧拉善于用最简单，最清晰的公式表达最严谨的逻辑，后世的数学家们都采用这种方式。
欧拉面对问题，殚精竭虑，他从不给后人留深坑，这一点和费马完全不同；事实上欧拉往往是费马的填坑人。
康托---- 孤独的行者
话题回到数学方面。比较多少<或者说大小>是一个古老而奇怪的问题。
我们知道的比较方法，就是从自然数开始，然后以此建立规则，就可以比较大小。我们比较10000和9999的大小，并不需要从1开始数数，。因为我们建立了数字的规则。
可是有没有其他的比较方法呢？
我们公司会议室的椅子很多，有时候还会临时加一些，或者拿走一些，我们每天早上都开会，会议都有很多人。某一天，我们想知道是会议的人多，还是椅子多？或者换句话说，我们想知道会议室的椅子到底够不够用？（这是真事儿，真真真的真事儿）。我们可以数数多少人，数数多少椅子。但是更简单的办法是，所有人都找椅子坐下。然后我们看看有人站着还是有椅子空着，就知道那个数字更大了。
这个【坐下】就是建立了一种规则，或者说一种关系，一种映射对应关系。
再举个例子：假定我们发现一群原始人，他们都只有一只手，他们都只能数到5，他们生活在5进制的时代，他们不知道7是什么，现在给了7个树叶，问他们7个树叶多，还是5个手指多。他们无法理解7是什么，但是他们可以找到对应关系---- 每个树叶都贴在手指上。然后看看最后是剩下来树叶，还是空白了手指，就知道到底是那个大了。
如何比较两个无穷的大小，就是建立某种对应关系，然后看看在对应关系之外，还是有空出来更多的元素，这就是超限比较。
康托的定义如下：如果根据某一法则，可以使集合M和集合N建立一一对应关系，那么集合M和集合N等价。
---- 这个定义中，没有提及有限和无限的概念，但是集合M和集合N都可以是无限元素集合。等价的集合，可以简单的理解，他们的元素一样多！
比如自然数和正偶数那个多。
自然数：1,2,3,4....
正偶数：2.4.6.8.....
凭感觉，自然中还有一半的正奇数。但是康托告诉你，他们一样多，他们没有任何区别。因为对于任何的自然数集合元素m,我们都可以建立一一对应关系2m，在正偶数中找到相应的数字。他们一样多。类似的：整数和自然数也是一样多，偶数和整数也是一样多。。。。。。
康托定理（仅为示例）：0到1的实数不可数。
康托构造了一个对角线方式，并且结合反证法来证明上述命题。详细的证明可以参考公众号【混乱博物馆】，里面有视频和解说，著名的暗黑大神 DARK LIU配音。（我这免费的广告给混乱博物馆，算不算太硬了些？）
如果回忆一下上一篇的概念：代数数和超越数。
这个命题的潜在含义就是：超越数好多好多，代数数好少好少，他们不是一个级别的数量。
“超越数犹如漫天繁星---- 浩瀚无穷，难以名状，而代数数不过是流星一般---- 偶尔出现，仅为点缀。”
然后当康托在他的超限王国越走越远的时候，他也发现自己越来越力不从心，并且学界对他的质疑，让康托烦恼不断。然而更糟糕的是：康托对他自己的理论笃信不已，他的近乎宗教一般的自信让他更加烦恼：你们这些凡夫俗子，难道真的无法理解我的理论吗？如果不能理解，你们就听我的好了。在超限王国，我才是国王。
1884年，神经质的康托第一次患病，是双重的人格障碍症，既有狂躁症也有抑郁症，他接受了第一次治疗。然后1889年，康托的爱子意外死亡让康托备受打击，后来每隔几年康托都要到医院接受治疗，直到他去世。
生命最后十年的康托是一个彻头彻尾的病人，他常常呆呆望着远方，眼神空洞，沉默不言，也许他觉得这个世界对于他过于残酷，他无法继续爱这个世界。1918年，康托带着无限的抑郁、怀才不遇的伤感以及毫无爱恋的心态离开了人世。也许，我们回头看，我们缺乏一种对康托的宽容，伟大的天才走的太远，以致于一流的数学家都无法理解他，还有什么比无人理解更寂寞、更伤感？
康托早年才华横溢，牧师的父亲曾经希望他学习音乐，事实上他对于交响乐颇有研究，而且他热爱文学，喜欢绘画。但是数学对他的吸引太大，以致于他背离了父亲的意愿--- 成为音乐家。
康托和梵高一样，对他们的事业充满了炽烈乃至疯狂的爱，乃至于献身精神；康托一人走进了超限王国，并孤独的在那里彳亍；梵高则跳出了印象主义的画风，开创了一种完全属于自己风格的绘画；他们在几乎相同的年代、不同的领域做出了超越的贡献，但是他们的人生又充满悲剧和伤感。
1900年，大卫·希尔伯特在国际数学会议上宣布了23个数学问题，排名第一的就是康托的集合理论。
哥德尔成功的证明了数学体系的“哥德尔不完备定理”，该定理也从侧面了“康托的连续统假设”的不可证明”性。换句话说，我们无法证明康托连续统假设的正确，也不能否定。
最后我们用康托自己的评价结语，给这位孤独的天才最后的注脚、
“My memory stands as firm as rock; every arrow directed against it will return quickly to its archer. How do i know this? Because Ihave studied it from all sides for many years; because I have examined all objections which have ever been made against the infinite numbers; and above all because I have followed its roots, so to speak, TO THE FIRST INFALLLIBLE CAUSE OF ALL CRATED THINGS”.
尝试着翻译最后一句大写的含义：一切造物的永恒推动力。康托宣称他找到了一切造物的永恒推动力。
这真的是近乎宗教的热情和献身。
一不小心，数学问题说了这么多，其实这些不仅仅是数学问题，更是数学家的事迹，更是人性的体现。这当中有博学多才慈爱的欧拉，也有孤独自负的康托，有不靠谱的业余数学家费马，也有沉默低调的张益唐。从两千多年前的欧几里得到上世纪中叶的哥德尔，匆匆的撇过数学的一个小角落。
本专题结束。
