(301)算法时间复杂度计算

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林湾村龙猫
2016.01.21 00:57* 字数 746

概述

一个算法是由控制结构(顺序,分支,循环)和原操作(指固有数据类型的操作)构成。为了便于比较同一问题的不同算法,通常的做法是,从算法中选取一种对所研究的问题来说是基本操作的原操作,以该基本原操作重复执行的次数作为算法的时间度量。多数情况下,基本原操作是它最深层循环中的原操作,对算法的时间度量最常用的是考虑在最坏的情况下时间复杂度。

时间复杂度的定义

算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数,用T(n)表示,若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时,T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数,则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度(O是数量级的符号 ),简称时间复杂度。

根据定义,可以归纳出基本的计算步骤

1. 计算出基本操作的执行次数T(n)

基本操作即算法中的每条语句(以;号作为分割),语句的执行次数也叫做语句的频度。在做算法分析时,一般默认为考虑最坏的情况。

2. 计算出T(n)的数量级

  求T(n)的数量级,只要将T(n)进行如下一些操作:忽略常量、低次幂和最高次幂的系数。令f(n)=T(n)的数量级。

3. 用大O来表示时间复杂度

当n趋近于无穷大时,如果lim(T(n)/f(n))的值为不等于0的常数,则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))。

以上步骤可以简化

  1. 找到执行次数最多的语句
  2. 计算语句执行次数的数量级
  3. 用大O来表示结果

举例

例一(O(n))

public void printsum(int count){
    int sum = 1;
    for(int i= 0; i<n; i++){
       sum += i;
    }   
    System.out.print(sum);
}

记住,只有可运行的语句才会增加时间复杂度,因此,上面方法里的内容除了循环之外,其余的可运行语句的复杂度都是O(1)。
所以printsum的时间复杂度 = for的O(n)+O(1) = 忽略常量 = O(n)

这里其实可以运用公式 num = n(n+1)/2,对算法进行优化,改为*

public void printsum(int count){
    int sum = 0;
    sum = count*(count+1)/2;
    System.out.print(sum);
}

*这样算法的时间复杂度将由原来的O(n)降为O(1),大大地提高了算法的性能。 *

例二(O(log2n))

int i= 1;
while(i<n){
    i = i*2;
}

设(i=i*2)的频度是t, 则:2t(2的t次方)<=n; 两边去对数t<=log2n,考虑最坏情况,取最大值t=log2n。T(n) = O(log2n)。
例三(O(n2))

int num=0;
for(int i=0;i<n;i++){
    for(int j=0;j<n;j++){
        num++;
    }
}

时间复杂度为O(n2)。

常用算法的时间复杂度

常用排序时间复杂度

参考

http://univasity.iteye.com/blog/1164707
http://www.cnblogs.com/songQQ/archive/2009/10/20/1587122.html

算法与理论
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